函數(shù)圖形搭臺 代數(shù)推理唱戲

趙凡

5【摘要】銳角三角函數(shù)知識是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，它對學(xué)生的函數(shù)知識和代數(shù)知識都有很高的要求.學(xué)生只有學(xué)會用函數(shù)知識建構(gòu)圖形，科學(xué)運(yùn)用代數(shù)知識推理，才能夠靈活掌握知識，提高數(shù)學(xué)成績.學(xué)生通過對銳角三角函數(shù)的觀察、推理、想象，能更好地進(jìn)行歸納和猜想，體會數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)能力.教師要引導(dǎo)學(xué)生在銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中深化函數(shù)思想，重視圖形分析，把握知識本質(zhì)，提高思維能力.本文主要以“銳角三角函數(shù)”為例探究了函數(shù)圖形和代數(shù)推理相結(jié)合的方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模，理解知識.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);函數(shù);代數(shù);銳角三角函數(shù)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深化函數(shù)思想，通過數(shù)形結(jié)合的方式引導(dǎo)學(xué)生主動思考和探究，促進(jìn)學(xué)生理解知識.學(xué)生積極探索各種數(shù)量關(guān)系，分析數(shù)學(xué)本質(zhì)，了解知識的來龍去脈可以建構(gòu)知識框架，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，在體驗中理解知識.在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”時，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動探究銳角與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)會建構(gòu)圖形，重視分析圖形特點，通過觀察和體驗的方式進(jìn)行邏輯分析和推理判斷，實現(xiàn)對知識的理解和掌握.通過函數(shù)圖形和代數(shù)推理相結(jié)合的方式，學(xué)生會搭建知識模型，提高探究能力.

一、搭建函數(shù)圖形

（一）主動搭建圖形，理解函數(shù)概念

在傳統(tǒng)的“銳角三角函數(shù)”教學(xué)中，教師往往采用平鋪直敘的教學(xué)方法，讓學(xué)生反復(fù)朗讀，背誦相關(guān)概念和公式，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識探究.這種教學(xué)方法并沒有使學(xué)生進(jìn)行思維發(fā)散和圖形建構(gòu)，他們只是消極地接受知識，背誦已經(jīng)形成的函數(shù)概念和函數(shù)公式.這種單一、呆板的教學(xué)方式不利于學(xué)生理解知識.教師要帶領(lǐng)學(xué)生通過動手操作和實踐的方式繪制三角形，探究三角函數(shù)概念形成的過程，使學(xué)生在分析和推理中理解知識.教師可以組織學(xué)生繪制直角三角形，并帶領(lǐng)學(xué)生通過探究圖形的方式解釋三角函數(shù)概念產(chǎn)生的思維過程，使學(xué)生在動手搭建和繪圖中理解函數(shù)概念，在對圖形的觀察和分析中理解概念內(nèi)涵，深化認(rèn)識.繪圖時，教師可以讓學(xué)生先繪制一個30°的∠A，在角的邊上任意取一點B，做點B的垂線，與另一條邊交于點C，這樣就形成了一個Rt△ABC.有了圖形作為推理和猜測的平臺，學(xué)生的思維會變得更加形象，他們對知識的理解也會更客觀.

（二）重視直角三角形知識的探究

銳角三角函數(shù)知識的學(xué)習(xí)需要以直角三角形知識為基礎(chǔ)，學(xué)生只有了解了直角三角形知識，才能夠更好地理解銳角三角函數(shù).通過對直角三角形的觀察，學(xué)生會更好地體會三角形的邊角關(guān)系，在觀察中感受知識，在分析中理解知識，體會數(shù)形結(jié)合思想.在對直角三角形的分析中，學(xué)生可以體會到直角三角形除直角外的五個元素之間的關(guān)系，認(rèn)識三邊之間存在的勾股定理關(guān)系，體會除直角外的另外兩個角之和為90°.通過動手繪制直角三角形，學(xué)生會對這些關(guān)系和元素形成更深刻的理解和認(rèn)識.學(xué)生在觀察中會看到，在直角三角形中，當(dāng)角確定時，邊的比值也就確定了;反過來，如果邊的比值確定了，那么角的大小也確定了.在圖形的幫助下，學(xué)生會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想理解概念，進(jìn)行推理論證，簡化計算過程，學(xué)會科學(xué)運(yùn)算.學(xué)生在畫圖分析中會結(jié)合具體的直角三角形進(jìn)行分析判斷，感知角與邊的關(guān)系，理解函數(shù)知識.

（三）結(jié)合實際生活情境

融入生活的數(shù)學(xué)知識更容易讓學(xué)生理解.教師要促進(jìn)學(xué)生融入生活情境，產(chǎn)生直觀體驗和感悟.教師要鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用生活情境來感悟和分析，從生活情境中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理.生活中的現(xiàn)象更加直觀、具體，有利于學(xué)生主動想象和聯(lián)想，從而在實踐中分析和理解知識.例如，在本課的學(xué)習(xí)中，教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)如下生活情境：為了滿足線上學(xué)習(xí)的需要，住在1樓的小明家和住在2樓的小剛家都需要重新安裝網(wǎng)線.在網(wǎng)線安裝過程中，工作人員在一樓搭起了兩個梯子，直接將網(wǎng)線通到小明和小剛家的窗戶.請判斷一下哪個梯子更陡，如何用數(shù)據(jù)做出更準(zhǔn)確的判斷？生活情境會讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從而主動猜想和思考，學(xué)會從數(shù)學(xué)角度分析原因.結(jié)合生活情境，學(xué)生會認(rèn)識到判斷哪個梯子更陡時，也就是分析梯子與地面的夾角哪個更大.學(xué)生會將生活中的具體情境抽象成幾何圖形，把探究的問題簡化.學(xué)生在思考中會認(rèn)識到，角度的大小與樓層的高度和梯子與墻面之間的水平距離的比值有關(guān)，比值越大，梯子越陡.通過數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生可以靈活轉(zhuǎn)化知識，既拓展了思維空間，又有利于理解知識.

二、運(yùn)用代數(shù)推理

（一）推理圖形范圍內(nèi)的三角函數(shù)值

在數(shù)學(xué)知識的探究過程中，教師要充分調(diào)動學(xué)生的主動性，引導(dǎo)學(xué)生通過動手實踐和體驗理解知識，促進(jìn)學(xué)生在動手中學(xué)會分析，并通過主動感知的方式理解知識.在實踐中，學(xué)生的思維會快速運(yùn)轉(zhuǎn)，積極進(jìn)行推理判斷.銳角三角函數(shù)知識需要學(xué)生通過推理和分析來獲得，例如，在課堂伊始，教師可以鼓勵學(xué)生畫一個∠A為30°的直角三角形和一個∠A為50°的直角三角形，三角形邊的長度不限制.畫好圖后，教師可以鼓勵學(xué)生量出三角形三條邊的長度，每一名學(xué)生應(yīng)該都是不一樣的.之后，教師組織學(xué)生進(jìn)行計算，分別用直角邊a、b來比斜邊c.當(dāng)學(xué)生計算出結(jié)果后，教師可以組織學(xué)生相互比較他們的數(shù)值.學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，他們繪制的直角三角形的邊長是不同的，但是得到的比值是一樣的.有了這個動手繪畫和計算的過程，學(xué)生就大膽猜想，改變∠A大小時，相應(yīng)的三個比值應(yīng)該也是改變的.這樣，學(xué)生就會對∠A為50°的直角三角形進(jìn)行測量和計算，得出具體的數(shù)據(jù).通過動手繪畫和計算，學(xué)生學(xué)會了推理和判斷，在邏輯思考中掌握了三角函數(shù)正弦、余弦、正切的計算方法，并從感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，提高了對知識的理解能力.學(xué)生通過推理和計算形成了客觀性理解，激發(fā)了探究知識的主動性，發(fā)揮了潛能.

（二）推理真實情境中的三角函數(shù)值

教師以真實情境中的數(shù)學(xué)知識帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行推理、分析會激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在生活中的實用性，從而主動分析和思考，參與推理判斷過程.教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察真實情境中的數(shù)學(xué)，并通過推理的方式進(jìn)行邏輯運(yùn)算，拓展思維.例如，教師可以引入問題：意大利比薩斜塔的塔頂中心點偏離垂直中心2.1米，1972年發(fā)生地震，這座高54.5米的斜塔在大幅度搖擺后中心點偏離中心線5.2米.如果要你根據(jù)這些信息，用塔身中心線與垂直中心線所成的角為θ描述斜塔的傾斜程度，該如何表示？在探究中，學(xué)生會融入真實的情境，主動質(zhì)疑，積極思考，產(chǎn)生探究欲望和主動性.學(xué)生會通過推理的方式把真實情境中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，利用銳角三角函數(shù)知識解決問題.學(xué)生會在大腦中畫出一個直角三角形，使中心線成為一條直角邊，偏離的5.2米成為另一條直角邊，而傾斜的塔身為斜邊.這樣就會把問題通過三角函數(shù)的方式表示出來.在推理中，學(xué)生會計算出相關(guān)的數(shù)值，運(yùn)用數(shù)學(xué)計算的方式推理三角函數(shù)值.教師通過這種方式，可以提高學(xué)生對知識的靈活應(yīng)用能力.