基于幾何直觀的“線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用”教學(xué)實(shí)踐

周子敏

摘 要：通過(guò)探索垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用案例，從學(xué)會(huì)對(duì)比，尋找聯(lián)系和實(shí)踐操作這幾個(gè)角度發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;學(xué)會(huì)對(duì)比;尋找聯(lián)系;實(shí)踐操作;

捷克教育家夸美紐斯在《大教學(xué)論》中寫(xiě)道：“一切知識(shí)都是從感官開(kāi)始”。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，由于青少年缺乏直接經(jīng)驗(yàn)，加之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)大都是遠(yuǎn)離實(shí)際生活的，很多學(xué)生在課堂上的直觀感知，僅僅停留在正確地、如實(shí)地反映客觀事物，不能很好由感性思維發(fā)展到理性思維，從而難以構(gòu)建數(shù)學(xué)直觀模型，在解決問(wèn)題中遇到困難。

結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，教師應(yīng)從以下三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。首先應(yīng)考慮全面性。要求學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的圖形和符號(hào)表達(dá)性質(zhì)觀察仔細(xì)、全面，注意到已知和求解有關(guān)的細(xì)節(jié)。其次應(yīng)注重準(zhǔn)確性。能辨別不同對(duì)象之間的差別，對(duì)觀察到的差別能進(jìn)行自我分析和判斷。第三應(yīng)體現(xiàn)創(chuàng)造性。能在別人也看到的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律或者聯(lián)系，并得到相應(yīng)的結(jié)論。教師在教學(xué)中，要根據(jù)教學(xué)知識(shí)目標(biāo)的要求，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際，按照以下三個(gè)步驟，培養(yǎng)幾何直觀。

一、學(xué)會(huì)標(biāo)注，形象展示，注重對(duì)比

教學(xué)片斷1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，

AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？

直接應(yīng)用性質(zhì)。對(duì)于線段BC，出現(xiàn)了線段的垂直平分線AD，可以直接得到AB=AC;對(duì)于線段AB，沒(méi)有出現(xiàn)線段垂直平分線，教師引導(dǎo)學(xué)生找到線段垂直平分上的點(diǎn)C，找到相等的線段AC=AE。把AB，AC，AE在ppt上用紅色的線段表示出來(lái)，使它們從題目所給的多條線段中突出出來(lái)，增加對(duì)比度，從而增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀。

二、強(qiáng)調(diào)目標(biāo)，不斷尋找條件與結(jié)論之間的聯(lián)系

教學(xué)片斷2

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，

若AE=6，△ABC的周長(zhǎng)是13，求△ABE的周長(zhǎng)。

學(xué)生解法如下：

解：∵△ABC的周長(zhǎng)是13

∴AB+AC+BC=13

∵AC=CE

∴AB+CE+BC=13即AB+BE=13

∴△ABE的周長(zhǎng)為AB+BE+AE=13+6=19

圖形上標(biāo)注的紅色線段還保留著，但學(xué)生卻不能直接“看出”結(jié)論了。此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生將△ABC的周長(zhǎng)與所求△ABE的周長(zhǎng)表達(dá)式寫(xiě)下來(lái)進(jìn)行對(duì)比。學(xué)生發(fā)現(xiàn)△ABE的周長(zhǎng)展開(kāi)式中的AE已知，AB可以由前面的解答可以轉(zhuǎn)換成CE，只有有了明確的目標(biāo)，才能很好地進(jìn)行等量代換，從而簡(jiǎn)潔的完成解答。

在課堂上更多的是那些眼看著圖，還是無(wú)從下手的學(xué)生。究其原因，并沒(méi)有將圖形與數(shù)學(xué)表達(dá)式結(jié)合起來(lái)，沒(méi)有建立兩者之間的聯(lián)系。這時(shí)候，需要教師耐心加以引導(dǎo)，從條件和結(jié)論兩方面出發(fā)，對(duì)照兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)表達(dá)式，讓學(xué)生從“圖形直觀”轉(zhuǎn)化為“幾何表達(dá)式的直觀”，幫助他們找到突破難點(diǎn)的辦法。解題完成之后，應(yīng)再加以總結(jié)，形成學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，從而達(dá)到預(yù)期的效果。

三、重視畫(huà)圖，從實(shí)際操作中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀

教學(xué)片斷3

如圖，直線l是線段AB的中垂線，P點(diǎn)在直線l的右側(cè)，則點(diǎn)P到A、B的距離有何關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由。

題目中出現(xiàn)了線段的垂直平分線，但并不直觀。在此題的處理上，教師指導(dǎo)學(xué)生把不明確的數(shù)量關(guān)系，用畫(huà)圖的方法直觀地表達(dá)出來(lái)，使學(xué)生的問(wèn)題分析能力和解決能力得到提高。具體教學(xué)中采用了“問(wèn)題串”的引導(dǎo)方式，使學(xué)生的幾何直觀與教師語(yǔ)言相結(jié)合，起到了較好的效果，具體實(shí)錄如下：

問(wèn)題1：什么是“P到A、B的距離”？

生：線段PA與線段PB（ppt顯示連接線段PA與線段PB）。

問(wèn)題2：現(xiàn)在的點(diǎn)P在線段的垂直平分線上嗎？

生：不在。

問(wèn)題3：那垂直平分線的性質(zhì)是不是就不能用了？

生：……

問(wèn)題4：那我們可不可以在垂直平分線上找一點(diǎn)，用其性質(zhì)呢？

生：可以。

問(wèn)題5：找哪個(gè)點(diǎn)呢？

生：可以用線段PA與垂直平分線的交點(diǎn)（ppt用個(gè)笑臉顯示這個(gè)點(diǎn)，記為C）。

問(wèn)題6：現(xiàn)在可以得到什么結(jié)論？

生：CA=CB

問(wèn)題7：那么此時(shí)線段PA就轉(zhuǎn)化為？

生：PC+CB

問(wèn)題8：它與PB有什么關(guān)系？

生：大于

問(wèn)題9：為什么？

生：三角形兩邊之和大于第三邊。

問(wèn)題10：請(qǐng)大家思考一下，剛才的分析怎么表達(dá)？

通過(guò)教師語(yǔ)言有針對(duì)性的引導(dǎo)，使得學(xué)生看圖的直觀感知更加有目的性，并且在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)到“找到線段垂直平分線上合適的點(diǎn)”，才能更好的使用線段的垂直平分線的性質(zhì)，從而發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀。

解題過(guò)程如下：

解： PA>PB

∵P點(diǎn)在l的右邊，連接PA，PB

則PA一定與l交于一點(diǎn)C

連接BC，∵CA=CB

∴PA=PC+CA=PC+CB>PB

即 PA>PB.

在日常教學(xué)中，常見(jiàn)的教學(xué)的直觀形式有：實(shí)物直觀、模象直觀和言語(yǔ)直觀等，它們能給學(xué)生提供“一手”的感性材料，用不同的感官刺激起到相互補(bǔ)充的作用。教師在教學(xué)中要耐心引導(dǎo)，選擇典型的教學(xué)例題，創(chuàng)建良好的探討情境，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，借助現(xiàn)代信息技術(shù)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的觀察方法，引導(dǎo)學(xué)生有效的觀察和思考，結(jié)合問(wèn)題使學(xué)生獲得幾何直觀和邏輯思維的感性認(rèn)識(shí)，感知圖形和數(shù)學(xué)表達(dá)式的形態(tài)與變化，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在教學(xué)活動(dòng)中積累“自己的經(jīng)驗(yàn)”，使學(xué)生的幾何直觀能力得到提高。

參考文獻(xiàn)

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[3]陸敏芳.初中數(shù)學(xué)：課堂教學(xué)為核心素養(yǎng)奠基—以“直觀想象”素養(yǎng)要素培養(yǎng)為例.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2020（1月中旬）：34-36.