數(shù)形結合，舞動點的坐標

張新民 李思蒙

摘? 要：數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想. 利用數(shù)形結合思想在直角坐標系中求點的坐標是一類常見問題，也是解決與直角坐標系相關問題的基礎. 在解決問題的過程中，以明晰點的坐標的定義為出發(fā)點，基于圖形的特殊性，分析圖形的整體和局部，巧設點的坐標有助于有效地將數(shù)與形相結合，讓求點的坐標不再成為學生解決問題的障礙.

關鍵詞：數(shù)形結合;發(fā)現(xiàn)與構造;解題策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中明確了“圖形與坐標”內容是由坐標與圖形位置、坐標與圖形運動兩部分構成. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題，發(fā)現(xiàn)關于這部分內容的試題就其難度來說比較基礎. 因此，教師要按照《標準》的要求落實學生的基礎知識和基本技能. 由于“圖形與坐標”在很多代數(shù)與幾何綜合問題的解決中起著“工具”和“橋梁”的作用，所以這部分內容對于學生來說非常關鍵. 本文針對2020年中考數(shù)學“圖形與坐標”試題的特點，就幫助和引導學生透過問題的表面現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題的本質，找到解決這一類問題的關鍵策略展開研究.

一、溯源解題策略的關鍵點

在研究了100多套2020年中考數(shù)學試卷中“圖形與坐標”試題后，發(fā)現(xiàn)該專題主要考查以下幾類問題：用坐標描述圖形的位置，坐標系下特殊圖形的性質研究，坐標系下圖形的變換，坐標系下坐標規(guī)律的探索，坐標系中函數(shù)的圖象及性質研究，等等.

在解決這些中考試題的過程中，學生往往存在解題切入點不當、思路不清晰、方法不靈活、解題效率不高等情況. 造成這些情況的主要原因是學生不能抓住解題的關鍵點，無法發(fā)現(xiàn)試題的本質，最終不能靈活進行數(shù)與形之間的相互轉化. 經(jīng)過分析，不難發(fā)現(xiàn)“圖形與坐標”試題離不開平面直角坐標系，試題最終指向在平面直角坐標系中“求點的坐標”，即求出關鍵點的坐標是解決“圖形與坐標”試題的突破口.

二、建立“求點的坐標”的基本模型

數(shù)學是研究數(shù)量、結構、變化及空間模型等的一門學科，概念是數(shù)學結構的基石. 因此，數(shù)學學習要緊緊抓住概念的學習. 在平面直角坐標系中，點的坐標的定義是我們研究“圖形與坐標”問題的出發(fā)點. 點的坐標的定義實際上是通過分別向兩條坐標軸作垂線，將點的坐標轉化為坐標軸上的點的坐標，點的橫、縱坐標的正、負通過數(shù)軸上點的坐標的正、負來體現(xiàn). 在具體問題中，將求點的坐標轉化為求某些線段的長度，然后將這些線段的長度轉化為點的坐標. 在實際教學中，發(fā)現(xiàn)有些學生在解題過程中運用概念的意識比較薄弱，不能正確作出輔助線，不能有效應用數(shù)形結合思想解決問題.

通過研究2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學“圖形與坐標”試題，發(fā)現(xiàn)其解題策略基本上都是求點的坐標，或利用求出的點的坐標解決后續(xù)問題. 因此，教師需要在教學中向學生滲透運用點的坐標的定義解決問題的意識.

例1 （甘肅·天水卷）如圖1，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E的坐標為[E2，3，] 則點F的坐標為 ? ? ? .

根據(jù)平面直角坐標系中的點的坐標的定義，可以很快作出輔助線. 如圖2，分別過點E，F(xiàn)向坐標軸作垂線，兩垂線交于點H，EH，F(xiàn)H分別交x軸、y軸于點N，M. 根據(jù)三角形全等及點E的坐標求出線段FM，HN的長度，從而轉化為點F的坐標.

學生在解決這類問題時容易存在兩個困惑：一是依據(jù)已知條件不能有效地作出輔助線;二是在寫點F的坐標時容易弄混點F的橫、縱坐標，以及不能正確地明確點F坐標的符號.

由此，我們可以梳理出解決“求點的坐標”問題的一般策略模型，如圖3所示.

必須說明的是，過一點向坐標軸作垂線是非常重要的輔助線. 它將“求點的坐標”問題轉化為求坐標軸上的點的坐標，進一步轉化為求線段的長.

三、典型解法賞析

1. 還原整體圖形

在很多時候，學生不能很好地解決問題，原因之一可能是缺乏對圖形結構的整體認識. 命題者有時只給學生呈現(xiàn)部分圖形，學生如果能還原圖形的整體結構，問題就不難解決了.

例2 （江蘇·連云港卷）如圖4，將5個大小相同的正方形置于平面直角坐標系中，若頂點M，N的坐標分別為[M3，9，N12，9，] 則頂點A的坐標為 ? ? ? .

利用復原整體策略，我們將圖4還原成一個5 × 3的長方形，如圖5所示. 由點M，N對應的坐標求出小正方形的邊長，很容易得到點A的坐標.

需要注意的是，此題具有一定的特殊性，即圖中剛好有15個相等的小正方形，這樣的解題策略有助于學生快速找到解決問題的思路.

2. 化整為零

在解決問題時，有時遇到的一些圖形，需要學生利用化整為零的策略. 化整為零本質上就是轉化思想的運用，即將一個圖形運用輔助線轉化為若干個基本圖形.

例3 （江蘇·南京卷）如圖6，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，☉P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D. 若☉P的半徑為5，點A的坐標是[A0，8]，則點D的坐標是（? ? ）.

（A）[9，2] （B）[9，3]

（C）[10，2] （D）[10，3]

如圖7，過點P作y軸的垂線PE，交y軸于點E，交BC于點F，再過點P向x軸作垂線PG，連接PC，于是在圖7中呈現(xiàn)了兩個基本圖形——正方形OGPE和Rt△PFC. 根據(jù)圓與坐標軸相切，利用切線的性質實現(xiàn)了正方形OGPE與半徑的聯(lián)系，而直角三角形是應用垂徑定理的基本圖形.

在解決例3的過程中，我們看到了化整為零的策略有助于在圖中發(fā)現(xiàn)基本圖形，并將題目中的所有信息聯(lián)系起來，最終解決問題.

通過以上分析，發(fā)現(xiàn)“還原整體圖形”與“化整為零”是一對互為相反的思維模式，這兩種模式的有效運用能解決問題，這一切都是建立在解決坐標問題的基本模型上的. 我們可以進一步梳理出解決“求點的坐標”問題的邏輯思維導圖，如圖8所示.

3. 發(fā)現(xiàn)與構造

弗里德曼在《怎樣學會解數(shù)學題》一書中寫道：解題是一種創(chuàng)造性活動，而尋找解題方法是一個發(fā)明的過程. 對于坐標系中點的坐標的求法，當所求點位于特殊位置時，常常需要圍繞特殊點的坐標，發(fā)現(xiàn)坐標系中圖形的特殊性，如平行線或垂直于坐標軸的直線、全等三角形或相似三角形等. 當所研究的問題在網(wǎng)格中時，這一方法將變得格外簡潔.

例4 （山東·煙臺卷）如圖9，已知點[A2，0，][B0，4，C2，4，D6，6，] 連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉中心的坐標為 ? ? ?.

如圖10，由于點A，C是旋轉前后的一對對應點，容易作出線段AC的垂直平分線[l1]. 接下來思考線段BD的垂直平分線的作法. 當連接點B，D之后，可以找到線段BD的中點M，進一步構造出△BEM ≌ △MFN. 于是確定線段BD的垂直平分線MN，且MN與直線[l1]的交點為點N，從而求得點N的坐標.

這種方法具有很好的應用性與拓展性，我們再看下面的試題.

例5 （江蘇·泰州卷）如圖11所示的網(wǎng)格由邊長為1個單位長度的小正方形組成，點A，B，C在直角坐標系中的坐標分別為[A3，6，B-3，3，] [C7，-2，] 則△ABC內心的坐標為 ? ? ?.

要解決此題，應該先作出平面直角坐標系. 根據(jù)三角形內心的定義，分析要找到[∠B和∠C]的平分線. 如圖12，構造[△BGE≌△BHE，△MCP≌△NCP，] 于是角平分線BE，CP的交點I即為△ABC的內心.

其實有無網(wǎng)格，都可以構造出這樣的全等三角形或相似三角形，關鍵在于解題時我們的意識中應該有一個網(wǎng)格模式.

在利用數(shù)形結合思想解決問題的過程中，通過反思例4和例5的解答過程，可以梳理出以下求特殊點的坐標問題解決的邏輯思維導圖，如圖13所示.

4. 巧設點的坐標

在求解點的坐標的相關問題時，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)設點的坐標、構建方程求解的策略. 當設出點的坐標后，只需要建立起關于點的橫、縱坐標的方程（組）即可. 認真分析圖形，尋找點的橫、縱坐標所滿足的特殊關系，從而建立方程，能更加有效地解決問題. 這種策略的邏輯思維導圖如圖14所示.

我們借助例6說明這一解題思路.

例6 （江蘇·蘇州卷）如圖15，?OABC的頂點A在x軸的正半軸上，點[D3，2]在對角線[OB]上，反比例函數(shù)[y=kx k>0，x>0]的圖象經(jīng)過C，D兩點. 已知?OABC的面積是[152]，則點B的坐標為（? ? ）.

（A）[4， 83] （B）[92，3]

（C）[5， 103] （D）[245， 165]

如圖16，過點C分別作x軸、y軸的垂線段，垂足分別為點H，G，再分別過點D，B作x軸的垂線DE，BF，垂足分別為點E，F(xiàn). 由于[△ODE∽△OBF，] 于是可以得到[BF∶OF=2∶3.] 從而可以設點B的坐標為[B3x，2x.] 又由于[S△ODE=S△OCH=S△OCG=3，] 且[S?OABC=][S矩形CBFH，] 可得[S矩形OFBG]=[272]. 最終建立起關于x的方程，使問題得以解決.

四、結束語

本文之所以從“求點的坐標”這一小的切入點入手，是因為“求點的坐標”是解決“圖形與坐標”問題的起點和關鍵點. 在以上關于坐標系中“求點的坐標”的解題策略的研究中，點的坐標的定義是思考問題的邏輯思維出發(fā)點，解決問題的關鍵是向坐標軸作垂線段，這樣建立坐標和線段之間的聯(lián)系，從而解決問題.“求點的坐標”類問題的解決策略比較豐富，需要我們對圖形的整體和局部加以分析，充分挖掘數(shù)與形的關系，以及圖形結構中所體現(xiàn)出的特殊性. 同時，還應該研究怎樣將點的坐標轉化為方程（組）來解決問題. 有效、準確地求出點的坐標之后，才可以解決坐標系中的后續(xù)問題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]弗里德曼. 怎樣學會解數(shù)學題[M]. 陳淑敏，尹世超，譯. 哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，1981.

[3]羅增儒. 數(shù)學解題學引論[M]. 西安：陜西師范大學出版總社有限公司，2016.