“螺旋上升”豈能“旋而不升”

顧秋丹 陳算榮

摘要：初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)是小學(xué)階段負(fù)數(shù)概念教學(xué)的拓展與延伸，而非簡(jiǎn)單的重復(fù)。這是數(shù)學(xué)課程教材內(nèi)容編排“螺旋上升”理念的體現(xiàn)。然而，很多初中教師把負(fù)數(shù)的概念當(dāng)作全新的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，無(wú)視學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)有了負(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。對(duì)此，結(jié)合課標(biāo)要求的差異以及歷史發(fā)展的過(guò)程，對(duì)小學(xué)階段負(fù)數(shù)概念教學(xué)和初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)作出不同的認(rèn)知定位。由此，針對(duì)初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)的“明晰正負(fù)符號(hào)與加減符號(hào)的聯(lián)系”“理解負(fù)數(shù)的出現(xiàn)滿足了數(shù)系對(duì)加減法運(yùn)算的封閉性”兩個(gè)認(rèn)知定位進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：正數(shù)和負(fù)數(shù);螺旋上升;認(rèn)知定位;活動(dòng)設(shè)計(jì)

基于基礎(chǔ)教育階段課程的學(xué)科性以及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性，我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材的編排秉承“螺旋式上升，波浪式前進(jìn)”的原則，將某些相同主題的內(nèi)容安排在不同的學(xué)段中反復(fù)出現(xiàn)。然而，一些教師會(huì)因?yàn)椴荒芎芎玫匕盐者@一編排意圖，不去深入剖析“升”在何處，而導(dǎo)致在高學(xué)段的教學(xué)中對(duì)內(nèi)容的認(rèn)知定位停留在低學(xué)段的水平，即出現(xiàn)“旋而不升”的現(xiàn)象?！罢龜?shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)就容易出現(xiàn)這樣的狀況。

一、“旋而不升”：初中“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)存在的現(xiàn)象及其根源

“正數(shù)和負(fù)數(shù)”這一內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，人教版和蘇科版教材都將這一內(nèi)容安排為第一個(gè)正式章《有理數(shù)》的第一節(jié)。初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)是小學(xué)階段負(fù)數(shù)概念教學(xué)的拓展與延伸，而非簡(jiǎn)單的重復(fù)。

然而，在現(xiàn)實(shí)觀課中我們發(fā)現(xiàn)，很多初中教師把負(fù)數(shù)的概念當(dāng)作全新的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，無(wú)視學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)有了負(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。此外，在“中國(guó)知網(wǎng)”中以主題詞“負(fù)數(shù)教學(xué)”與“正數(shù)和（與）負(fù)數(shù)” 搜索期刊文章，經(jīng)過(guò)粗略統(tǒng)計(jì)，得到2011年以后有關(guān)“‘正數(shù)和負(fù)數(shù)教學(xué)”的期刊文章一共101篇（其中關(guān)于“初中階段‘正數(shù)和負(fù)數(shù)教學(xué)”的文章僅有17篇）。仔細(xì)閱讀這些文章，不難發(fā)現(xiàn)，這一主題的教學(xué)在小學(xué)與初中階段沒(méi)有明顯的區(qū)分，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知要求幾乎沒(méi)有差異：不少初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)花費(fèi)大量時(shí)間在“負(fù)數(shù)的表示與讀寫”上，而這本該是小學(xué)階段完成的教學(xué)任務(wù)。另有一些初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)，為了增加內(nèi)容的深度與廣度，而將“有理數(shù)的分類”“數(shù)軸的表示”等后續(xù)知識(shí)前置?？梢?jiàn)，文獻(xiàn)研究與現(xiàn)實(shí)觀課中存在的現(xiàn)象具有高度的一致性。

造成這一現(xiàn)象的根源在于，教師對(duì)初中“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)的認(rèn)知定位有偏差，不能從知識(shí)本質(zhì)和知識(shí)體系的角度深度解析教學(xué)內(nèi)容并創(chuàng)造性地重構(gòu)教材內(nèi)容。

二、“升”在何處：初中“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)的認(rèn)知定位

在小學(xué)階段負(fù)數(shù)概念教學(xué)的基礎(chǔ)上，初中“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)應(yīng)該如何進(jìn)行合理的認(rèn)知定位，從而真正體現(xiàn)課程內(nèi)容編排的“螺旋上升”理論？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）中，第二學(xué)段與第三學(xué)段的“課程目標(biāo)”與“課程內(nèi)容”均涉及負(fù)數(shù)概念，但不同學(xué)段對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)有不同的要求。第二學(xué)段的“知識(shí)技能”目標(biāo)要求為“了解負(fù)數(shù)的意義”，內(nèi)容要求為“在熟悉的生活情境中，了解負(fù)數(shù)的意義，會(huì)用負(fù)數(shù)表示日常生活中的一些量”;而第三學(xué)段的“知識(shí)技能”目標(biāo)要求為“理解有理數(shù)”，內(nèi)容要求為“理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小”。

可見(jiàn)，《課標(biāo)》在小學(xué)階段對(duì)負(fù)數(shù)概念的能力要求較低，主要要求學(xué)生能在日常生活中利用負(fù)數(shù)表示具有實(shí)際（相反）意義的量，并能在生活情境中正確地寫和讀出負(fù)數(shù)，而不需要深層次地剖析負(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)與數(shù)學(xué)意義;在初中階段對(duì)負(fù)數(shù)概念的能力要求明顯提升，不再限定于生活情境中的負(fù)數(shù)，而更關(guān)注負(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)與數(shù)學(xué)意義。兩個(gè)學(xué)段要求的逐級(jí)遞增充分體現(xiàn)了課程內(nèi)容編排的“螺旋上升”特點(diǎn)。

事實(shí)上，從數(shù)系發(fā)展的歷史看，人們接受負(fù)數(shù)并不容易，認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)也有一個(gè)不斷深入的過(guò)程。以“得到的錢數(shù)是正數(shù)，失去的錢數(shù)是負(fù)數(shù)”為例，拒絕接受負(fù)數(shù)的人會(huì)認(rèn)為失去的錢數(shù)在實(shí)體對(duì)應(yīng)原則下仍然是一個(gè)正數(shù)。而數(shù)學(xué)家們普遍承認(rèn)負(fù)數(shù)主要是基于算法的合理性（加減法運(yùn)算的封閉性）——算法的合理性也是其他一些“新數(shù)”獲得承認(rèn)的主要原因。

因此，在小學(xué)階段，強(qiáng)調(diào)負(fù)數(shù)在生活情境中的意義（作用），將負(fù)數(shù)的教學(xué)置于多樣化的生活情境中，這樣的教學(xué)要求其實(shí)是基于小學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)興趣的考慮。而在中學(xué)階段，若仍停留在正數(shù)和負(fù)數(shù)的實(shí)際意義與符號(hào)表示的討論上，那便成了小學(xué)階段教學(xué)內(nèi)容的回顧，教學(xué)價(jià)值將大打折扣。結(jié)合課標(biāo)要求的差異以及歷史發(fā)展的過(guò)程，初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)，不應(yīng)該停留于描述性定義的表述形式，而應(yīng)該進(jìn)一步形成正數(shù)和負(fù)數(shù)的抽象化定義，并將其置于整個(gè)“有理數(shù)”知識(shí)體系中，將正負(fù)符號(hào)與加減符號(hào)進(jìn)行有意義的關(guān)聯(lián)，讓負(fù)數(shù)對(duì)保持加減法運(yùn)算封閉性的重要意義得到凸顯，為后面有理數(shù)運(yùn)算的教學(xué)做好鋪墊。

綜上，可對(duì)小學(xué)階段負(fù)數(shù)概念教學(xué)和初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)作出如下不同的認(rèn)知定位：

【小學(xué)階段】

（1）知道負(fù)數(shù)的存在，了解正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的意義，即能夠表示具有相反意義的量;

（2）了解正數(shù)和負(fù)數(shù)的描述性定義及表示方法，會(huì)讀會(huì)寫，能夠在生活中恰當(dāng)?shù)厥褂谜龜?shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示具有相反意義的量。

【初中階段】

（1）明晰正負(fù)符號(hào)與加減符號(hào)的聯(lián)系，理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的抽象化定義;

（2）理解負(fù)數(shù)存在的豐富意義，即除了與正數(shù)一起表示具有相反意義的量之外，另一個(gè)重要的意義是滿足數(shù)系對(duì)加減法運(yùn)算的封閉性，使數(shù)系得以擴(kuò)充。

三、怎樣去“升”：初中“正數(shù)和負(fù)數(shù)”教學(xué)的活動(dòng)設(shè)計(jì)

如何在初中階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的教學(xué)中達(dá)成上述認(rèn)知定位？下面分別針對(duì)“明晰正負(fù)符號(hào)與加減符號(hào)的聯(lián)系”以及“理解負(fù)數(shù)的出現(xiàn)滿足了數(shù)系對(duì)加減法運(yùn)算的封閉性”進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)。

（一）正負(fù)符號(hào)與加減符號(hào)的聯(lián)系

在小學(xué)階段“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的認(rèn)知基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)生活中各種類型的正數(shù)和負(fù)數(shù)，接著引導(dǎo)思考：為什么正數(shù)和負(fù)數(shù)前面的“+”和“-”與加減運(yùn)算中的“+”和“-”是同樣的符號(hào)，但讀法不同？它們之間有什么內(nèi)在的聯(lián)系？然后提出如下情境問(wèn)題（活動(dòng)任務(wù)）：

假設(shè)湖的水面位置為0，湖中有一直立的桿子。

（1）桿子的頂部比水面高2米，如何用算式表達(dá)桿子頂部離水面的高度？請(qǐng)寫出算式及計(jì)算結(jié)果。

（2）桿子的底部比水面低4米，如何用算式表達(dá)桿子底部離水面的高度？請(qǐng)寫出算式及計(jì)算結(jié)果。

學(xué)生不難得出第（1）問(wèn)的算式為“0+2”，第（2）問(wèn)的算式為“0-4”。對(duì)于“0+2”，學(xué)生能夠根據(jù)小學(xué)知識(shí)順利得出結(jié)果2，但是，對(duì)于“0-4”，學(xué)生難以得出結(jié)果。這時(shí)，教師可以追問(wèn)：根據(jù)正數(shù)2可以寫成“+2”的知識(shí)，可得0+2=+2，你能依據(jù)小學(xué)學(xué)過(guò)的0的意義解釋這個(gè)算式的結(jié)果嗎？學(xué)生能夠解釋：依據(jù)0表示“沒(méi)有”，可得結(jié)果就是+2。這時(shí)，教師可以進(jìn)一步說(shuō)明：既然0表示“沒(méi)有”，那就相當(dāng)于擦除左式中的0得到右式的結(jié)果;同是“+”，在左邊是運(yùn)算，念“加”，在右邊是數(shù)值符號(hào)，念“正”。有了這個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)，教師可以再次追問(wèn)：類比0+2=+2中對(duì)0的處理，你可以得出0-4的結(jié)果并作出解釋嗎？由此，學(xué)生能夠明白：加減符號(hào)與正負(fù)符號(hào)雖然讀法和性質(zhì)不同，但是意義是緊密關(guān)聯(lián)的，而且數(shù)值前的“+”表示比0多，“-”表示比0少;上面兩個(gè)算式中，右邊的結(jié)果可以看作左邊的式子隱去“0”而得到的數(shù)值。借此，可以引入正數(shù)和負(fù)數(shù)的抽象化定義：大于0的數(shù)是正數(shù)，小于0的數(shù)是負(fù)數(shù);0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

這一教學(xué)活動(dòng)不僅能讓學(xué)生經(jīng)歷從具象到抽象的數(shù)學(xué)理解過(guò)程，有效地落實(shí)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，而且能讓學(xué)生真正理解正數(shù)和負(fù)數(shù)前面的正號(hào)和負(fù)號(hào)的含義，為后面有理數(shù)運(yùn)算中兩個(gè)符號(hào)“身份”的靈活轉(zhuǎn)換奠定基礎(chǔ)。

（二）負(fù)數(shù)的出現(xiàn)滿足了數(shù)系對(duì)加減法運(yùn)算的封閉性

在上述活動(dòng)的基礎(chǔ)上，教師利用“幾何畫板”軟件模擬圓柱形儲(chǔ)水器水面上升或下降的過(guò)程，組織實(shí)驗(yàn)探究：

制作兩個(gè)形狀和大小一樣的圓柱形儲(chǔ)水器，加入等量的水。將兩個(gè)儲(chǔ)水器的水面位置做上記號(hào)并規(guī)定為0，將水面上升記為正，將水面下降記為負(fù)。

（1）在一個(gè)儲(chǔ)水器中，先加水讓水面升高3個(gè)單位，再取水讓水面下降2個(gè)單位，問(wèn)：水面的高度變化如何用算式表示？觀察得到的結(jié)果是什么？

（2）在另一個(gè)儲(chǔ)水器中，先加水讓水面升高2個(gè)單位，再取水讓水面下降3個(gè)單位，問(wèn)：水面的高度變化如何用算式表示？觀察得到的結(jié)果是什么？

組織這個(gè)實(shí)驗(yàn)探究的目的不是教學(xué)有理數(shù)的加法和減法法則，而是借助“幾何畫板”軟件的形象演示，讓學(xué)生通過(guò)直觀感知和類比推理發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)的出現(xiàn)使小數(shù)減大數(shù)成為可能。學(xué)生根據(jù)要求和操作可以分別得出算式“0+3-2”和“0+2-3”，依據(jù)之前活動(dòng)的認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，隱去“0”后即得算式“3-2”和“2-3”，根據(jù)觀察的結(jié)果可以得出“3-2=+1”和“2-3=-1”。這有效解決了在正數(shù)體系中無(wú)法解決的小數(shù)減大數(shù)問(wèn)題，自然引出了負(fù)數(shù)在數(shù)系發(fā)展中的重大作用：保持加減法運(yùn)算的封閉性。由此幫助學(xué)生進(jìn)一步理解負(fù)數(shù)引入的必要性，即解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部需要。

教師可以借機(jī)普及負(fù)數(shù)發(fā)展的歷史：“中國(guó)是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國(guó)家。早在兩千多年前，中國(guó)就有了負(fù)數(shù)的概念;三國(guó)時(shí)期的學(xué)者劉徽對(duì)建立負(fù)數(shù)的概念有重大的貢獻(xiàn)。而在很大程度上，西方數(shù)學(xué)家直到17世紀(jì)才真正接受負(fù)數(shù)的概念，并最終建立了負(fù)數(shù)理論。”

四、結(jié)束語(yǔ)

隨著基礎(chǔ)教育改革的不斷深化，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的“螺旋上升”課程設(shè)計(jì)理念已經(jīng)得到教育工作者的廣泛認(rèn)同。在這一理念的指導(dǎo)下，中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排采用“分步到位，螺旋上升”方式，使相同主題的內(nèi)容在不同的學(xué)段中多次出現(xiàn)，讓學(xué)生分步完成知識(shí)學(xué)習(xí)的深化。故而，準(zhǔn)確定位同一主題內(nèi)容在不同學(xué)段的認(rèn)知要求并設(shè)計(jì)相應(yīng)的活動(dòng)任務(wù)，是真正實(shí)現(xiàn)“螺旋上升”理念的關(guān)鍵。為此，教師需要不斷豐富自己的“內(nèi)容和課程知識(shí)”，立足課程標(biāo)準(zhǔn)，深度解析教材，挖掘相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的教育價(jià)值。

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*本文系國(guó)家社科基金教育學(xué)一般項(xiàng)目“40年我國(guó)數(shù)學(xué)教育課堂變革的中國(guó)經(jīng)驗(yàn)研究（1978—2018）”（編號(hào)：BHA180134）的階段性研究成果。