高三數(shù)學復習課如何構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)的探討

劉峰

高三數(shù)學教學是高中階段最為重要的一個環(huán)節(jié)，第一輪復習的目標是夯實基礎(chǔ)，包括“牢固掌握基礎(chǔ)知識”、“形成熟練的基本技能”、“養(yǎng)成運用基本數(shù)學思想方法研究問題的意識”、“積累豐富的基本活動經(jīng)驗”。如何達成這一目標，很大程度上取決于教師在課堂教學中講什么、怎么講。研究高考真題，以真題中的熱點問題為專題進行復習，能提高備考效率，本節(jié)課就高考中解析幾何的面積最值問題展開教學，通過對高考真題的拆解，突破難點，構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)。

一、講解題結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

課堂從引例“已知圓 ，過點P（2，0）的直線 與圓C交于A.B兩點，求 面積的最大值”中與圓有關(guān)的三角形面積問題開始，以學生已有的活動經(jīng)驗為基礎(chǔ)，復習解題思路的同時，幫助學生構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)。解析幾何集幾何與代數(shù)為一身，研究相關(guān)問題時，需經(jīng)理先幾何后代數(shù)的過程，與圓有關(guān)的三角形面積問題是解析幾何中較為特殊的研究對象，其幾何性更為突出，但學生往往容易忽略幾何性，應(yīng)用通性通法來求解問題。以此題為引例，旨在強化幾何、代數(shù)的結(jié)構(gòu)，為問題變化為橢圓等曲線中面積最值問題做好鋪墊，并明確“主元”思想。復習思路的過程既發(fā)散了思維，也幫助學生將解題思路進行了整理，形成引例的解題結(jié)構(gòu)，如圖1。

引例的解題結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了本節(jié)課“解析幾何的面積最值問題”要復習的重點問題，第一個是主元的選擇問題，主元的選擇對運算的方式、方法，以及后端的面積函數(shù)都有較大的影響;第二個是面積函數(shù)的最值求解問題，不論選擇哪個主元，最終面積函數(shù)的求解均與基本不等式、換元、拆分運算等知識技巧有關(guān)。這兩個問題就是面積最值問題的核心問題，引例的解題結(jié)構(gòu)既幫助學生明確了解題方向，也幫助學生明確了解題環(huán)節(jié)，實現(xiàn)難點的突破。

二、講主元選擇的比較

主元的選擇是解題結(jié)構(gòu)的第一環(huán)節(jié)。該部分的教學將引例中的圓換成橢圓，三角形面積問題換成四邊形面積問題，強化題目背景的變化不影響解題結(jié)構(gòu)時，訓練學生主元選擇的意識，比較主元選擇對運算量的影響。

例題 ?已知橢圓 ， 分別為左右焦點，過 的直線 與橢圓E交于A，B兩點，過F2且與直線 垂直的直線 與橢圓E交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值。

例題引導學生從幾何路線、通性通法、參數(shù)方程三個方向選擇自己喜歡的主元進行面積函數(shù)的計算求解，給與學生們充分的活動時間，體驗不同主元下運算的繁簡比較?；顒又袑W生大多數(shù)選擇通性通法，以斜率k為主元;部分同學選擇參數(shù)方程，以傾斜角 為主元;幾乎沒人選擇幾何路線，究其原因是不能發(fā)現(xiàn)與焦點弦長（或焦半徑）有關(guān)的三角形，進行解三角形知識的應(yīng)用。因此課堂點評以參數(shù)方程的運算為展示，讓學生對比運算量的差異，以介紹解三角形的方式求解弦長為輔，發(fā)現(xiàn)思維。通過例題的活動、點評，讓學生強化面積最值問題解題結(jié)構(gòu)的第一環(huán)節(jié)，重視主元的選擇。其實，主元的選擇是解析幾何中重要的思維意識，并不局限于面積問題。

為了鞏固引例、例題的教學果效，課堂設(shè)置了一個變式練習，訓練學生基于解題結(jié)構(gòu)的思維。具體變式如下：已知橢圓 ，圓 ， 分別為左右焦點，過F2的直線 與橢圓交于A，B兩點，過F2且與直線 垂直的直線 與圓交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值.

引例、例題、變式的設(shè)計均由高考真題拆分而來，以高考真題重組的方式，看到題目的發(fā)展變化，推陳出新，體悟高考真題萬變不離其宗的解題結(jié)構(gòu)。

三、講歸納總結(jié)的提升

課堂教學精講了引例、例題，略講了變式，每一道題目講解之后都進行了歸納提升。整節(jié)課處處體現(xiàn)歸納提升的重要性，第一處在引例解題思路的回顧之后，旨在歸納總結(jié)引例的入題結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)主元選擇的多樣性;第二處在引例面積函數(shù)的求解策略之后，旨在歸納上四下四分式函數(shù)的一般轉(zhuǎn)化策略結(jié)構(gòu)，前后兩次總結(jié)形成了面積最值問題完整的解題結(jié)構(gòu);第三處在例題面積函數(shù)的計算之后，旨在應(yīng)用解題結(jié)構(gòu)的同時，幫助學生強化主元選擇的意識;第四處總結(jié)是三角形、四邊形面積求解公式、方法的總結(jié)，旨在提醒學生求解面積時要注意進行靈活的選擇;第五處總結(jié)是例題背景的挖掘，圓錐曲線兩條垂直焦點弦長的倒數(shù)和為定值，該部分的教學是課堂思維深化的點綴，鼓勵學生要進行廣泛的聯(lián)系與思考，探究命題背景;第六處總結(jié)是課堂小結(jié)，強化解題結(jié)構(gòu)，鞏固課堂教學。

整節(jié)課圍繞解題結(jié)構(gòu)（如圖2）展開，從解題思路的探尋，到三種解題方向的實踐、比較，從面積函數(shù)的得到，到函數(shù)最值的求解策略，構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)，突破解題難點;從圓到橢圓、從橢圓到橢圓與圓，從三角形到四邊形，強化結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，把握解題的結(jié)構(gòu)。

高三的復習是知識綜合應(yīng)用的學習，是知識應(yīng)用于解題時解題結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。課堂要從廣泛的聯(lián)系出發(fā)，發(fā)散思維，捕捉思維火花，但又不能讓思維的出現(xiàn)成為無源之水，因此就需要教師創(chuàng)設(shè)良好的情景推動學生發(fā)散思維，再進行及時的歸納總結(jié)，構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)。教學中需要教師主動構(gòu)建解題結(jié)構(gòu)，打造出一節(jié)節(jié)高效的課堂，助力高三復習。

（微山縣第三中學 ?山東濟寧 ?272195）