構(gòu)建初中數(shù)學活動 促進師生共同發(fā)展

摘? 要：隨著大數(shù)據(jù)、云計算和人工智能的迅猛發(fā)展，數(shù)學越來越重要. 為了提升初中學生學習數(shù)學的興趣，加強數(shù)學應(yīng)用意識，培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)及創(chuàng)新精神，廣州市教育研究院于2014年開始組織“玩轉(zhuǎn)數(shù)學——廣州市初中生數(shù)學創(chuàng)新作品評比”活動，引導初中生開展運用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題的研究性學習活動. 學生研究作品視角新穎、獨特，頗具實用性、時代性、地域特色和推廣價值，還有學生的研究作品拿到了國家專利. 活動對改變教師的教學觀念、提升專業(yè)素養(yǎng)都起到了較好作用.

關(guān)鍵詞：玩轉(zhuǎn)數(shù)學;數(shù)學應(yīng)用;創(chuàng)新精神

當今世界正經(jīng)歷百年未有之大變局，我國發(fā)展面臨的國內(nèi)外環(huán)境發(fā)生深刻、復(fù)雜變化，我國“十四五”時期及更長時期的發(fā)展對加快科技創(chuàng)新提出了更為迫切的要求. 面對挑戰(zhàn)，基礎(chǔ)數(shù)學“教與學”方式亟需改變. 為此，筆者結(jié)合教研工作，組織了“玩轉(zhuǎn)數(shù)學——廣州市初中生數(shù)學創(chuàng)新作品評比”（以下簡稱“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”）活動，在全市初中學生中組織開展應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的主題研究活動，嘗試在數(shù)學教學中通過綜合實踐活動探索培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的新途徑.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動本著“快樂參與，玩轉(zhuǎn)數(shù)學”理念，每年在全市的初中學生中舉行，學生自由組合成研究團隊，以團隊形式圍繞數(shù)學知識開展研究，形成研究報告. 經(jīng)過各區(qū)初選后，最終進行市級評比展示. 在進行市級評比時，每個研究團隊都要經(jīng)歷提交研究報告、現(xiàn)場展示和現(xiàn)場答辯三個環(huán)節(jié).

一、活動的育人價值

經(jīng)過長期的初中數(shù)學教研工作，筆者發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學課等同于解題課，教師著重研究解題技巧，重點教學生如何套用模型解題. 優(yōu)等生和中等生忙于“刷題”，將數(shù)學作為考試拿分的重要科目;學困生則懼怕數(shù)學，更有甚者完全放棄數(shù)學學習. 很多學生不明白學習數(shù)學的目的和意義，數(shù)學學習常停留在紙上談兵、機械套用、思路僵化的狀態(tài). 有些學生缺乏基本的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，對知識不求甚解，不清楚數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，沒有在數(shù)學學習的過程中積累一定的研究問題的基本方法、經(jīng)驗和策略，極少在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學和應(yīng)用數(shù)學，無法感悟數(shù)學的價值，從而造成學習數(shù)學的動力不足，對后續(xù)學習和持續(xù)發(fā)展造成了極大的阻礙.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動正是為了改善這種局面，發(fā)揮其應(yīng)有的育人價值，恢復(fù)數(shù)學教育的本來面目.

1. 發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”借助生活化、情境化的“數(shù)學味”的研究活動，激發(fā)學生的學習興趣，促使學生關(guān)注數(shù)學的應(yīng)用性，善于用數(shù)學的眼光看待生活中的一些問題，體會數(shù)學的作用，并由此積累一些研究問題的方法和經(jīng)驗.

在開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動時，學生需要運用數(shù)據(jù)分析、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng)去分析問題和解決問題，進而會用數(shù)學的語言論述、表達問題，形成結(jié)題報告. 整個研究活動需要綜合運用這六大核心素養(yǎng)，提升學生綜合運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

2. 落實“五育并舉”的育人要求

按照全國教育大會提出的人才培養(yǎng)需要德智體美勞“五育并舉”全面發(fā)展的要求，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動緊密聯(lián)系實際生活，尊重學生的認知規(guī)律，充分體現(xiàn)立德樹人鮮明導向，強調(diào)研究的過程性和展示結(jié)果的立體性，促進學生的全面發(fā)展.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動在尋找有意義、有價值的研究課題的過程中培養(yǎng)了學生的社會責任感和創(chuàng)新精神. 該研究有助于學生養(yǎng)成嚴謹踏實、務(wù)實求真的習慣，培養(yǎng)學生的理性精神. 研究過程真實而曲折，有助于培養(yǎng)學生積極探索、鍥而不舍的科學精神. 活動設(shè)置的現(xiàn)場展示與答辯環(huán)節(jié)則培養(yǎng)了學生的溝通、合作和表達能力. 綜上所述，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動培養(yǎng)學生從“做研究”到“做人做事”，在培養(yǎng)學生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀等方面發(fā)揮著獨特的作用.

二、活動的特點

1. 彰顯學科特征，鼓勵跨學科融合

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”并非通常意義上的綜合實踐活動，而是突出數(shù)學學科性，讓學生在真實的情境中研究數(shù)學，運用數(shù)學知識解決問題，領(lǐng)悟數(shù)學知識中蘊涵的思想方法和精神實質(zhì)，使學生真正感受數(shù)學的魅力和作用. 其精髓是讓學生利用所學的數(shù)學知識進行創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)、計劃并開展研究，其核心是“發(fā)現(xiàn)問題—設(shè)計研究方案—利用數(shù)學及相關(guān)知識實施方案—將研究過程與結(jié)論傳達給大家”. 由于真實情境中往往融合了數(shù)學、科學、技術(shù)、工程、藝術(shù)等，因此鼓勵跨學科融合. 學生通過對跨學科數(shù)學問題的探究，獲得跨學科的視野和思維，在自主、合作、探究等活動過程中親身體驗與數(shù)學相關(guān)的知識與技能，從而產(chǎn)生強烈的參與感和社會責任感.

因此，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動并不指定研究課題，而是提供了一些選題方向和研究案例，讓師生既有具體可供參考的范本，又有自由發(fā)揮的空間. 其中，提供的選題方向主要有：從數(shù)學到生活，如攝影與黃金分割;從生活到數(shù)學，如雨刷問題——利用二次函數(shù)進行研究;純數(shù)學研究，如教材中的數(shù)學活動等. 創(chuàng)新作品的研究范圍可以關(guān)注基礎(chǔ)數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學的以下領(lǐng)域：工程應(yīng)用，包括計算機、互聯(lián)網(wǎng)、通訊、信息及數(shù)碼科技等;商業(yè)應(yīng)用，包括經(jīng)濟、金融、物流、管理、決策、運籌學、交通運輸?shù)?科學應(yīng)用，包括醫(yī)藥、物理、化學、生物、環(huán)境及健康問題;創(chuàng)新設(shè)計，包括圖形設(shè)計、游戲等.

2. 走大眾數(shù)學之路，立足基礎(chǔ)求創(chuàng)新

在初中學生中開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動，最大的難點是如何憑借活動本身的魅力吸引初中學生廣泛參與. 怎樣發(fā)現(xiàn)、選擇合適的課題來進行研究？部分初中學生比較“懼怕”數(shù)學，鮮有自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的經(jīng)驗，難以提出有價值而又適合初中學段開展的數(shù)學研究問題. 即便找到課題，如果選題過大、過難，會導致只有優(yōu)等生才能做研究，曲高和寡，達不到大面積提升學生數(shù)學學習的興趣和方法的目的;如果選題太小，又失去了研究的意義，缺乏挑戰(zhàn)性，難以達到培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的目的.

鑒于此，為了最大限度地吸引學生參與，從活動的命名到活動的宗旨都充分體現(xiàn)了走“大眾數(shù)學”之路，鼓勵學生廣泛參與，既提供具體可參照、可操作的案例和指引，又給予極大的自由度以激發(fā)學生的創(chuàng)造力. 考慮到初中學生所學的知識有限，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動特別強調(diào)選材應(yīng)從學生的實際水平出發(fā)，研究背景貼近學生生活，鼓勵學生利用所學的數(shù)學知識開展研究，肯定一切符合學生的認知水平、腳踏實地、真實參與的研究. 不提倡為了追求結(jié)果而讓學生超前學習更高階、超出學生理解水平的數(shù)學知識. 當然，學生在研究過程中需要補充的各學科知識，在學生可接受的前提下，可以由指導教師安排講授.

3. 以學生為主體，強調(diào)過程、評價的多元化

在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動中，學生是主體，教師是指導者，教師需要把握指導學生的“度”，不能為了得到優(yōu)秀成果而越俎代庖，替代學生進行研究，而應(yīng)該在學生需要補充數(shù)學基礎(chǔ)知識或陷入困境的時候給出有效、適度的指導. 如果教師干涉太多，學生就容易喪失獨立思考的能力，導致失去創(chuàng)造的動力和欲望. 唯有學生主動參與，教師有效指導，才能不斷挖掘和激發(fā)學生的潛能.

由于初中學段學科及學生心智水平的局限性，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動并不過分追求研究的結(jié)論，要求呈現(xiàn)研究過程，實行多元化評價，立足于學生在參與過程中的研究態(tài)度、問題意識和思考能力的提升，故每個學生研究團隊要經(jīng)歷提交研究報告、現(xiàn)場展示和現(xiàn)場答辯三個環(huán)節(jié). 前兩個環(huán)節(jié)展示研究的背景、過程、研究方法與研究成果，分享參與研究的收獲和體會，很好地展現(xiàn)學生的綜合素質(zhì)和對所研究問題的理解程度. 答辯環(huán)節(jié)則是教師與學生的激情對話和思維碰撞，評委老師在先期評審、交流、研討的基礎(chǔ)上，圍繞著課題研究提問，進而給予合理的建議，將研究引入更高層次，為學生后續(xù)完善課題打下堅實的基礎(chǔ).

三、活動的成效

在初中階段開展學生的數(shù)學研究活動，鮮有大面積參與且獲得成功的先例，而在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動中，師生參與熱情高.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動積累了大量適合在初中階段開展的以數(shù)學為核心的課題研究案例，為初中階段開展數(shù)學研究提供了可以仿效學習的資源. 從活動情況來看，傳統(tǒng)名校表現(xiàn)亮眼，但最大的驚喜來自普通學校的脫穎而出. 難能可貴的是，普通學校所研究的課題全部來自學生的自主選擇，學生運用初中所學的數(shù)學知識進行研究，從研究到展示、答辯，每個作品都極具沖擊力和說服力，使得參與其中的師生真正意識到原來初中階段也可以“玩”數(shù)學. 數(shù)學不再是高高在上的，而是變得有趣、有用、平易近人，只需要帶著“慧眼”用數(shù)學的眼光觀察世界，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學原來就在身邊，并能運用數(shù)學解決生活中的問題. 目前，活動初見成效，顯示出了強大的生命力和吸引力.

1. 學生層面

（1）用數(shù)學眼光看世界.

① 激發(fā)興趣，感受數(shù)學的價值.

愛玩是初中學生的天性，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動將學生從枯燥乏味的數(shù)學練習中解放出來. 隨著研究活動的開展，學生對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣，雖歷經(jīng)艱險但樂此不疲，在“玩”中學到數(shù)學知識，運用數(shù)學知識解決問題使得學生看到了數(shù)學的力量，更有了研究的熱情. 學生體驗到自己的研究與真實的社會息息相關(guān)，付出的努力是有意義、有回報的，自然而然地更加重視自己所學到的數(shù)學知識. 學生認識到數(shù)學來源于生活，又應(yīng)用于生活，使生活變得更便利、更有條理、更有意義，這才是數(shù)學學習的本質(zhì)，從而真實感受到數(shù)學在學習生活中的必要性和重要性，“玩”出了數(shù)學的魅力與價值.

② 學會了發(fā)現(xiàn)和提出問題，形成了選取課題的經(jīng)驗和方法.

選擇和確定一個恰當?shù)难芯空n題，是做好研究的前提. 但對于初中學生而言，研究課題從何而來？怎樣才能找到既有“數(shù)學味”又有意義的課題呢？應(yīng)當在哪里挖掘？事實證明，學生在自己的所見所聞中尋找，研究發(fā)生在身邊的事，則興趣更濃，參與度更高.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動引導學生學會用數(shù)學眼光觀察自然界中的現(xiàn)象、日常學習生活和社會生活，養(yǎng)成不斷提問的習慣，培養(yǎng)學生的問題意識，掌握思考問題的方法，形成尋找研究課題的基本路徑，即“觀察身邊事—建立問題庫—初選問題—精選問題—確定研究課題”.

例如，在課題“用數(shù)學的眼光看‘打折’”中，教師先指導學生觀察身邊的各種打折現(xiàn)象，一位學生觀察到商場里有形形色色的打折標語，對這件事感興趣，馬上將想到的問題記錄下來，通過這樣的方式慢慢建立起自己的問題庫. 小組研討時，大家從各自的問題庫中初步篩選，找出更感興趣的、可“玩”性更高的問題. 初選出兩三個問題后，再把問題利用思維導圖或“五何問題法”進行多角度剖析，幫助學生有序地發(fā)散思維，引導學生從事件的起因、背景、影響等方面進行思考. 利用思維導圖可以羅列出如下部分子問題：商家為什么要進行打折促銷？打折商品質(zhì)量也有打折嗎？哪些商家更喜歡進行打折促銷？不同的打折形式，哪種更實惠？折扣與理性消費有什么關(guān)系？針對“是何、為何、如何、若何、由何”，把打折現(xiàn)象分解成以下五個維度：會出現(xiàn)什么形式的打折？為什么會出現(xiàn)打折現(xiàn)象？如何買到折扣最低的商品？如果選購了某折扣，真的能省下錢嗎？是什么原因使商家能做到低折扣下盈利？通過對這些子問題的分析，容易得出“打折”這個主題價值很高. 如此操作，將事件剖析得更到位，精選出最有研究價值的問題，最終形成研究課題.

③ 形成了初中學生開展數(shù)學研究的課題資源.

從已有的研究課題來看，學生能從不同的角度挖掘現(xiàn)實世界與所學數(shù)學知識之間的聯(lián)系，提出了一系列具有社會意義和實用價值的研究課題，選題頗具匠心，呈現(xiàn)出范圍廣、來源多、操作性強，極具創(chuàng)意和趣味性，貼近學生日常學習和生活的特點. 特別地，還具有前瞻性和商業(yè)推廣價值. 概括起來，題材來源主要可以分為以下三類.

第一類，動手制作模型或與計算機等前沿科學相結(jié)合的數(shù)學活動. 初中學生對于動手操作、利用計算機軟件等方式開展數(shù)學研究表現(xiàn)出極大的興趣. 此類活動能提升學生對數(shù)學的認同感，具有時代感，會使學生在研究中非常主動地親近數(shù)學，這類選題適合面向大部分學生推廣. 例如，在課題“A4立體折紙造型”中，學生通過折紙活動進行鑲嵌、空間填充的探究. 在課題“元胞自動機方法應(yīng)用于模擬植物的算法與實驗研究”中，將算法編程技術(shù)應(yīng)用于生物. 在“神奇的數(shù)學光影”中，利用數(shù)學畫圖軟件和三角函數(shù)知識畫出各種美麗的圖案.

第二類，用數(shù)學解決實際生活中的問題. 這類題材所占比例最大，學生從日常生活中提煉出感興趣的研究課題，體現(xiàn)了數(shù)學與日常生活的緊密聯(lián)系. 例如，在課題“書包探秘、樂亦無窮”中，從常見的“背包病”入手，運用三角函數(shù)知識建立數(shù)學模型，提出肩帶長度的“黃金三角”結(jié)論，使肩背受力更加均衡、舒適. 在課題“關(guān)于廣州市初中回收舊計算器的研究”中，學生以獨到敏銳的眼光觀察到身邊同學使用計算器所造成的環(huán)保問題，體現(xiàn)了學生關(guān)注課題的社會意義與實用價值. 在課題“允許車輛掉頭（亦可直行）的合適車道”中，通過觀察道路上掉頭車道的不同安排提出問題，建立數(shù)學模型進一步研究其合理性.

第三類，對教材練習題或數(shù)學活動的拓展、深化.該類選題往往立足于教材，但又高于教材. 例如，由廣州地域特色的滿洲窗引發(fā)的研究“探究滿洲窗中的一類幾何性質(zhì)與應(yīng)用”，學生從生活中的滿洲窗抽象出各種幾何圖形，然后對圖形進行了分類，深入研究角之間的關(guān)系. 課題“探究多邊形剪拼成正方形數(shù)學實驗活動”“由一道練習題聯(lián)想到的最短路徑問題”則是從人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）八年級下冊第十七章“勾股定理”復(fù)習題中的第12題受到啟發(fā)，開展針對立體圖形表面最短路徑問題的研究. 課題“正多邊形的折法研究”從人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”的數(shù)學活動“折紙做60°，30°，15°的角”研究深化而來，課題在研究用矩形紙片折疊30°角的基礎(chǔ)上，進一步考慮是否能折疊得到其他角度，再從中得到正多邊形. 另外，課題“巧用幾何方法解決不等式問題”“二進制的奧秘”等均來源于教材.

（2）用數(shù)學思維思考世界.

通過“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動，學生掌握了開展課題研究的一般方法，學會了統(tǒng)籌、合理規(guī)劃研究路徑，科學篩選研究課題，經(jīng)歷了通過測量、觀察、收集和組織數(shù)據(jù)、控制變量，建立數(shù)學模型，估計、試驗、作圖、推理、數(shù)據(jù)解釋、做出假說、模型認可等完整的研究過程，綜合運用數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等對研究內(nèi)容進行理性分析與思考;通過研究活動，學生還根據(jù)需要自發(fā)學習了很多新的知識，體會到數(shù)學思想方法的作用，深刻感受到數(shù)學的實用性和聯(lián)系性，形成了嚴謹、務(wù)實的思維習慣，逐步學會定性思考、定量研究，把握辯證地思考問題，發(fā)展了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

例如，在課題“話費·水電費·分段收費”及“關(guān)于拱橋和平橋承受力大小的研究”中，學生通過已掌握的知識合理構(gòu)建數(shù)學模型，借助函數(shù)思想嘗試解決問題，在研究過程中，學生通過廣泛收集數(shù)據(jù)、調(diào)查問卷和實地探究，在力所能及的情況下對解決方案進行擬定并多次修改. 在課題“熠熠生輝的出入相補”和“一元一次不等式在購物中的應(yīng)用”的研究中，學生通過對數(shù)學問題進行深入剖析，提出全新思考視角，使得教材中的數(shù)學研究在數(shù)學思想方法上得到了進一步的躍升.

（3）用數(shù)學語言表達世界.

“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動需要學生撰寫研究報告，這個環(huán)節(jié)使得學生掌握了寫研究報告的基本格式規(guī)范，在日常教學中學習的數(shù)學表達在報告撰寫中得到了很好的鍛煉. 學生圍繞數(shù)學問題的描述、論證過程，學會了科學嚴謹、言簡意賅的表達方式，而展示和答辯則鍛煉了學生溝通和口頭語言表達能力.

2. 教師層面

眾所周知，由于常年積累的思維定勢和固有成見，成年人改變觀念的難度較大，即使可以接受新觀念，但缺乏持久、具有可操作性的做法和實踐動力. 而“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動以學生鮮活靈動的創(chuàng)造性活動震撼、觸及教師的心靈. 參與的教師在以下三個方面發(fā)生了質(zhì)的轉(zhuǎn)變.

第一，改變了對數(shù)學教育的認識.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動使得教師充分感受到數(shù)學的重要性，以及開展數(shù)學活動過程中學生的激情、興趣和創(chuàng)造力所散發(fā)出來的育人價值. 這種意識的覺醒使得教學中紙上談兵、功利應(yīng)試行為發(fā)生質(zhì)的改變，直接改變了教師教學的出發(fā)點，使教師在教學中能自覺挖掘數(shù)學教學的育人功能，重視對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

第二，教學方式有實質(zhì)性轉(zhuǎn)變. 在課堂教學中，教師有時為“活動”而活動，雖有學生活動的環(huán)節(jié)但缺乏培養(yǎng)學生素養(yǎng)的實質(zhì)，學生活動流于形式，而“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動讓教師看到學生的能動性和創(chuàng)造性. 隨著課題的深入研究，在教師幫助之下學生自發(fā)學習了很多教材之外的或者更高年級的數(shù)學知識，學生從“要我學”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W”，積極而主動，完全沒有課堂教學中啟而不發(fā)、推而不動的狀態(tài). 活動中，教師的指導作用充分而恰當?shù)陌l(fā)揮，使得學生在教師的點撥下對研究問題、感悟數(shù)學思想方法有了深刻的認識，比用傳統(tǒng)學習方式學得更好、走得更遠. 這些現(xiàn)象都令教師通過活動反思自己的課堂教學行為及設(shè)計，審視教學是否突出了學生的主體性，使得課堂教學發(fā)生質(zhì)的改變，力求通過教學設(shè)計與課堂生成讓學生主動思考，真正激發(fā)學生的潛能.

第三，促使教師專業(yè)水平的發(fā)展，與時俱進.“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動產(chǎn)生了很多由學生自主選定的研究課題，這些課題富有時代感、科技感，跨學科融合. 教師被初中學生研究的深度和廣度震撼，由此產(chǎn)生了壓力、挑戰(zhàn)和緊迫感，以前教師要有“一桶水”的觀念被徹底打破. 教師逐漸意識到需要傾聽學生、了解學生，跟上學生的步伐，不斷學習新技術(shù)，提升課程力，主動將數(shù)學與其他學科、生活聯(lián)系，這樣才能具備指導學生開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動的能力. 教師在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動中指導力得到提升，對數(shù)學思想方法和數(shù)學知識之間的聯(lián)系認識更加深刻，這些都會自覺融入課堂教學中，達到教學相長的目的.

四、活動案例

課題“在樓梯中‘做’數(shù)學”是一所普通中學八年級學生的作品，在“玩什么？”“怎么玩？”“能玩出什么？”等方面給出了很好的示范.

1. 生活困擾，發(fā)現(xiàn)問題

樓梯不只是簡簡單單的建筑，生活中曾發(fā)生因樓梯設(shè)計不當導致人員受傷的實例. 研究小組由此注意到了樓梯設(shè)計存在不合理的現(xiàn)象，而且容易被人們忽視. 樓梯設(shè)計需要更人性化、更精確，才能安全放心地投入使用. 怎樣設(shè)計樓梯，使其符合不同人群的需求呢？樓梯的結(jié)構(gòu)是怎樣的？能不能結(jié)合數(shù)學知識合理設(shè)計樓梯？這是本課題要探究的問題.

2. 受到啟發(fā)，確定方向

研究小組決定用數(shù)學知識分析樓梯構(gòu)造，以期為建造樓梯提供合理建議. 由此提出猜想：樓梯設(shè)計是否與使用樓梯的人群的身高有關(guān)？樓梯設(shè)計是否與其特殊功能有關(guān)？有沒有國家規(guī)定的樓梯建筑標準？如何建造合理規(guī)范的樓梯，使其滿足人們的需求？

為了方便表達，研究前，首先定義樓梯各部分結(jié)構(gòu)名稱，如圖1所示.

抽象、定義樓梯截面模型如下：因為踏高垂直于踏寬，所以樓梯的坡面、踏寬、踏高組成一個直角三角形，踏寬和踏高是直角三角形的兩條直角邊. 樓梯截面由若干個全等直角三角形組成. 如圖2，在Rt△ABC中，AC是踏寬，BC是踏高，測量出踏寬AC與踏高BC的長，求出BC與AC的比值，即樓梯的坡度，然后算出∠BAC的度數(shù).

猜想：（1）樓梯的踏寬與踏高應(yīng)該與人群的（身高）腳掌長度有關(guān)系;（2）根據(jù)樓梯功能不同，樓梯的設(shè)計應(yīng)該有所不同.

3. 收集數(shù)據(jù)，驗證假設(shè)

為了驗證猜想，研究小組尋找了公共場所的幾個樓梯進行調(diào)查研究，包括學校附近的小學、中學、商場、公園. 經(jīng)過問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這些樓梯的滿意度都為80%以上.

（1）身高與腳掌長度的關(guān)系.

為了驗證這個猜想，先進行身高與腳掌長度關(guān)系的調(diào)查. 分別在某小學和中學各抽取50名學生、30名成人進行調(diào)查，進行樣本采集. 部分數(shù)據(jù)如表1所示.

（2）小學學校樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某小學教學樓樓梯的踏寬AC = 29 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1429]，得坡角∠BAC ≈ 25.8°. 以此計算出適合小學生走的樓梯的坡角度數(shù). 再根據(jù)小學高年級學生的身高值，計算出小學生腳掌長度的平均值為21.4 cm，發(fā)現(xiàn)踏寬約比小學生腳掌長7.6 cm. 如果學生穿上鞋子就比踏寬長約6 cm，且踏寬約為踏高的2倍. 按照這個方法設(shè)計出適合小學生走的樓梯的踏寬、踏高與坡角度數(shù).

（3）中學學校樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某中學樓梯的踏寬AC = 30 cm，踏高BC =15 cm，由tan∠BAC =[1530]，得坡角∠BAC ≈ 26.6°，計算出適合中學生走的樓梯的坡角度數(shù). 再計算中學生腳掌長度的平均值為24.3 cm，發(fā)現(xiàn)踏寬約比中學生腳掌長度多5 cm，且踏寬約為踏高的2倍. 按照這個方法設(shè)計出適合中學生走的樓梯的踏寬、踏高與坡角度數(shù).

（4）商場緊急通道樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某商場的緊急通道樓梯的踏寬AC = 32 cm，踏高BC = 17.5 cm，由tan∠BAC =[17.532，] 得坡角∠BAC ≈ 28.7°，以此計算出緊急逃生時，人們快速疏散時所走樓梯的坡角度數(shù). 因為緊急通道要使人們能快速疏散，所以樓梯踏寬必須要寬，以便人們逃生時不會踩空，發(fā)生意外;踏高必須要高，以便人們能更加快速地逃生.

（5）公園樓梯踏寬與踏高的關(guān)系.

測量某公園臺階的踏寬AC = 38 cm，踏高BC = 14 cm，由tan∠BAC =[1438，] 得到坡角∠BAC ≈ 20.2°，以此計算出適合公園散步的行人所走臺階的坡角度數(shù). 因為散步的行人有兒童、成人、老人等各種年齡段的人群，所以公園臺階的設(shè)計踏寬較寬，踏高較低，坡角度數(shù)較小，適合大眾人群散步放松.

4. 初步感知，得出結(jié)論

通過分析不同場景樓梯的數(shù)據(jù)，驗證了初始的猜想，即樓梯的踏寬設(shè)計必須考慮使用樓梯的人群的腳掌長度;樓梯的踏高設(shè)計必須考慮使用群體的目的與身高. 特別是公共場所，為了方便群眾、節(jié)約資源，樓梯設(shè)計一定要仔細，要進行綜合考量. 當然，除了驗證以上猜想，在研究過程中，小組學生還歸納發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

（1）人的身高與腳掌長度的比值約是7∶1.

（2）通過測量小學和中學教學樓的樓梯踏寬與踏高，估測出適合人們行走的樓梯踏寬約比腳掌長度長5 cm，且踏寬約為踏高的2倍，公共場所的樓梯的坡角度數(shù)多數(shù)小于30°. 特別是公園的樓梯，坡度應(yīng)該更小才適宜.

（3）人們散步的臺階的設(shè)計應(yīng)該是踏寬較長，踏高較低，坡角度數(shù)較小，但范圍在20° ～ 25°，且踏寬的長度不超過步距，這樣設(shè)計的樓梯才能使人們得到更好的放松.

（4）緊急疏散樓梯的踏寬和踏高的長度比普通樓梯要長一些，踏高必須要高，讓人們能更安全、更快捷地逃生.

（5）隨著使用樓梯群體的年齡的增長，踏寬越長，踏高漸高. 但總體而言，坡角度數(shù)為25°左右最為適宜.

在研究過程中，研究成果通過手抄報形式進行一次集中展示. 學生通過觀察、測量生活中常見的建筑物，發(fā)現(xiàn)其中蘊含著許多數(shù)學知識，回味無窮.

5. 結(jié)合行業(yè)標準，確定范圍

經(jīng)過資料檢索、調(diào)查得知，樓梯設(shè)計規(guī)范雖然經(jīng)常提及，但樓梯設(shè)計規(guī)范并沒有明確的行業(yè)標準.但是，樓梯間設(shè)計應(yīng)符合現(xiàn)行國家標準《建筑設(shè)計防火規(guī)范》（GBJ16）和《高層民用建筑設(shè)計防火規(guī)范》（GB50045）的有關(guān)規(guī)定. 研究小組查到民用建筑樓梯設(shè)計的規(guī)范標準如表2所示.

當然，在樓梯建設(shè)的規(guī)范要求當中，還有涉及梯寬、扶欄、平臺等設(shè)計的大致要求，確保人流通暢與安全，在此不做詳細研究. 現(xiàn)把以上標準暫作為樓梯的國家標準，以下統(tǒng)稱“國標”.

6. 給定背景，設(shè)計樓梯

研究小組根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在國標基礎(chǔ)上，進行不同功能的樓梯的設(shè)計. 假設(shè)給定樓高為3 m、進深為4 m的樓房模型，進行不同功能樓梯（主要為直線型與之字型）的合理設(shè)計，并判斷該模型能否設(shè)計出風格各異的樓梯. 如果不能設(shè)計出符合要求的樓梯，能不能進行優(yōu)化改進？帶著這些問題，研究小組進行了如下設(shè)計操作.

（1）辦公樓的樓梯設(shè)計.

一般地，采用如圖4所示的設(shè)計方法，其步驟如下：① 初定踏高為0.14 m;② 由樓層高度為3 m，確定樓梯的階數(shù)為[30.14]≈ 21.4（取偶數(shù)階22級）;③ 精確踏高為[322]≈ 0.136 （m）;④ 由22階確定進深深度最低為22 × 0.28 = 6.16 > 4（m）.

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，該模型不能設(shè)計為直線型樓梯. 但考慮空間有限，可以應(yīng)用在餐館等特殊場所. 在考慮安全性的前提下，要保證踏寬長度，再設(shè)計如圖5所示的樓梯，設(shè)計步驟如下：① 初定踏寬為0.28 m;② 由進深高度為4 m，確定樓梯的階數(shù)為[40.28]≈ 14，進而精確每階踏寬為[414]≈ 0.286（m），踏高為[314]≈ 0.214（m）;由于0.214 > 0.16，可見，踏高過高，爬樓梯比較費勁.

轉(zhuǎn)而考慮之字型樓梯，在樓層的中間設(shè)置一個休息平臺. 按國家規(guī)定要求，平臺的寬度至少是1.2 m. 于是，把該模型分成兩個梯段，每段11階，進行與上述方法相同的設(shè)計，但顯得煩瑣.

為了改進方法，從樓層梯段的坡角出發(fā)，反過來設(shè)計每一級階梯的踏寬與踏高，如圖6所示，其步驟如下. ① 計算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=1.52.8，] 得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高為0.14 m，計算出踏寬為[0.14tan28.2°≈][0.26] （m）. 因為0.26 < 0.28，所以該階梯的設(shè)計不符合國標要求. ③ 進而在國標的規(guī)范范圍內(nèi)，再定踏高為0.15 m，計 算出踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 此時該階梯的設(shè)計符合國標要求. 由此確定每個梯段的級數(shù)為[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

結(jié)合上述研究發(fā)現(xiàn)，在空間有限的前提下，相比直線型樓梯，之字型可以優(yōu)化樓梯的設(shè)計，使其較好地符合國標要求，而且可以提高空間使用率. 基于此，下文的樓梯設(shè)計，多從之字型樓梯模型入手，進行設(shè)計并優(yōu)化.

（2）住宅的樓梯設(shè)計.

如圖7，從樓層梯段的坡角出發(fā)，設(shè)計每一級階梯的踏寬與踏高，其步驟如下. ① 計算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 初定踏高為0.15 m，則踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因為0.28 > 0.26，所以該階梯的設(shè)計符合國標要求. 因此設(shè)定每個梯段的級數(shù)為[1.50.15=10]或者[2.80.28=10].

（3）劇院的樓梯設(shè)計.

如圖8，從樓層梯段的坡角出發(fā)，設(shè)計每一級階梯的踏寬與踏高，其步驟如下. ① 計算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=1.52.8]，得到[α≈]28.2°. ② 初定踏高為0.12 m，進而計算踏寬為[0.12tan28.2°≈0.22] （m）. 因為0.22 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計不符合國標要求. ③ 定踏高為0.13 m，進而計算踏寬為[0.13tan28.2°≈0.24] （m）. 因為0.24 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計不符合國標要求. ④ 再定踏高為0.15 m，進而計算踏寬為[0.15tan28.2°≈0.28] （m）. 因為0.28 < 0.3，所以該階梯的設(shè)計不符合國標要求.

綜上所述，在踏高符合國標要求的前提下，由此得出的踏寬不符合國標要求，所以該模型不適宜建造劇院的樓梯.

（4）幼兒園的樓梯設(shè)計.

圖9為幼兒園樓梯設(shè)計圖，設(shè)計步驟如下. ① 計算坡角[α]的度數(shù)，由[tanα=][1.52.8，] 得到[α≈28.2°.] ② 定踏高為0.14 m，計算出踏寬為[0.14tan28.2°≈0.26] （m），因此該階梯的設(shè)計符合國標要求. ③ 確定每個梯段的級數(shù)為[1.50.14≈10.7]（取整數(shù)10），所以每一階的踏高為[1.510=0.15]（m），踏寬為[2.810=0.28]（m）. 綜上所述，當樓梯每個梯段為10階，則每一梯段的踏高為0.15 m，踏寬為0.28 m，該設(shè)計滿足幼兒園的國標要求.

綜上所述，為了更快地判斷能否設(shè)計出合理的樓梯，可以把國標的踏寬和踏高轉(zhuǎn)化為每一級階梯的坡角，再轉(zhuǎn)化為每一梯段的坡角. 于是，設(shè)置了公共場所樓梯的坡角規(guī)定，如表3所示.

綜上所述，改用坡角設(shè)計法，不僅可以判斷能否建造出合理樓梯，還可以快速設(shè)計出樓梯建造方案，也可以設(shè)計三之型、旋轉(zhuǎn)型、梯段不等高的樓梯. 以樓高為3 m、進深為4 m的模型為背景，設(shè)計辦公樓的三之型樓梯，而梯段不等高方法也是如此. 設(shè)計方法參考如下.

① 設(shè)定坡角[α]= 29°.

② 兩平臺之間長度為4 - 2.4 = 1.6（m），由銳角三角函數(shù)得到兩平臺之間的高度為0.9 m.

③ 計算出三之型樓梯每一梯段高度分別為1.05 m，0.9 m，1.05 m.

④ 取每階踏高為0.14 m，則中段的階數(shù)為[0.90.14]≈ 6，再精確每一階的高度為[0.96]= 0.15（m），每一階的寬度為[0.15tan 29°][≈]0.27（m），則中段樓梯共6階. 類似地，上段與下段的階數(shù)是7階，每一階踏高為0.15 m，踏寬為0.27 m，如圖10所示.

總之，可以采用坡角的設(shè)計方法，在給定的模型當中判斷該模型是否可以設(shè)計符合國標要求的直線型或之字型樓梯，并解釋能夠設(shè)計樓梯的理由. 當然，如果可以設(shè)計，研究小組可以較快、較精確地設(shè)計出符合人們需求的樓梯，這也是該課題的亮點之一.

7. 合理優(yōu)化，美觀環(huán)保

針對以上設(shè)計中發(fā)現(xiàn)的問題，研究小組進行合理優(yōu)化，方案如下.

（1）在如前所述的樓高為3 m、進深為4 m的樓房模型中，當以國標為判斷依據(jù)時，是不能夠設(shè)計滿足要求的劇院樓梯的. 但是，如果在考慮踏高取最大值的情況下，若該模型的踏高取0.15 m，則踏寬為[0.15tan28.2°≈][0.28]（m），雖然0.28 < 0.3，不符合國標要求，但是可以考慮采用不增加踏高、增加踏寬的方法，使其踏寬符合要求，優(yōu)化為如圖11所示的形式.

（2）在建造樓梯的過程中，當滿足國標的設(shè)計方法多樣時，可以考慮建造用料的節(jié)省，從而降低成本，踐行環(huán)保意識. 于是，通過計算每一階梯的用料面積，得出所有階梯的用料面積.

如圖12，模型的高度為H m、進深為B m，則梯段與水平面的坡角為α，滿足tan α =[H2B-1.2]（若H和B的長度是固定的，則坡度是一個定值）. 假設(shè)每一階梯的踏高為x m，則踏寬為[xtan α]. 則每一階梯的截面面積為S1=[x22 tan α，] 每個梯段截面的面積為[S=Hx · S1=][Hx2tan α].

通過計算，發(fā)現(xiàn)樓梯的用料多少與踏高和坡角度數(shù)的大小有關(guān)，其中與踏高成正比例關(guān)系，與坡角成反比例關(guān)系. 于是在符合國標的前提下，降低踏高或增大坡角，可以節(jié)省用料，從而做到低碳環(huán)保.

（3）在現(xiàn)實生活中，建造樓梯不僅要考慮國標的要求，有時候更需要考量美觀性，而旋轉(zhuǎn)樓梯在美觀性和空間立體感方面收獲人們更多的喜愛. 簡易的旋轉(zhuǎn)樓梯往往圍繞一根單柱旋轉(zhuǎn)直上，平面呈圓形;而復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)樓梯則要求同心圓的構(gòu)造，踏寬的內(nèi)側(cè)長度較小，踏寬的外側(cè)長度較大，其復(fù)雜的構(gòu)造需要精心設(shè)計，才能達到美觀與舒適的要求.

不妨借助如圖13所示的辦公樓模型，進行旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計. 其中，將平臺寬度1.2 m當作旋轉(zhuǎn)樓梯的梯段寬度.

<＼＼10.1.5.113＼共享＼00初中＼00中數(shù)初中版2021年飛翔＼中數(shù)初中2021年第7-8期＼image27.jpeg>[圖13]

其設(shè)計步驟如下：① 先初定踏高為0.15 m;② 由樓高為3 m，確定旋轉(zhuǎn)樓梯的總級數(shù)為[30.15]= 20;③ 為了調(diào)整旋轉(zhuǎn)半徑，設(shè)置了上下各三階的方梯，從而計算出內(nèi)徑為1.96 m，進而計算出其半圓的弧長，并求出每一階的弧長約為0.44 m;類似地，依據(jù)外徑為3.16 m，得出踏寬外側(cè)每一階的弧長約為 0.71 m，進而設(shè)計出如圖14所示的旋轉(zhuǎn)樓梯.

當然，旋轉(zhuǎn)樓梯一般不作為主要人流交通和疏散樓梯，但由于其流線造型美觀、優(yōu)美、典雅、空間比較節(jié)省，常常用作樓層數(shù)不多的寫字樓、居民樓，或者作為建筑小品布置的家庭影院或室內(nèi)使用.

8. 學生感悟

學生從該課題中收獲很多，在研究過程中真正體會到了數(shù)學與生活的聯(lián)系，并掌握了設(shè)計樓梯的方法及優(yōu)化樓梯的技巧. 該課題側(cè)重考慮踏寬與踏高的研究，從研究到建造樓梯，還有許多需要考慮的因素，有待繼續(xù)研究. 總體而言，該課題實現(xiàn)了“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動的初衷，即“玩中學，學中玩”，這就是數(shù)學的魅力.

當然，通過反思研究過程和結(jié)論，研究小組有以下幾點感悟.

（1）調(diào)查的數(shù)據(jù)會有一點誤差，但總體還是準確的.

（2）調(diào)查的樣本來源于各類人群使用的樓梯，采用了問卷調(diào)查的形式，雖然樓梯的滿意度較高，但樣本的代表性不強.

（3）希望可以利用調(diào)查得出的結(jié)論，設(shè)計出合理的樓梯，減少生活中由樓梯導致的意外，并讓人們行走樓梯時能更舒適. 但結(jié)論應(yīng)用于生活實際，還有待研究.

（4）學生最初以為身邊樓梯設(shè)計的不足之處應(yīng)該不多，通過研究發(fā)現(xiàn)并非如此. 例如，生活中有的樓梯每一階的踏高不同，有的樓梯的第一階與最后一階的高度有差異.

（5）通過研究發(fā)現(xiàn)，樓梯的合理設(shè)計離不開數(shù)學，說明數(shù)學源于生活，又服務(wù)于生活.

9. 指導教師體會

該課題研究的問題源自生活中的感受，研究背景具有實際意義，培養(yǎng)了學生的“四基”與“四能”. 學生針對生活中樓梯的設(shè)計發(fā)現(xiàn)并提出問題，聚焦在每一級階梯的踏寬和踏高的研究，根據(jù)不同人群和不同場合的需要設(shè)計不同樓梯. 在這個過程中，學生需要思考：如何進行有效的分類設(shè)計？群體的需求有哪些？針對不同需求如何建造合適的樓梯？樓梯的設(shè)計是否與數(shù)學存在緊密的聯(lián)系？在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律？針對這一連串的問題研究，學生都給予了很好的解答.

該課題充分體現(xiàn)了學生對于數(shù)學知識的應(yīng)用，具體表現(xiàn)在以下幾點：提取樓梯的數(shù)學模型，培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模素養(yǎng);三角函數(shù)知識的應(yīng)用，拓寬了八年級學生解決直角三角形相關(guān)問題的思路;坡角的知識，讓學生學會了從不同視角看問題;調(diào)查統(tǒng)計，啟發(fā)了學生研究問題必須依靠數(shù)據(jù)收集;體會了函數(shù)和線性規(guī)劃等知識的應(yīng)用.

把學習過的數(shù)學知識應(yīng)用到實際生活中，是從課堂到生活的衍生，而這種衍生正是目前所大力提倡的創(chuàng)新和實踐精神. 在研究過程中，學生學會了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，得出了結(jié)論，其心情是愉悅的、有成就感的. 他們不僅感受到了數(shù)學的實用性，再次見證了數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，更體會到學習數(shù)學的無窮樂趣，這達到了開展“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動的目的.

對于學生的研究與工作，指導教師給予了他們極大的鼓勵與肯定，引導學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，用數(shù)學知識解決生活中的實際問題.

當然，針對不合理的樓梯解釋，不僅需要結(jié)合本文的研究數(shù)據(jù)作為判斷，還需要對使用樓梯群體進行調(diào)查問卷. 樓梯的合理性應(yīng)因人而異. 但總體而言，該課題研究具有一定的實用性.

總之，學生是很努力的，積極參與調(diào)查與論證，希望在使用數(shù)學知識研究生活事例的這條路上能夠越走越遠，越走越深. 收獲越多，進步越大.

10. 答辯點評

在此環(huán)節(jié)，學生能運用數(shù)學知識、數(shù)學思想方法解決日常生活中有關(guān)樓梯設(shè)計的問題，不僅從國家關(guān)于樓梯設(shè)計的標準出發(fā)考慮問題，而且能從使用樓梯群體的需求特點出發(fā)思考有關(guān)樓梯設(shè)計的問題. 研究小組分別從樓層建筑樓梯的寬度與高度、樓梯臺階的高度與長度、人體踏高與踏寬三個維度提出設(shè)計的出發(fā)點，并針對直線型樓梯、之字型樓梯、旋轉(zhuǎn)樓梯的各自特點選擇設(shè)計方案，通過調(diào)查，利用統(tǒng)計知識確定使用樓梯群體的代表數(shù)據(jù)作為設(shè)計的依據(jù). 研究過程扎實、嚴謹，研究報告、展示和答辯等環(huán)節(jié)都有較高水平.

總之，“玩轉(zhuǎn)數(shù)學”活動是一項富有意義的、學生開展的數(shù)學研究活動，激發(fā)了學生學數(shù)學、用數(shù)學的興趣，充分展現(xiàn)了學生的創(chuàng)新思維，也使得教師對數(shù)學教育有了更深層次的認識和更高的追求.

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