分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的運用

摘 要：分類討論思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法，教師引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，確保學(xué)生的解題效率，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.分類討論思想主要運用在函數(shù)方程、三角問題和圓問題中.教師需要正確引導(dǎo)學(xué)生，幫助學(xué)生掌握分類討論思想方法在初中數(shù)學(xué)解題中的運用方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);解題思路;分類思想

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）23-0030-02

收稿日期：2021-05-15

作者簡介：陳艷陽（1983.11-），女，江蘇省如皋人，本科，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、利用分類討論思想解決函數(shù)方程問題

方程問題是學(xué)生初中階段必須掌握的一個數(shù)學(xué)知識點，但是由于學(xué)生的認(rèn)知水平不足，數(shù)學(xué)知識儲備量有限，在學(xué)習(xí)較為抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)問題時，總是感到難以下手.當(dāng)出現(xiàn)這種情況時，教師需要耐心引導(dǎo)學(xué)生，指導(dǎo)學(xué)生正確運用分類討論思想解決相應(yīng)的方程問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率.

例1 現(xiàn)已知一個方程式子a-3x|a-1|+x2-3=0，a滿足什么條件的情況下，上述式子為一元二次方程？

解析 從題目給出的信息可以得出，當(dāng)x的指數(shù)小于等于2，且是自然數(shù)即可滿足要求，即|a-1|≤2.學(xué)生在解決上述問題時，容易犯的錯是，認(rèn)為只有當(dāng)指數(shù)為1時，才能滿足題目要求，導(dǎo)致答案不完整.而引入分類討論思想方法能夠有效避免學(xué)生的這一錯誤，教師指導(dǎo)學(xué)生將所有的可能列出來，避免答案遺漏現(xiàn)象.當(dāng)a-1=2，時，a=3或者a=-1，將a代入一元二次方程，可得到式子x2-3=0，或者3x2+3=0.當(dāng)a-1=1時，解得a=2或者a=0，得到一元二次方程式為x2-x-3=0，或者x2-3x-3=0.而當(dāng)a-1=0時，解得a的值為1，此時的一元二次方程式子為x2-5=0.通過上述解析，不難發(fā)現(xiàn)將分類討論思想方法運用到數(shù)學(xué)解題中，有效避免答案遺漏的現(xiàn)象，學(xué)生的解題準(zhǔn)確率有所提升.

二、利用分類討論思想解決三角幾何問題

三角形問題也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常遇到題型，因為幾何知識的抽象性和邏輯性，學(xué)生在解決這類問題時存在一定的難度.而且因為學(xué)生的空間想象力不足，難以準(zhǔn)確理解此類問題的具體意思，解題思路自然存在偏差.因此，教師在教學(xué)時，需要有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的空間想象力.將分類討論思想方法運用到幾何問題解決中，有效幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能，確保學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，增強學(xué)生的解題信心.

例2 如圖所示，已知兩條直線l1和l2，以及一條線段AB，兩條直線相交，假設(shè)兩條線段上存在一點P，在什么情況下，能夠滿足△PAB為等腰三角形？

解析 學(xué)生在求解上述數(shù)幾何問題時，因為缺乏較強的想象力，在解決問題上存在一定的難度，如果學(xué)生繼續(xù)運用傳統(tǒng)的解題方法，可能會導(dǎo)致答案錯誤.因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生正確解決上述問題，首先，教師需要幫助學(xué)生回憶有關(guān)等腰三角形的定義和相關(guān)知識，然后指導(dǎo)學(xué)生利用課堂所學(xué)知識進(jìn)行求解，正確運用分類討論思想方法，已知AB為等腰三角形的一條邊，現(xiàn)在需要進(jìn)行分類.首先，假設(shè)AB為等腰三角形的底邊，在此條件下，作線段AB的中垂線，分別與直線l1和l2相交于點P2和P1，此時滿足要求，即△PAB為等腰三角形.繼續(xù)假設(shè)，當(dāng)線段AB為等腰三角形的腰時，又需要進(jìn)行分類.首先假設(shè)當(dāng)∠A為頂角時，教師引導(dǎo)學(xué)生利用課堂中與等腰三角形的定義知識，指導(dǎo)學(xué)生作圖.以點A為圓心，線段AB為半徑畫一個圓，和直線l1和l2相交于點P3、P4、P5和P6，即滿足上述題目的要求.當(dāng)∠B為頂角時，同理，以點B為圓心，線段AB為半徑作圓，可得到和直線l1和l2的交點P7、P8、P9和P10，滿足數(shù)學(xué)題目要求，△PAB為等腰三角形.由此可見，學(xué)生在解決初中數(shù)學(xué)三角問題時，應(yīng)當(dāng)正確指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，確保初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

三、利用分類討論思想解決圓的相關(guān)問題

幾何數(shù)學(xué)知識是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的重中之重，學(xué)生的邏輯思維不足，難以準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)幾何知識.因此，教師需要正確引導(dǎo)學(xué)生.初中的幾何知識包括三角形、圓形等幾何圖形，學(xué)生在解決這類問題時，因為對幾何知識的理解不透徹，無法準(zhǔn)確抓住題目的關(guān)鍵，從題意本身出發(fā)，導(dǎo)致答案錯誤.所以，教師需要指導(dǎo)學(xué)生動手作圖，通過自主探索獲得數(shù)學(xué)新知識，既鍛煉學(xué)生的動手能力，又確保數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量.

例3 已知兩個圓O1和O2的半徑分別為10和17，兩個圓存在兩個交點A和B，線段AB的長為16，求圓心距O1O2和∠O1AO2？

解析 在求解上述題目時，學(xué)生需要將所有的可能性都考慮到，避免遺漏.所以，教師需要指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想方法，確保答案的完整性.根據(jù)上述題目給出的信息，兩個圓相交存在兩個交點的情況有兩種，如圖所示.聯(lián)系以前所學(xué)的勾股定理，可以列出式子O1C=AO21-AC2=102-82=6.同理可得O2C=AO22-AC2=172-82=15.計算到這里，學(xué)生可能不知道如何繼續(xù)下一步，這時，教師需要指導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系三角函數(shù)的相關(guān)知識，調(diào)動學(xué)生所有可以利用的數(shù)學(xué)知識，鍛煉學(xué)生的實際運用能力.將上述得出的條件代入到新的式子中，可得到cos∠O1AC=ACAO1=810=45，同理可以得到cos∠O2AC=ACAO2=817，所以∠O1AC=36.9°，∠O2AC=61.9°.接著，教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行假設(shè)，分類進(jìn)行討論.假設(shè)兩個圓相交的情況如（a）所示，則O1O2=O1C+O2C=6+15=21，∠O1AO2=∠O1AC+∠O2AC=36.9°+61.9°=99°.當(dāng)兩個圓相交的情況如（b）所示時，教師需要引導(dǎo)學(xué)生重新分析.O1O2=O2C-O1C=15-6=9，∠O1AO2=∠O2AC-∠O1AC=61.9°-36.9°=25°.由此可以看出，分類討論思想運用廣泛，利用分類討論思想解決幾何數(shù)學(xué)問題，能夠確保答案的完整性和準(zhǔn)確性，讓數(shù)學(xué)解題教學(xué)課堂得以順利開展.

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中運用較為廣泛，教師需要合理準(zhǔn)確地引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想，仔細(xì)審題，根據(jù)題目所給的信息，具體分析數(shù)學(xué)題目，確保答案的準(zhǔn)確性，提高學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)：

[1]袁紹建.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2015（24）：136-137.

[2]史志亞.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)大世界（教學(xué)導(dǎo)向），2012（11）：64-65.

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