過程突破聯(lián)想，反思類比探究

蘆雪珍

[摘? 要] 類比探究題是中考常見的問題類型，問題解析具有一定的難度，同時突破過程有著鮮明的特點，即結(jié)合類比思想，通過對比、聯(lián)想是該類問題突破的關(guān)鍵. 文章將對一道考題開展類比探究，反思問題解析思路，總結(jié)類比考題解析方法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 類比;探究;幾何;模型;思想方法

問題呈現(xiàn)

【問題提出】

（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，連接AC，BD，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到△ADE，其中點B的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點為點E，同時已知點C，D，E三點位于同一直線上，則△ACE為______三角形，BC，CD，AC的數(shù)量關(guān)系為______;

【探索發(fā)現(xiàn)】

（2）如圖2所示，在⊙O中，已知AB為直徑，點C為弧AB的中點，點D是圓上的一個動點，連接AD，CD，AC，BC和BD，且有AD

【拓展發(fā)現(xiàn)】

（3）如圖3所示，在等腰直角三角形△ABC中，點P為AB的中點，如果AC=13，平面內(nèi)存在一點E，且AE=10，CE=13，當(dāng)點Q為AE的中點時，PQ=______.

過程解析

（1）猜想△ACE為等腰直角三角形，則有BC+CD= AC.

如圖4所示，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)可知△BAC≌△DAE，則AC=AE， BC=DE，∠BAC=∠DAE. 又因為∠BAD=90°，則∠BAC+∠CAD=90°，結(jié)合AC=AE可證△CAE為等腰直角三角形，所以CE= AC，即BC+CD= AC.

（2）該問探究圓上動點所形成的相關(guān)線段長之間的數(shù)量關(guān)系，從問題設(shè)置來看，可參考第（1）問的解法，挖掘圖像中的特殊三角形，結(jié)合幾何性質(zhì)即可推出線段關(guān)系，有如下兩種解析思路.

思路一：由已知可知AC=BC，∠ACB=90°，圖像中具有等線段共端點的特點，類比第（1）問的解析方法，易聯(lián)想到可將△ADC繞著點C旋轉(zhuǎn)至AC與BC相重合，如圖5所示. 結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性可知CD=CE，∠DCE=∠ACB=90°，∠BEC=∠ADC，則△CDE為等腰直角三角形，有∠CED=45°.

又因為AB是圓的直徑，并且AC=BC，可知△ABC為等腰直角三角形. 四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，則有∠ADC+∠ABC=180°，可推知∠BEC=∠ADC=135°，此時有∠BEC+∠CED=180°，所以B，E，D三點共線，則BD-AD= CD，即CD= （BD-AD）.

思路二：第（1）問解析時結(jié)合了四邊形的對角互補，且利用了△BAD的等腰直角三角形特性. 第（2）問解析時可參考第（1）問的思路，結(jié)合圓的對稱性質(zhì)，將圖像轉(zhuǎn)化為第（1）問的圖像，即將△ACB沿著AB進行折疊，可得四邊形AEBD，后續(xù)類比第（1）問的結(jié)論即可推導(dǎo)線段關(guān)系.

結(jié)合上述分析，將△ACB沿著AB進行折疊，可得四邊形AEBD，如圖6所示. 類比第（1）問結(jié)論可得 DE=AD+BD，在Rt△CDE中使用勾股定理，可得CD2=CE2-DE2，進一步推導(dǎo)可得CD2=AB2- （AD+BD）2= （AD-BD）2，從而可求得CD= （BD-AD）.

（3）該問在等腰直角三角形中進行圖形構(gòu)建，看似簡單，但點E的位置沒有指明. 故解析的首要問題是確定點E的位置，需根據(jù)問題條件，思考作圖方法. 題干設(shè)定了線段AE和CE的長度，故點A和C的位置固定，點E為動點，可考慮以點A為圓心，單位長度10為半徑作圓，再以點C為圓心，單位長度13為半徑作圓，則兩圓的交點即為所求點E的位置，如圖7所示.

顯然點E的位置有兩個，需要分別根據(jù)點E的位置進行圖形補全，然后分類討論具體情形. 分析前兩問的解析過程可知，第（1）問的背景圖形為四邊形，圖形中有一組對角為直角，一個直角的邊長相等，第（2）問的背景圖形同為四邊形，圖形中一邊對應(yīng)兩個直角，同樣有一組直角邊相等. 而在第（3）問中，沒有出現(xiàn)直角，但存在等腰直角三角形和斜邊的中點，類比前兩問的解析過程，可考慮構(gòu)造等腰三角形，構(gòu)建“三線合一”模型，從而構(gòu)建直角，下面分類討論.

情形一，點E位于AC邊的左側(cè)時，連接CQ和CP，如圖8所示. 觀察圖形可發(fā)現(xiàn)該圖與第（1）問中的四邊形具有相同特征，可直接利用第（1）問的結(jié)論，即AQ+CQ=? PQ，所以 PQ=17，可解得PQ= .

情形二，點E位于AC邊的右側(cè)時，同樣參考第（2）問的圖形解析方法，連接CQ和PC，如圖10所示.

結(jié)合第（2）問的結(jié)論可得出PQ= （CQ-AQ），代入線段長可得PQ= （CQ-AQ）= （12-5）= .

綜上可知，PQ= 或 .

解后總結(jié)

從上述問題的解析思路來看，問題設(shè)計具有鮮明的結(jié)構(gòu)特點，其探究方法和解析思路具有一定的參考價值，下面對考題進行深入探究，并總結(jié)解決問題的方法策略.

1. 問題思考

深入反思問題的設(shè)計流程，問題分為三個環(huán)節(jié)：問題提出→探究發(fā)現(xiàn)→拓展延伸，顯然問題的“拓展延伸”部分與“問題提出”和“探究發(fā)現(xiàn)”部分有著極大的關(guān)聯(lián)，故需要深入研讀問題的圖像特征，探究其中的共同之處，采用類比探究的方式來獲得結(jié)論. 可將問題歸結(jié)為類比探究題，問題的圖像和解析思路具有極高的類比性. 同時問題中出現(xiàn)了一些特殊的幾何圖形，如解析圖形旋轉(zhuǎn)問題時結(jié)合了對角互補四邊形，探究邊長關(guān)系引入了“一線三等角”模型.

2. 方法總結(jié)

中考中常出現(xiàn)幾何類比探究題，通常以一類共性條件和特殊條件為基礎(chǔ)，由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜構(gòu)建問題，逐步深入，問題解析的思想方法一脈相承. 問題探究的一般方法如下：

第一步，根據(jù)問題條件以及關(guān)聯(lián)條件解決第一問;

第二步，利用上一問的方法類比探究下一問，若不可行，則可將兩問相結(jié)合，探尋不可類比的原因和出現(xiàn)變動的特征，然后依據(jù)不變特征探尋新的方法.

同時，在類比探究過程有如下幾個探究技巧：

（1）找特征，如中點、特殊角、圖形折疊等;

（2）找模型，如相似模型（母子型，A字形，八字形）、三線合一、全等模型等;

（3）解析照搬，解析時可照搬上一問的方法及思考問題的解析思路，如照搬輔助線，照搬全等、相似等;

（4）找結(jié)構(gòu)，探尋問題不變的結(jié)構(gòu)，利用不變結(jié)構(gòu)的特征來逐步剖析，通常不變結(jié)構(gòu)及對應(yīng)解析方法如下——

①直角，可作橫平豎直的輔助線，構(gòu)建相似或全等模型;

②中點，作倍長線段，通過幾何全等來轉(zhuǎn)移邊和角;

③平行，探究其中的相似關(guān)系，利用相似比例來轉(zhuǎn)化線段關(guān)系.

總之，類比探究題的核心解法是“類比”，包括圖像類比和解法類比，問題解析的過程要把握其中的“特殊”，包括特殊的幾何要素（點、線、角），特殊關(guān)系（等量關(guān)系、倍長關(guān)系），特殊模型（面積模型、全等或相似模型）等. 解析過程時刻注重問題的前后銜接，充分利用總結(jié)的問題結(jié)論，簡化解析過程，提高解題效率.

教學(xué)反思

1. 類比分析，關(guān)注知識遷移

類比探究題通常在中考以壓軸題的形式出現(xiàn)，問題的綜合性極強，側(cè)重考查學(xué)生知識綜合與遷移能力，因此問題分析過程需要結(jié)合知識考點進行聯(lián)想遷移. 如由中點聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”，由直角聯(lián)想直角三角形的“勾股定理”，由平行聯(lián)想線段的相似比例關(guān)系，即將單純的幾何特性遷移到幾何圖形上，由此上升到更具價值的幾何結(jié)論上. 因此在實際教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生理解“類比”的思想內(nèi)涵，理解類比探究題的知識關(guān)聯(lián)，立足教材知識要點開展拓展探究，挖掘關(guān)聯(lián)知識，構(gòu)建知識體系.

2. 類比思考，重在思維過程

類比思考是類比探究題突破的根本方法，是基于問題的相似成分開展的比較、聯(lián)想探究，故需要注重問題的思維過程，將數(shù)學(xué)對象已知特性遷移到另一對象上，然后結(jié)合條件進行推理. 教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動，合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生推理，通常類比探究題構(gòu)建三個環(huán)節(jié)，可采用知識探究的方式. 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸納特征、發(fā)現(xiàn)問題、驗證結(jié)論、總結(jié)結(jié)論、應(yīng)用解題，循序漸進開展問題思考，由淺入深地將問題上升到數(shù)學(xué)結(jié)論層次. 引導(dǎo)過程合理設(shè)問，可設(shè)計具有啟發(fā)性的問題，讓學(xué)生聯(lián)想教材知識要點，也可引出數(shù)學(xué)模型，利用模型結(jié)論來進行推理等.

3. 類比探究，滲透思想方法

實際上，類比是重要的思想方法，在教學(xué)探究時要滲透該思想方法，讓學(xué)生感悟其中的思想內(nèi)涵，掌握類比探究的方法思路. 另外類比探究題的解析過程可能涉及數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、方程等思想，如上述利用數(shù)形結(jié)合理解圖像、挖掘幾何結(jié)論，利用分類討論探尋點E的位置，由方程思想求解關(guān)鍵參數(shù)等. 教學(xué)中可結(jié)合具體考題逐步滲透思想方法，解后反思時關(guān)注涉及的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)思想構(gòu)建考題思路的具體過程. 在教材內(nèi)容教學(xué)時重點關(guān)注知識背景的思想內(nèi)涵，如函數(shù)知識中的數(shù)形結(jié)合、代數(shù)方程的方程思想、幾何相似或全等中的分類討論等，充分利用考題探究、知識教學(xué)來提升學(xué)生的核心素養(yǎng).