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    在數(shù)列中應(yīng)用函數(shù)思想解題策略探究

    2021-09-23 11:47:23胡魁勇
    知識窗·教師版 2021年8期
    關(guān)鍵詞:函數(shù)思想數(shù)列解題策略

    胡魁勇

    摘要:函數(shù)思想是學(xué)生在中學(xué)階段接觸到的最重要的數(shù)學(xué)思想之一。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),充分利用函數(shù)思想解決數(shù)列有關(guān)問題,可以加深學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,而現(xiàn)行教材較少涉及函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用?;诖?,本文探討了在數(shù)列中應(yīng)用函數(shù)思想解題的策略。

    關(guān)鍵詞:函數(shù)思想? 數(shù)列? 解題策略

    近幾年,在高考試卷中,利用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題屬于高頻考點。通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),可以充分運用函數(shù)的性質(zhì)和圖像分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而解決問題。數(shù)列在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都占有重要地位,在古代數(shù)學(xué)中更是處于中心地位。設(shè)計利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題,有助于提高學(xué)生靈活、綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力,加深學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的理解。特別是部分特殊數(shù)列和較為復(fù)雜的遞推數(shù)列,如果學(xué)生用常規(guī)方法,則難以解決,而使用函數(shù)思想往往可化難為易、化繁為簡,找到解題捷徑。下面,筆者通過一些示例談?wù)勅绾螒?yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題。

    一、函數(shù)解析式的應(yīng)用

    數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù),所以學(xué)生可以運用求函數(shù)解析式的方法——待定系數(shù)法、求數(shù)列通項公式和前n項和公式。

    例1.(待定系數(shù)法)等差數(shù)列的前n項和為Sn,若S12=84,S20=460,求S28。

    解:由題意可知,該等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)

    ∵設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0)

    ∴? ? ?84=144A+12B

    460=400A+20B

    A=2

    B=-17

    ∴Sn=2n2-17n

    ∴S28=1092

    此題應(yīng)用了二次函數(shù)解析式解題,二次函數(shù)是學(xué)生在初中就接觸到的函數(shù),較為簡單。這道例題充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,拓展了學(xué)生思路。

    二、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

    例2.已知數(shù)列{an},通項公式為an=(n+1)(? ? ? )n? (n∈N),試問該數(shù)列有沒有最大的項,若有,求出其項數(shù);若沒有,請說明理由。

    解:該數(shù)列有最大的項,理由如下:

    an+1-an=(n+2)(? ? ? )n+1-(n+1)(? ? ? )n = (? ? ? )n

    當(dāng)n<9時,an+1>an,數(shù)列{an}單調(diào)遞增

    當(dāng)n>9時,an+1

    當(dāng)n=9時,an+1=an,即a10=a9

    數(shù)列{an}有最大值,其項數(shù)為9或10。

    此數(shù)列既不是等差數(shù)列,又不是等比數(shù)列,用求出各項再研究其規(guī)律的方法不易完成。如果學(xué)生從函數(shù)思想出發(fā),從研究函數(shù)單調(diào)性入手,并利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于0,就簡單得多。雖然解此題時需要掌握指數(shù)函數(shù),但這個方法能拓寬數(shù)列最值的求解思路。

    三、函數(shù)對稱性的應(yīng)用

    例3.非零等差數(shù)列{an}中,前m項和Sm=Sn(m≠n),求Sm+Sn。

    解:設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0)

    y=An2+Bn(A≠0)的圖像是一條過原點的拋物線

    ∵Sm=Sn(m≠n)

    ∴該拋物線的對稱軸為x=

    拋物線與x軸的交點其一為(0,0)

    ∴另一交點為(m+n,0)

    ∴Sm+Sn=0

    此題由Sn=An2+Bn(A≠0)很自然就聯(lián)想到了二次函數(shù),從二次函數(shù)圖像對稱性入手,易于學(xué)生理解和掌握。

    總而言之,在數(shù)列教學(xué)中,教師除了要注重理解和掌握學(xué)生數(shù)列基礎(chǔ)知識外,還要適當(dāng)滲透函數(shù)思想在數(shù)列相關(guān)問題中的應(yīng)用,深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解,達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]劉正玉.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)思想的應(yīng)用[J].考試周刊,2014(9).

    [2]唐劍,王振新,李群,等.高等數(shù)學(xué)理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2018(1).

    [3]張剛.數(shù)列最值問題的求解策略[J].高中生,2017(9).

    (作者單位:重慶市開州區(qū)中和中學(xué))

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