若干2021年數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的巧思妙證

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047) 溫偉明

筆者對(duì)新近出現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題進(jìn)行了深入而廣泛的研究和探索，拈取數(shù)題寫就本文，期冀對(duì)老師與同學(xué)在教學(xué)研究中有所啟發(fā)和幫助.

例3 (2021年西班牙數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知a,b,c,d是滿足a+b+c+d=0和a2+b2+c2+d2=12的實(shí)數(shù)，求abcd的最大值和最小值.

例4 (2021年菲律賓數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知a,b,c,d是滿足a≥b≥c≥d,a+b+c+d=13和a2+b2+c2+d2=43的實(shí)數(shù)，求證：ab≥3+cd.

例5 (2021年烏克蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知a,b,c是滿足a+b+c=3的非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：(3a-bc)(3b-ca)(3c-ab)≤8.

下面證明：當(dāng)x1,x2,…,xn均為正數(shù)時(shí)，原不等式成立.

文末，我們給出一道十分漂亮的不等式題(1991波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題的推廣)，留給讀者探索和研討：