隨機(jī)變量均值與方差的題型解析

周語(yǔ)華

(江蘇省鹽城市亭湖高級(jí)中學(xué) 224051)

一、考點(diǎn)梳理

二、隨機(jī)變量均值與方差的題型解析

1.根據(jù)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的解題

過(guò)程為：第一，先確定離散型隨機(jī)變量的可能值.第二，求可能值對(duì)應(yīng)的概率，第三，書(shū)寫(xiě)分布列，檢查正誤.第四，求均值與方差.

例1商店以5元的單價(jià)進(jìn)購(gòu)一批蛋糕，然后以10元一塊的價(jià)格出售，若當(dāng)天賣(mài)不完，則扔掉以垃圾處理.

(1)第一天商店進(jìn)購(gòu)16塊蛋糕，求那天的利潤(rùn)y(元)與當(dāng)天所需量n(塊)的函數(shù)解析式.

(2)商店對(duì)近100天的蛋糕日需求量進(jìn)行整理，做出表1，以此需求量的頻率當(dāng)做各需求量的概率.若商店一天購(gòu)進(jìn)16塊蛋糕，X為當(dāng)天的利潤(rùn)，求X的分布、數(shù)學(xué)期望與方差；若商店一天進(jìn)購(gòu)16或者17塊蛋糕，你認(rèn)為進(jìn)多少塊更合理？

表1

分析這兩個(gè)問(wèn)題一個(gè)是根據(jù)日需求量求函數(shù)關(guān)系式，一個(gè)是根據(jù)當(dāng)天需求量與利潤(rùn)列出分布，求數(shù)學(xué)期望與方差，然后做出比較.

(2)先取值X=60,70,80，P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的數(shù)學(xué)期望E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差為D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44；商店一天進(jìn)購(gòu)16塊蛋糕最合適，若花店一天進(jìn)購(gòu)17塊蛋糕，以Y表示利潤(rùn)，其分布為Y=55、65、75、85.P=0.1、0.2、0.16、0.54.Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=76.4、方差為D(Y)=112.04.以此可知D(X)

點(diǎn)評(píng)本問(wèn)題所求的隨機(jī)變量均值與方差要先確定所有可能的值，然后分別寫(xiě)出隨機(jī)變量分布，最后再運(yùn)用正確的公式計(jì)算.解題的時(shí)候要關(guān)注隨機(jī)變量的概率分布特征，如果是二項(xiàng)分布，則使用二項(xiàng)分布的均值與方差公式進(jìn)行計(jì)算更加簡(jiǎn)單.

2.求二項(xiàng)分布的均值與方差問(wèn)題

例2中央電視臺(tái)與唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開(kāi)講啦》為一檔青年電視公開(kāi)課節(jié)目，節(jié)目一開(kāi)播就受到觀眾的喜愛(ài).電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩地中的一百名觀眾，得到2×2列表為表2：

表2

在被調(diào)查的一百名觀眾中隨機(jī)抽取1名，為乙地區(qū)中非常滿(mǎn)意觀眾中的一員的概率為0.35，且4y=3z.

(1)從這一百名觀眾中，通過(guò)分層抽樣的方法抽取20名問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查，抽取滿(mǎn)意的甲、乙兩地人數(shù)都為多少？

(2)請(qǐng)你完成表2，并依據(jù)此判斷是否有95%的把握確定觀眾的滿(mǎn)意程度與所在地區(qū)相關(guān).

解(1)x÷100=0.35，得到x=35，y+z=35，又因?yàn)?y=3z，可知y=15、z=20，由此可知甲地抽取滿(mǎn)意人數(shù)為3人，乙地抽取滿(mǎn)意人數(shù)為4人.

(2)填寫(xiě)表2，從上到下，從左到右的數(shù)字分別30、15、45、35、20、55、65、35、100.帶入?yún)⒖脊終2≈0.1.得到?jīng)]有95%的把握認(rèn)為觀眾的滿(mǎn)意程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

3.非二項(xiàng)分布均值與方差問(wèn)題

例3我校實(shí)驗(yàn)班與普通班一個(gè)學(xué)期內(nèi)一共進(jìn)行了四次考試，該階段的數(shù)學(xué)試卷每一題都有區(qū)分度，則q1=實(shí)驗(yàn)班得分率-普通班得分率，若q1<0.3，則確定此題區(qū)分度不好.若在實(shí)驗(yàn)班中進(jìn)行抽樣調(diào)查，以12題為例，可在班級(jí)成績(jī)?cè)谇鞍嗣秃蟀嗣膶W(xué)生中各隨機(jī)抽取2人，此4人答題結(jié)果為計(jì)算區(qū)分度，則q2為前后各8名各抽取2名學(xué)生的正確率，同樣q2<0.3，則確定此題區(qū)分度不好.問(wèn)：

(1)從年級(jí)的角度分析，若區(qū)分度不好的概率為p，四次考試中則至少有一次區(qū)分度不好的概率為0.9375，求p的值；

(2)實(shí)驗(yàn)班前八名學(xué)生中有7人答對(duì)第12題，后八名中有四人答對(duì)，依據(jù)抽樣結(jié)果，求該題區(qū)分度不好的概率.在抽取的四人中，β為答對(duì)12題的人數(shù)，寫(xiě)出其分布列，求出E(β).

綜上得出離散型隨機(jī)變量均值與方差的計(jì)算過(guò)程，并根據(jù)隨機(jī)變量X-B(n，p)直接使用公式求解；隨機(jī)變量的期望表達(dá)其取值的平均水平，因此可以通過(guò)隨機(jī)變量作為實(shí)際應(yīng)用題中方案取舍的主要依據(jù)，如果先比較均值，若均值相同，則以方差決定.