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    核心素養(yǎng)視野下的高中函數(shù)恒(能)成立問題教學(xué)“再創(chuàng)造”

    2021-09-10 07:22:44馬寶星
    關(guān)鍵詞:問題情景再創(chuàng)造數(shù)學(xué)本質(zhì)

    馬寶星

    摘 要:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》認(rèn)為:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)集中在數(shù)學(xué)目標(biāo)的體現(xiàn)上,主要是學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候要體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)情感,態(tài)度,價(jià)值,這個目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)是依靠學(xué)生在實(shí)踐過程中逐步形成和發(fā)展的.所以數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)應(yīng)該落實(shí)在課堂,教師通過創(chuàng)造性的教學(xué)設(shè)計(jì),重視辨析概念的內(nèi)涵和外延,重視問題情景的開放性,重視相關(guān)聯(lián)問題的變式訓(xùn)練,重視學(xué)生的自主總結(jié),可以提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),發(fā)展能力.

    關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);問題情景;變式訓(xùn)練;數(shù)學(xué)本質(zhì)

    中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)15-0074-02

    高中函數(shù)恒(能)成立問題是高考的熱點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),貫穿高中三年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),如何在高三二輪復(fù)習(xí)中突破難點(diǎn),提升能力,是每個老師都積極努力的目標(biāo).但是高中數(shù)學(xué)學(xué)科因其特殊性,很多高三數(shù)學(xué)課堂存在一定的困難,包括教師層面重復(fù)講解,學(xué)生方面重復(fù)訓(xùn)練,最后師生深陷題海,并沒有實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)這個目標(biāo).整體的效率低下,教師和學(xué)生都苦不堪言.可見習(xí)題教學(xué)在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性,進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)設(shè)計(jì),在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)上往往能起到事半功倍的作用.筆者以一節(jié)高三二輪復(fù)習(xí)課為例闡述如下:

    一、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視辨析概念的內(nèi)涵和外延,把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

    問題一:什么是恒(能)成立問題?

    設(shè)計(jì)意圖:章建躍老師曾說:數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)是幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識理解到位,并能用于解決實(shí)際的問題.我們要講清楚一類問題,就必須要引導(dǎo)學(xué)生弄清其本質(zhì),才可以做到更好的去應(yīng)用.恒成立問題,是高中數(shù)學(xué)中的全稱命題,通常含有“所有的”“任意一個”等全稱量詞,符號語言可記為x∈M,P(x).能成立問題,是高中數(shù)學(xué)中的存在命題,通常含有“存在一個”“至少有一個”等存在量詞,符號語言可記為x∈M,P(x).并且全稱命題x∈M,P(x)的否定為:x∈M,P(x),存在命題x∈M,P(x)的否定為:x∈M,P(x),這里我們可以看出兩類問題是可以相互轉(zhuǎn)化的,類比恒(能)成立問題,其實(shí)高中數(shù)學(xué)中很多核心概念如單調(diào)性、奇偶性、周期性等都含有“任意”字眼,具有相似的處理策略.筆者認(rèn)為,盡管二輪復(fù)習(xí)時間緊任務(wù)重,但我們不能就題論題,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會常用邏輯用語在數(shù)學(xué)問題中的作用,才能提升數(shù)學(xué)的問題解決.

    二、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視問題情景的開放性,提高探索能力

    例題精講 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=x2,a∈R.若f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范圍.

    問題二:如何求a的取值范圍?

    生1:由題知:lnx-ax≤x2(x>0),ax≥lnx-x2,a≥lnxx-x,令h(x)=lnxx-x,h′(x)=1-x2-lnxx2=0,猜得x0=1,令u(x)=1-x2-lnx,u′(x)=-2x-1x<0,u(x)在(0,+SymboleB@)上為單調(diào)減函數(shù),故x∈(0,1)時,u(x)>0,h(x)為單調(diào)增函數(shù),x∈(1,+SymboleB@)時,u(x)<0,h(x)為單調(diào)減函數(shù),h(x)max=h(1)=-1,所以a≥-1.

    問題三:你們還有沒有其他做法?大家思考3分鐘.

    生2:令G(x)=lnx-ax-x2,G′(x)=1x-a-2x=-2x2-ax+1x(x>0),令t(x)=-2x2-ax+1,∵t(0)=1>0,記t(x)=0有一正根為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,G′(x)>0,G(x)為單調(diào)增函數(shù),當(dāng)x∈(x0,+SymboleB@)時,G′(x)<0,G(x)為單調(diào)減函數(shù),故G(x)max=G(x0)=lnx0-ax0-x20≤0①,因?yàn)閠(x0)=0得ax0=1-2x20②,②代入①可得lnx0-1+x2≤0,易得0<x0≤1,由②得a=1x0-2x0(0<x0≤1),故a≥-1.

    生3:令F(x)=lnx-ax-x2≤0對x∈(0,+SymboleB@)恒成立,所以F(1)=-a-1≤0,得a≥-1,所以F(x)=lnx-ax-x2≤lnx+x-x2,易證lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”,故F(x)≤x-1+x-x2=-(x-1)2≤0,所以a≥-1成立.(教室里出現(xiàn)了掌聲)

    問題四:如果本題是填空題,如何求a的取值范圍?

    生4:由題知,ax≥lnx-x2,y=ax與y=lnx-x2皆好作圖,如下圖易得a的取值范圍.

    點(diǎn)評 生1選擇了參變分離法,由于分離變量后h(x)的最值好求,故大部分同學(xué)皆選此法;生2選擇利用函數(shù)的性質(zhì),通過求導(dǎo),求G(x)=lnx-ax-x2的最值,只要G(x)max≤0,這個過程中導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在,直接求出比較繁瑣,他采用了“隱零點(diǎn)”的處理方法,求出x0的取值范圍,根據(jù)x0與a的等量關(guān)系求出a的取值范圍;生3抓住了F(x)=lnx-ax-x2≤0對x∈(0,+SymboleB@)恒成立這一本質(zhì),它一定對x=1時恒成立,故F(1)≤0,求出a的取值范圍,這一必要條件開路的技巧,體現(xiàn)了由一般到特殊的性質(zhì),數(shù)學(xué)問題解決的特殊化可使學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)得以提升;生4是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為兩個圖像的位置關(guān)系問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.筆者認(rèn)為,在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)有了一定基礎(chǔ),我們可以設(shè)計(jì)開放性問題,大膽放手讓學(xué)生解決,激勵學(xué)生更好地參與問題,提出不同見解,在多種方法甚至犯錯中加深問題理解,優(yōu)化解題方法,提高復(fù)習(xí)效率.

    三、“再創(chuàng)造”的教學(xué)設(shè)計(jì)重視學(xué)生的自主總結(jié),形成知識體系

    回顧高考 (2020山東)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1,求a的取值范圍.

    本題的解題方法有多種,其中有的同學(xué)說還可以構(gòu)造同構(gòu)處理:fx=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價(jià)于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx,

    令gx=ex+x,上述不等式等價(jià)于glna+x-1≥glnx,顯然gx為單調(diào)增函數(shù),∴又等價(jià)于lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1,令hx=lnx-x+1,則h′x=1x-1=1-xx.

    在0,1上h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;在(1,+SymboleB@)上h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,

    ∴hxmax=h1=0,lna≥0,即a≥1,∴a的取值范圍是[1,+SymboleB@).

    問題五:本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了恒(能)成立問題的哪些解決方法?

    設(shè)計(jì)意圖:《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力.一節(jié)高三復(fù)習(xí)課,作為教師,到底要教會學(xué)生什么,通過知識載體能夠提升學(xué)生哪些數(shù)學(xué)素養(yǎng),是我們每一節(jié)課前需要仔細(xì)思考的問題.筆者認(rèn)為,讓學(xué)生“動起來”,“動”“靜”結(jié)合,有條不紊,才可以不斷提高學(xué)生的實(shí)踐能力.本節(jié)課留足時間讓學(xué)生自主總結(jié),可以采用點(diǎn)名提問、小組討論、師生生生互動點(diǎn)評等方式,增強(qiáng)學(xué)生的自主性.引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐解決問題中,能夠自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),繪制數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖如下.在同伴、老師不斷提醒中,回顧舊知識,喚起新知識,在同伴老師的贊賞中增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心,夯實(shí)自己的薄弱,強(qiáng)化各自的學(xué)習(xí)能力,才可以在以后再碰到類似問題,無間斷的遷移到本節(jié)課所學(xué)知識方法,用好用活恒(能)成立問題的解決策略.

    本節(jié)課從一個典型例題出發(fā),通過一般化的概念理解,特殊化、類比、聯(lián)想等思維活動提出新的數(shù)學(xué)問題和變式,師生探究,學(xué)生總結(jié)形成解決問題的一般策略,注重?cái)?shù)學(xué)思想、邏輯連貫、系統(tǒng)總結(jié),用“數(shù)學(xué)的方式”教數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué).通過“創(chuàng)造性”的教學(xué)設(shè)計(jì),強(qiáng)化“四基”,提高“四能”,超越數(shù)學(xué)知識而使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落地.

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018(1).

    [2]章建躍.樹立課程意識落實(shí)核心素養(yǎng)

    [J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016,55(05):1-4+14.

    [3]藺治萍,郭強(qiáng),付偉.用好微觀分析,管中亦可窺豹——以“函數(shù)不等式恒成立的參數(shù)范圍問題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2021(07):42-44.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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