廣義雙曲模型下鎖定期權(quán)的定價

何二倩，李翠香(河北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 石家莊 050024)

國際金融市場不斷發(fā)展,標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)已經(jīng)不能滿足投資者的需要,于是許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家開始把目光聚焦到奇異期權(quán)上.鎖定期權(quán)是一種路徑依賴型奇異期權(quán),它介于美式期權(quán)和歐式期權(quán)之間,期權(quán)的到期收益不僅與資產(chǎn)到期價格有關(guān)還與某一鎖定時刻有關(guān).假設(shè)t為當(dāng)前時刻,T1為鎖定時刻,T為期權(quán)到期日,t

c(T,ST,K)=max(ST1-K,ST-K,0),

p(T,ST,K)=max(K-ST1,K-ST,0).

2018年孫慧和李翠香[1]研究了帶有信用風(fēng)險的鎖定期權(quán)的定價;2019年邱梓軒[2]研究了不完全市場下有違約風(fēng)險的鎖定期權(quán)的定價.這些研究都基于股票價格服從幾何布朗運(yùn)動,但是在實(shí)際情況下幾乎所有的資產(chǎn)收益均呈現(xiàn)出尖峰厚尾,波動率微笑等特征.于是學(xué)者們開始尋找能更好擬合收益率的分布.Eberlein[3]and Keller(1995)首次將廣義雙曲分布應(yīng)用到金融中. Barndorff-Nislsen在研究廣義雙曲分布的過程中發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布,方差-伽瑪分布等是它的特殊情況.于是廣義雙曲分布開始在各領(lǐng)域廣泛應(yīng)用.目前關(guān)于廣義雙曲分布在期權(quán)定價中的應(yīng)用大多研究的是普通歐式期權(quán)的定價問題[4-6].本文將考慮資產(chǎn)價格服從指數(shù)廣義雙曲Lévy過程時鎖定期權(quán)的定價問題.

常用的期權(quán)定價方法有兩種:無套利方法和風(fēng)險中性方法.無套利的方法是通過構(gòu)建無套利的投資組合,求出期權(quán)價格滿足的偏微分方程,從而得出期權(quán)的表達(dá)式.風(fēng)險中性定價方法的原理是:在風(fēng)險中性測度下任何衍生品的價格都等于到期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的期望值.

1994年, Gerber和Shiu提出用Esscher變換的方法尋找風(fēng)險中性測度進(jìn)而對期權(quán)進(jìn)行定價[7]. 2018年, 李文漢,劉麗霞等研究了基于Esscher變換跳擴(kuò)散模型下交換期權(quán)定價[8]. 2020年, 王夢娜利用Esscher變換尋找風(fēng)險中性測度進(jìn)而研究了冪期權(quán)的定價問題[9]. 同年, 李文漢,李翠香等研究了基于Esscher變換的外幣期權(quán)定價[10].

1 資產(chǎn)價格模型

定義1.1[11]如果在概率測度P下隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為:

(1)

其中:δ>0,|β|<α,λ,μ∈R

Kλ(x)表示第三類修正Bessel函數(shù),則稱X在P下服從參數(shù)為α,β,δ,μ,λ的廣義雙曲分布,記作XP～GH(α,β,δ,μ,λ).

φX(u)=Ep[eiuX]=

(2)

其中:Ep[·]表示在概率測度P下的期望,i表示虛數(shù)單位.當(dāng)u∈(-α-β,α-β)時,X的矩母函數(shù)存在且

MX(u)=Ep[euX]=

(3)

定義1.2[11]測度P下參數(shù)為α,β,δ,μ,λ的廣義雙曲Lévy過程{Xt}t≥0是滿足下列條件的隨機(jī)過程

(i)X0=0；

(ii) {Xt}t≥0具有獨(dú)立平穩(wěn)增量；

以后為了方便,用φt(u),Mt(u)分別表示Xt在測度P下的特征函數(shù)和矩母函數(shù).φ(u),M(u)分別表示X1在測度P下的特征函數(shù)和矩母函數(shù).由定義1.2中的條件(ii)知φt(u)=φt(u),Mt(u)=Mt(u).

本文假設(shè)市場存在兩種基礎(chǔ)資產(chǎn):無風(fēng)險資產(chǎn)(貨幣市場賬戶)和風(fēng)險資產(chǎn)(標(biāo)的資產(chǎn)).假設(shè)無風(fēng)險利率為r,標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)股息,股息率為q.r,q都為常數(shù).標(biāo)的資產(chǎn)價格過程{St}t≥0為帶參數(shù)α,β,δ,μ,λ的指數(shù)廣義雙曲Lévy過程, 即

St=S0eXt,

(4)

其中:{Xt}t≥0是參數(shù)為α,β,δ,μ,λ的廣義雙曲Lévy過程.

2 風(fēng)險中性測度

根據(jù)風(fēng)險中性定價原理可知,為了求得期權(quán)的價格,關(guān)鍵是找出風(fēng)險中性測度.下面利用Esscher變換的方法來尋找風(fēng)險中性測度.

(i)若X是關(guān)于Ft可測的隨機(jī)變量,則

(ii)設(shè)Y是Ft可測的隨機(jī)變量,則對0≤s≤t≤T有

其中:E[·|Ft]表示條件期望.

證明:對于任意的0≤s≤t≤T,因?yàn)閄s關(guān)于Fs可測,Xt-Xs與Fs獨(dú)立,且與Xt-s分布相同,所以

證畢.

S0=E[e-(r-q)tSt;θ],

其中:E[·;θ]表示在概率測度Pθ下的期望.由式(4)及引理2.1得

所以θ是下列方程的解

r-q=lnM(θ+1)-lnM(θ)

.

(5)

引理2.3[4]第三類修正的貝塞爾函數(shù)Kλ(x)有如下性質(zhì)

(i)Kλ(x)=K-λ(x);

(ii)當(dāng)λ>0時,有Kλ(x)～Γ(λ)2λ-1x-λ,(x→0)，

其中:Γ(·)為Gamma函數(shù).

證明：令

g(θ)=lnM(θ+1)-lnM(θ).

則由式(3)和引理2.3得

且g(θ)在(-α-β,α-β-1)上連續(xù),故存在θ*∈(-α-β,α-β-1)使g(θ*)=r-q.

又因?yàn)?/p>

所以E[X1;θ]是關(guān)于θ嚴(yán)格遞增的函數(shù).于是

因此g(θ)在(-α-β,α-β-1)上是嚴(yán)格增函數(shù),從而唯一性得證.

為了方便把θ*記為θ,把Pθ*記為Q,φ(u)和φt(u)分別表示X1和Xt在測度Q下的特征函數(shù),則

φt(u)=EQ[eiuXt]=EP[eiuXtΛ(t)]=

(6)

(7)

由此可以看出{Xt}t≥0為Q下的服從參數(shù)為α,β+θ,δ,μ,λ的廣義雙曲Lévy過程.

3 鎖定期權(quán)的定價公式

引理3.1[13](i) 設(shè)隨機(jī)變量X在概率測度Q下的特征函數(shù)為φX(u),則

(ii)若二維隨機(jī)變量(X,Y)在概率測度Q下的特征函數(shù)為φX,Y(u,v),則

引理3.2[14]設(shè)X為任一隨機(jī)變量,Z(t)=EQ[eX|Ft],則{Z(t)}t≥0是Q鞅.

引理3.3 若X,Y獨(dú)立,X,Y的特征函數(shù)分別為φX(u),φY(u),則(X+Y,Y)的特征函數(shù)為φX+Y,Y(u,v)=φX(u)φY(u+v).

證明:由特征函數(shù)的定義及X，Y的獨(dú)立性直接可得.

定理3.1 當(dāng)資產(chǎn)價格服從參數(shù)為α,β,δ,μ,λ的指數(shù)廣義雙曲Lévy過程時,鎖定看漲期權(quán)在t時刻的價格為

其中:τ=T-t,τ1=T1,τ2=T-T1,φ(u)由式(7)給出.

證明：利用風(fēng)險中性定價原理可知鎖定看漲期權(quán)在t時刻的期權(quán)價格為

c(t,St,K)=e-r(T-t)EQ[max(ST1-K,ST-K,0)|Ft]=

e-r(T-t){EQ[(ST1-K)I{ST1>K,ST1>ST}|Ft]+

EQ[(ST-K)I{ST>K,ST>ST1}|Ft]},

(8)

其中:I{A}表示集合A的示性函數(shù).

令X=XT1-Xt,Y=XT-XT1則X,Y獨(dú)立,且

ST1=SteX,ST=SteX+Y.

又因?yàn)镾t關(guān)于Ft可測,X,Y,X+Y都與Ft獨(dú)立,于是

(9)

為了確定期權(quán)的價格公式我們需要計(jì)算(9)式右邊的四項(xiàng).

先計(jì)算第二項(xiàng)中的期望.由式(6)可知隨機(jī)變量X,Y在Q下的特征函數(shù)分別為:φX(u)=φT1-t(u),φY(u)=φT-T1(u).又因?yàn)閄,Y獨(dú)立,于是二維隨機(jī)變量(X,Y)在Q下的特征函數(shù)為:φX,Y(u,v)=φT1-t(u)φT-T1(v).由引理3.1得

(10)

同理,利用引理3.1,引理3.3得第四項(xiàng)中的期望

(11)

EQ[Λ1(T)]=1, Λ1(u)=e-(r-q)(T1-t)eX,T1≤u≤T.

(12)

由式(12)及引理3.1得

(13)

(14)

將式(10)、(11)、(13)、(14)代入式(9)可得定理3.1.證畢.

類似于定理3.1的證明可得以下定理.

定理3.2 當(dāng)資產(chǎn)價格服從參數(shù)為α,β,δ,μ,λ的指數(shù)廣義雙曲Lévy過程時,鎖定看跌期權(quán)在t時刻的價格為

p(t,St,K)=

其中:τ=T-t,τ1=T1-t,τ2=T-T1,φ(u)由式(7)給出.

4 數(shù)值分析

根據(jù)第三節(jié)中給出的鎖定看漲,看跌期權(quán)的價格解析式,分析期權(quán)價格與執(zhí)行價格,鎖定時間,資產(chǎn)價格之間的關(guān)系.

文獻(xiàn)[15]根據(jù)1997年1月2日～2003年9月19日期間共1616個交易日的上證綜指日對數(shù)收益率,利用極大似然估計(jì)法得到的參數(shù)估計(jì)值為:

λ=-0.989 9,α=26.936 3,β=-1.178 9,

δ=0.014 8,μ=0.000 6

利用以上參數(shù)求解方程(5)得θ≈22.223 9.

根據(jù)華夏基金網(wǎng)站(http://www.chinaamc.com/fund/510050/lishifenhong.shtml)披露的歷史分紅數(shù)據(jù),計(jì)算可得股息率q=0.018 3,取無風(fēng)險利率r=0.017 4,以2020年12月23日的收盤價作為股票在t時刻的價格,即St=3.491,并取τ=1,τ1=0.5,K=3.

以下討論當(dāng)上述某因素發(fā)生變化,而其他因素不變的條件下,期權(quán)價格的變化.圖1分別給出了鎖定看漲期權(quán)在t時刻的期權(quán)價格c與K,T1,St之間的關(guān)系.可以看出c關(guān)于K是嚴(yán)格遞減的;關(guān)于T1是嚴(yán)格遞減的;關(guān)于St是嚴(yán)格遞增的.圖2分別給出了鎖定看跌期權(quán)在t時刻的期權(quán)價格p與K,T1,St之間的關(guān)系.可以看出p關(guān)于K是嚴(yán)格遞增的;關(guān)于T1是嚴(yán)格遞增的;關(guān)于St是嚴(yán)格遞減的.

圖1 c與K,T1和St的關(guān)系Figure 1 Relationship between c and K, T1,St

圖2 p與K,T1和St的關(guān)系Figure 2 Relationship between p and K,T1,St,

5 結(jié) 語

本文用風(fēng)險中性定價方法討論當(dāng)資產(chǎn)價格服從廣義雙曲Lévy過程時鎖定期權(quán)的定價問題.首先給出資產(chǎn)價格服從的廣義雙曲模型，用Esscher變換的方法找出風(fēng)險中性測度.然后，再根據(jù)風(fēng)險中性定價原理,利用測度變換以及分布函數(shù)和特征函數(shù)之間的關(guān)系得到鎖定看漲,看跌期權(quán)的定價公式.最后對鎖定看漲,看跌期權(quán)定價公式進(jìn)行敏感性分析,得到鎖定看漲,看跌期權(quán)價格與執(zhí)行價格, 鎖定時間,資產(chǎn)價格之間的關(guān)系.