兩個(gè)重要恒等式在同構(gòu)法中的應(yīng)用

廣東省佛山市第一中學(xué) (528000) 劉振興

在解決指對(duì)數(shù)混合不等式時(shí)，如恒成立求參數(shù)取值范圍或證明不等式，如果用隱零點(diǎn)代換或某種意義上求根，計(jì)算復(fù)雜，同構(gòu)法會(huì)給我們的解題帶來極大的便利.在成立或恒成立問題中，有一部分試題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的，如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù))，無疑大大加快解決問題速度，找到這個(gè)函數(shù)模型的方法，我們稱為同構(gòu)法.

先來看2021年廣東四校聯(lián)考第22題.

(1)若m=1,x∈R,求函數(shù)g(x)=f(x)+f(-x)的最小值；

證明：(1)略.

(法二)法一中的等價(jià)變換也可以如下變化：

評(píng)注：本題學(xué)生得分很低，很多學(xué)生對(duì)同構(gòu)法不熟悉，不會(huì)應(yīng)用.法一中①式利用了恒等式a=elna，法二中②式利用了恒等式a=lnea，這兩個(gè)恒等式也是在指對(duì)數(shù)同構(gòu)中經(jīng)常用到的恒等式.

在處理具體指對(duì)數(shù)同構(gòu)題時(shí)，利用恒等式a=elna和a=lnea可以產(chǎn)生如下常見的五個(gè)變形.

一、五個(gè)常見變形

例1 (2021年湖北宜昌市聯(lián)考)若不等式x-4ex-alnx≥x+1對(duì)任意x∈(1,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

利用恒等式a=elna和a=lnea，可以用同構(gòu)法解決如下三種題型的導(dǎo)數(shù)題.

二、幾種常見題型

題型1積型

三個(gè)常見的能化成積型的變形：

(1)λxeλx≥xlnx?λxeλx≥(lnx)·elnx→構(gòu)造f(x)=xex或f(x)=xlnx；

題型2商型

題型3和差型

1.兩個(gè)常見的能化成和差型的變形.

例4 (2019年武漢市江岸區(qū)模擬題)已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a>0),若關(guān)于x的不等式f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

A.(0,e2] B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

2.積型轉(zhuǎn)化成和差型，商型轉(zhuǎn)化成和差型

積型aea

三、高考中的應(yīng)用

例5 (2020年新高考山東)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解：(1)略；(2)f(x)≥1?elna+x-1-lnx+lna≥1?elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+x.令g(x)=ex+x，則g(x)是增函數(shù).上述不等式等價(jià)于g(lna+x-1)≥g(lnx)?lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，令h(x)=lnx-x+1，求導(dǎo)易得h(x)max=h(1)=0，∴l(xiāng)na≥0，即a的取值范圍為[1,+∞).

同構(gòu)法是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)解題方法，兩個(gè)恒等式a=elna和a=lnea是非常重要的工具.在同構(gòu)法解導(dǎo)數(shù)題時(shí)，變形能力非常重要，尤其是同構(gòu)意識(shí)，變形能力，缺省補(bǔ)項(xiàng)時(shí)，有時(shí)出現(xiàn)的比較靈活.平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)需要多練習(xí)和總結(jié)，才能更好靈活應(yīng)用.