初中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的滲透

摘 要：新時(shí)代初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革中明確提出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要將其作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。本文將數(shù)學(xué)建模思想引入其中，通過(guò)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題模型，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推測(cè)等方法來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯抽象能力。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)教學(xué);建模思想;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-624X（2021）06-0037-02

引 言

數(shù)學(xué)模型是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中教師為了解決某個(gè)問(wèn)題，對(duì)現(xiàn)有某個(gè)結(jié)構(gòu)或其他研究對(duì)象展開(kāi)分析研究，并將數(shù)學(xué)知識(shí)和方法作為工具對(duì)其進(jìn)行重組和改造，最終構(gòu)建成一個(gè)符合目前教學(xué)要求的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1]。由此可以看出，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并不是隨意地將公式定理展示出來(lái)，而是要從題目中各種已知變量出發(fā)，通過(guò)定性和定量的分析，再將已知條件進(jìn)行整合，構(gòu)建模型，并在最后問(wèn)題解決的過(guò)程中，來(lái)驗(yàn)證模型的有效性。

一、由易到難建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的模建模思想

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)實(shí)際上是一個(gè)非常復(fù)雜的過(guò)程，教師要將題目中多種不同的已知條件和要求整合起來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。對(duì)于剛從小學(xué)進(jìn)入初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，因?yàn)樗麄兒苌偕婕皵?shù)學(xué)建模，所以在這一方面比較欠缺。基于此，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的過(guò)程中，教師要以最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模為起點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)。首先，教師應(yīng)從生活中常見(jiàn)的情境入手，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合基本的概念和公式來(lái)探索模型建構(gòu)的路徑，從最簡(jiǎn)單的生活問(wèn)題入手，讓學(xué)生感受利用模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的高效性，培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)思想。隨后，教師逐步深化模型，提高模型的深度，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

例如，在講授人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)“實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程”一節(jié)時(shí)，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)?shù)氐耐婢叱兄杏幸患婢呱唐返臉?biāo)價(jià)為150元，在春節(jié)來(lái)臨之際，超市為了提高自身競(jìng)爭(zhēng)力，開(kāi)展了所有玩具八折起出售的活動(dòng)，該活動(dòng)開(kāi)展后超市老板的實(shí)際利潤(rùn)變?yōu)?0%，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算該玩具的進(jìn)價(jià)是多少元？初次解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，大部分學(xué)生直接用150乘以80%得出八折后玩具的價(jià)格，隨后根據(jù)利潤(rùn)的20%這個(gè)已知條件來(lái)計(jì)算出玩具的進(jìn)價(jià)。在這個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生僅處于一種模仿的狀態(tài)。初中數(shù)學(xué)階段，關(guān)注利潤(rùn)和進(jìn)價(jià)的應(yīng)用題比較常見(jiàn)，因此教師不妨借此題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想。

首先，分析已知條件，提煉出條件中的關(guān)鍵信息，如玩具標(biāo)價(jià)為150元，活動(dòng)期間八折出售，最終獲利20%。利潤(rùn)率指的是標(biāo)價(jià)減去進(jìn)價(jià)的差，再除以進(jìn)價(jià)。利潤(rùn)率模型是一個(gè)和生活息息相關(guān)，且非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生根據(jù)這個(gè)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以讓問(wèn)題解決思路更加清晰明了。學(xué)生設(shè)玩具的進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù)建構(gòu)的模型列出方程式：（150×0.8-x）/x=20%，從而得出正確答案。該問(wèn)題就是應(yīng)用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題，題目中所呈現(xiàn)的內(nèi)容非常直觀，學(xué)生也很容易把握已知條件，展開(kāi)模型的構(gòu)建。隨后，教師可以再展示一些與之相關(guān)但比較深入的問(wèn)題。例如，在題目中增加另一個(gè)玩具的價(jià)格，活動(dòng)時(shí)所打的折扣，以及超市能獲取的利潤(rùn)是多少，要求學(xué)生求出兩個(gè)玩具的進(jìn)價(jià)之差。這時(shí)，學(xué)生需要再次對(duì)模型進(jìn)行分析建構(gòu)，由單個(gè)商品單價(jià)過(guò)渡到兩個(gè)商品的單價(jià)之差，再對(duì)之前的學(xué)習(xí)進(jìn)行深入探究。

二、緊扣問(wèn)題重點(diǎn)，轉(zhuǎn)化已知條件建構(gòu)模型

在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師往往會(huì)通過(guò)灌輸式的講授法來(lái)講解知識(shí)，讓學(xué)生結(jié)合公式來(lái)解決問(wèn)題[2]。久而久之，學(xué)生就形成了尊重知識(shí)權(quán)威、死記硬背的學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過(guò)模仿來(lái)應(yīng)用公式，概念和定理以解決問(wèn)題，不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。新時(shí)代初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要打破以往的教學(xué)束縛，將認(rèn)知提高和能力發(fā)展作為教學(xué)的重心。在講授一些比較深?yuàn)W、難以理解的知識(shí)時(shí)，教師可以采取多種不同的問(wèn)題表征形式來(lái)對(duì)知識(shí)進(jìn)行表征，如圖象、表格等，讓已知條件變得更加清晰直觀，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜的知識(shí)進(jìn)行梳理的目標(biāo)，有助于學(xué)生更好地把握建模的方法。

例如，人教版七年級(jí)下冊(cè)“一元一次不等式”這節(jié)課要求學(xué)生在了解不等式解答技巧的前提下，掌握利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法。教師展示了這樣一道應(yīng)用題：當(dāng)?shù)氐墓还居杏钔ㄅ坪烷L(zhǎng)安牌兩種客車出租，其中宇通牌客車的可載人數(shù)是50人，每輛車一天的租金為500元。長(zhǎng)安牌客車可載人數(shù)為40人，每輛車一天的租金為400元。我校下周將組織學(xué)生參觀科技展覽會(huì)，計(jì)劃要租的客車數(shù)量為5輛。教師讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況解決以下問(wèn)題：如果控制租金花費(fèi)在2100元以下，最多可以租多少輛宇通牌的客車？目前參觀科技館的師生一共有200人，如果要控制租金在2100元以下，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出幾種不同的租車方法，并找出最省錢的一種。這道題是對(duì)一元一次不等式的應(yīng)用，從題目分析來(lái)看，該題的已知條件過(guò)多，有一定的難度。學(xué)生僅通過(guò)看的方式來(lái)分析題意，很容易在腦海中形成分散的知識(shí)點(diǎn)，不利于建模工作的展開(kāi)。教師向?qū)W生講授如何利用表格來(lái)轉(zhuǎn)化已知條件。根據(jù)分析結(jié)果，學(xué)生設(shè)所租的宇通牌客車數(shù)量為x，并整理信息列出了表1和表2。

表1和表2所展示的已知條件和數(shù)量關(guān)系非常清晰，學(xué)生可以列出租金總額的方程式：500x+400（5-x）≤2100。學(xué)生按照一元一次不等式解法展開(kāi)對(duì)算式的解答，得出不等式的取值范圍后，可以知道x能夠取的整數(shù)值是哪些，并根據(jù)所建立的一元一次方程式模型來(lái)得出最省錢的租賃方案。

三、模型歸類思想傳輸，把握建模方向

隨著對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)模型有很多種，如幾何模型、方程式模型、函數(shù)圖象模型、數(shù)據(jù)分析模型，等等。面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)開(kāi)展建?；顒?dòng)。但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，大多學(xué)生很難把握建模的方向，難以靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注重對(duì)建模方法的講解，以培養(yǎng)學(xué)生靈活建模的能力。

例如，在講授人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形的證明”時(shí)，學(xué)生需要掌握五種不同的全等三角形的證明方法，分別是SSS、SAS、ASA、AAS、HL。在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，教師可用以實(shí)踐操作為主的幾何建模法，為每位學(xué)生分發(fā)一盒小木棒和橡皮筋。教師先要求學(xué)生分出兩組小木棒，每一組小木棒中有3根，第一組小木棒的名稱為a、b、c，第二組小木棒的名稱為a'、b'、c'，要保證木棒之間的a=a'，b=b'，c=c'，然后利用橡皮筋將每組的三根小木棒固定成兩個(gè)三角形，由此學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等，證明了SSS是判定兩個(gè)三角形全等的定理。隨后，學(xué)生讓兩組小木棒中a=a'、b=b'，但是c不等于c'，同樣將兩組小木棒分別組合成兩個(gè)三角形，也可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形全等，因此證明了SAS也是判定兩個(gè)三角形全等的有效方法。

又如，在學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”知識(shí)時(shí)，教師給出一道題目：批發(fā)商有50臺(tái)電視和70臺(tái)電腦，計(jì)劃批發(fā)給A、B兩個(gè)電器專賣店，其中80臺(tái)分給A店，40臺(tái)分給B店，已知A、B兩個(gè)店銷售電視和電腦的利潤(rùn)分別如表3所示。假設(shè)分給A店電視為x臺(tái)，將這120臺(tái)電視和電腦全部賣出后利潤(rùn)一共為多少？

要解決這道題，學(xué)生需要建立的模型為函數(shù)模型。教師指導(dǎo)學(xué)生分析得出，分給A連鎖店的電腦為（80-x）;分給B店的電視為（50-x），電腦為（x-10）。最后可列出函數(shù)模型：y=300x+180（80-x） +165（50-x）+155（x-10）。

針對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師要有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，通過(guò)辨析題意，抓住題目中的已知條件和關(guān)系式，厘清題目的思路，指導(dǎo)學(xué)生選擇合適的解題方法，讓學(xué)生利用正確的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[3]。

結(jié) 語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)抓住建模教學(xué)的要求，緊扣問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生分析題意，理解題目中的已知條件和問(wèn)題，選擇適合的數(shù)學(xué)建模方法，最后正確解答問(wèn)題。同時(shí)在建模教學(xué)過(guò)程中，教師要以學(xué)生為主體，讓學(xué)生以合作探究形式進(jìn)行建模。

[參考文獻(xiàn)]

鄒翠芳.基于建模思想的初中數(shù)學(xué)實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（12）：88-89.

游康生.基于建模思想的初中數(shù)學(xué)實(shí)踐與反思[J].當(dāng)代教研論叢，2019（09）：74+79.

劉增壽.初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的策略分析[J].名師在線，2019（29）：35-36.

作者簡(jiǎn)介：黃求濱（1991.6—），男，廣東潮州人，本科學(xué)歷，專業(yè)技術(shù)十一級(jí)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。