關(guān)注：從“類題探究”走向“策略總結(jié)”

吳靜君

[摘? 要] 以拋物線為背景的綜合題常作為壓軸題在中考中出現(xiàn)，考題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及設(shè)問形式雖有不同，但深入探索可全面認(rèn)識考題，掌握類型問題的突破策略. 文章將以兩道與幾何面積及三角函數(shù)相關(guān)的問題為例，分析問題特點(diǎn)，總結(jié)突破策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù);面積;三角函數(shù);思想方法

類題呈現(xiàn)，思路突破

考題1? 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸的交于點(diǎn)A（-4，0）和B（2，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，-2），連接AE，點(diǎn)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求△ADE面積的最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo);

（3）若tan∠AED= ，求此時點(diǎn)D的坐標(biāo).

思路突破：（1）使用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A和B代入解析式即可，可求得拋物線的解析式為y=- x2- x+6.

（2）求△ADE面積的最大值及點(diǎn)D坐標(biāo)，可采用面積割補(bǔ)的方式，構(gòu)建面積模型.

第一步：作圖，構(gòu)面積模型

過點(diǎn)D作y軸的垂線，設(shè)垂足為K，如圖2所示，由面積割補(bǔ)可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED .

第二步——設(shè)點(diǎn)，推導(dǎo)線段長

設(shè)點(diǎn)Dm，- m2- m+6，則點(diǎn)K0，- m2- m+6，可推知KE=- m2- m+8，DK=-m，AO=4，OE=2.

第三步：代入，構(gòu)建面積函數(shù)

結(jié)合面積公式可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED= ×（KD+AO）×OK+ ×AO×OE- ×KD×KE= ×（4-m）×- m2- m+6+4- ×（-m）×- m2- m+8=- m+ 2+ .

第四步：分析，求面積最值

由于S△ADE=- m+ 2+ ，分析可知當(dāng)m=- 時，△ADE的面積最大，且最大面積為 ，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為- ， .

（3）求tan∠AED= 時點(diǎn)D的坐標(biāo)，需將其放在直角三角形中，利用邊長比值求解.

第一步：作圖，構(gòu)建直角三角形

過點(diǎn)A作DE的垂線，設(shè)垂足為N，設(shè)DE與x軸的交點(diǎn)為F，如圖3所示.

第二步：轉(zhuǎn)化，提取線段條件

已知tan∠AED= ，則AN= ，NE=3 .

第三步：推導(dǎo)，推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)

因?yàn)椤螦NF=∠EOF=90°，∠AFN=∠EFO，則△AFN∽△EFO，由相似性質(zhì)得 = ，又EF 2=OF 2+4，NF=3 -EF，則有 = ，解得OF=2，即F（-2，0）.? 可求得直線EF的解析式為y= -x-2，聯(lián)立y=- x2- x+6，y=-x-2， 又點(diǎn)D在第二象限，于是可解得D ， .

考題2? 拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=x-5經(jīng)過點(diǎn)B和C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，連接PB和PC.

①當(dāng)△PBC的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

②連接AC，當(dāng)tan∠PBO=2tan∠ACO時，請寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路突破：（1）點(diǎn)B（5，0），C（0，-5），拋物線的解析式為y=-x2+6x-5.

（2）①結(jié)合割補(bǔ)思想，構(gòu)建三角形“鉛垂”模型來完成.

第一步：作圖，構(gòu)建鉛垂模型

過點(diǎn)P作x軸的垂線，設(shè)與BC的交點(diǎn)為D，則PD將△PBC分割為同底（PD），異頂點(diǎn)的兩個三角形：△PDC和△PDB. S△PBC=S△PDC+S△PDB，并且有S△PBC= ×PD×h1+h2，其中h1和h2分別為兩三角形的高.

第二步：設(shè)點(diǎn)，推導(dǎo)線段長

設(shè)點(diǎn)P（m，-m2+6m-5），則點(diǎn)D（m，m-5），故PD=-m2+5m，而h1+h2的值實(shí)則就是點(diǎn)B和點(diǎn)C之間的水平距離，等于OB，即h1+h2=5.

第三步：代入，構(gòu)建面積函數(shù)

S△PBC= ×PD×h1+h2= ×（-m2+5m）×5=- m- 2+ .

第四步：分析，確定最值情形

由于S△PBC=- m- 2+ ，分析可知當(dāng)m= 時，△PBC取得最大面積 ，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， .

②給定三角函數(shù)條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)，需要結(jié)合直角三角形轉(zhuǎn)化條件，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).

第一步：構(gòu)形，推導(dǎo)三角函數(shù)值

在Rt△AOC中，可知tan∠ACO= = ，故tan∠PBO=2tan∠ACO= .

第二步：轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化線段條件

當(dāng)點(diǎn)P位于第一象限時，設(shè)為P′，過點(diǎn)B作直線BE，與拋物線的交點(diǎn)為P′，與y軸的交點(diǎn)為E，則tan∠P′BO= . 而tan∠P′BO= ，可解得OE=2，所以點(diǎn)E（0，2）. 結(jié)合點(diǎn)E和B的坐標(biāo)可求得直線BE的解析式為y=- x+2，聯(lián)立直線BE與拋物線的解析式，可求得此時點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 ， . 當(dāng)點(diǎn)P位于第四象限時，設(shè)為P″，過點(diǎn)B作直線BF，與拋物線的交點(diǎn)為P″，與y軸的交點(diǎn)為F. 同理可求得點(diǎn)P″的坐標(biāo)為 ，- .

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， 或 ，- .

試題特點(diǎn)，解法剖析

上述兩道考題背景均為拋物線與直線，典型特點(diǎn)是利用拋物線與直線交點(diǎn)，以及動點(diǎn)來構(gòu)建幾何圖形，使得其中的圖形具有“數(shù)”與“形”的性質(zhì)，故可從幾何與代數(shù)視角來全面探究. 同時點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)聯(lián)兩大知識模塊的關(guān)鍵，從點(diǎn)出發(fā)確定曲線或直線的解析式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)又可確定線段長，進(jìn)而研究幾何性質(zhì). 兩道考題的后兩問均為幾何面積與三角函數(shù)問題，所采用的方法及構(gòu)建思路也是該類問題常用的解法策略，下面深入剖析.

策略一：割補(bǔ)構(gòu)建，分步破面積最值

兩道考題的第二問均是求解一般三角形的面積最值，可將問題分兩步進(jìn)行：第一步是求面積函數(shù)，第二步則是分析函數(shù)最值. 在函數(shù)背景中一般采用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化法來構(gòu)建面積函數(shù)，即通過直線“割”或“補(bǔ)”，將一般三角形轉(zhuǎn)化為特殊圖形的組合，常見于特殊的四邊形或三角形;然后設(shè)出點(diǎn)參數(shù)，結(jié)合面積公式來構(gòu)建面積函數(shù). 其中考題1是先“補(bǔ)”后“割”構(gòu)建的面積模型，故面積函數(shù)構(gòu)建較為一般，而考題2則是單純的“分割”構(gòu)形，并引入了“鉛垂”模型，故整體思路更為簡捷，但方法核心不變. 面積最值分析通常使用函數(shù)的性質(zhì)，包括函數(shù)的單調(diào)性和頂點(diǎn)坐標(biāo). 因此在破解幾何圖形面積最值問題時，可采用如下思路.

第一步，圖形分割，構(gòu)建面積模型，割補(bǔ)思想是構(gòu)形核心;

第二步，設(shè)定參數(shù)，構(gòu)建面積函數(shù)，參數(shù)思想是構(gòu)建核心;

第三步，函數(shù)分析，利用函數(shù)性質(zhì)分析最值，完成求解.

策略二：直角轉(zhuǎn)化，破解三角函數(shù)

兩道考題的最后一問均是關(guān)于三角函數(shù)條件的求點(diǎn)，突破的關(guān)鍵均是轉(zhuǎn)化三角函數(shù)，提取相關(guān)條件. 三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)較為特殊的內(nèi)容，是銜接初中與高中數(shù)學(xué)的重要知識. 在初中階段，對三角函數(shù)的定義及轉(zhuǎn)化均需要借助直角三角形，利用邊長比例關(guān)系來構(gòu)建三角函數(shù)值. 故該類問題突破同樣需要經(jīng)歷“構(gòu)建”和“轉(zhuǎn)化”，其中“構(gòu)形”階段需要依托三角函數(shù)所涉角來構(gòu)造直角三角形，將其放置在直角三角形. 而“轉(zhuǎn)化”階段則有兩種思路，一是將三角函數(shù)條件轉(zhuǎn)化為與線段相關(guān)的條件;二是借助三角函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等角關(guān)系. 因此在破解三角函數(shù)問題時，可采用如下思路.

第一步，提取三角函數(shù)所涉角，依托幾何角構(gòu)建直角三角形;

第二步，利用直角三角形分析三角函數(shù)條件，將其轉(zhuǎn)化為線段條件或等角關(guān)系;

第三步，結(jié)合上一步轉(zhuǎn)化的條件來分析問題，利用幾何與函數(shù)知識來求解.