區(qū)間支付合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值*

陳一寧，陳 巖

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，110870，遼寧省沈陽(yáng)市)

0 引 言

作為對(duì)策論的一個(gè)重要分支，合作對(duì)策主要研究的是參與對(duì)策的局中人怎樣與其他人合作能夠共同取得最大收益，以及形成聯(lián)盟后如何對(duì)共同取得的收益進(jìn)行分配.其中，合作對(duì)策的收益分配問(wèn)題一直是該方向的熱點(diǎn).合作對(duì)策解的概念有很多，主要分為兩類：一類是穩(wěn)定集、談判集、核仁等占優(yōu)解，但在某些情況下合作對(duì)策的占優(yōu)解集可能為空；另一類是估值解，合作對(duì)策的估值解是唯一的解向量，給予對(duì)策中的每個(gè)局中人相應(yīng)的分配.Shapley值[1]是1953年Shapley從公理化角度出發(fā)，提出的n人對(duì)策解的概念，是合作對(duì)策的一個(gè)重要估值解.由于其含義清晰，表達(dá)式簡(jiǎn)潔且始終存在等優(yōu)良性質(zhì)，成為合作對(duì)策中最重要的解的概念之一.經(jīng)典Shapley值假設(shè)局中人在決定離開(kāi)或加入聯(lián)盟時(shí)是獨(dú)立的，即在計(jì)算邊際貢獻(xiàn)的過(guò)程中，局中人皆以個(gè)人的身份出現(xiàn).然而在現(xiàn)實(shí)生活中，局中人往往被同伴所做的決定影響，或者單干時(shí)獲得收益微弱但參與合作后可為聯(lián)盟獲得大量收益，這就需要考慮團(tuán)體邊際貢獻(xiàn)(簡(jiǎn)稱團(tuán)體貢獻(xiàn))的概念.團(tuán)體貢獻(xiàn)的隱含思想在合作對(duì)策中早有體現(xiàn)，Grabisch[2]提出的合作對(duì)策模型中，局中人基于相似的利益相互作用，形成團(tuán)體.類似地，在具有聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的合作對(duì)策中，還有些方法[3-6]是將大聯(lián)盟分成小組或其他聯(lián)盟結(jié)構(gòu)再進(jìn)行對(duì)策求解.近期，Borkotokey等[7]提出了合作對(duì)策中考慮團(tuán)體貢獻(xiàn)的Shapley值.在此概念中，計(jì)算邊際貢獻(xiàn)時(shí)考慮局中人的團(tuán)體貢獻(xiàn)使得不被允許單獨(dú)生產(chǎn)但參與合作后貢獻(xiàn)突出的局中人獲得更合理的分配，最終獲得的收益分配更具有公正性、平等性.

由于環(huán)境、條件及信息等因素的不確定性，使得現(xiàn)實(shí)中的合作幾乎不可能在清晰準(zhǔn)確的環(huán)境下進(jìn)行，往往難以精確給出合作對(duì)策的支付，只能估計(jì)其范圍．因此經(jīng)典合作對(duì)策向著模糊化拓展延伸，許多學(xué)者開(kāi)始關(guān)注并研究模糊支付合作對(duì)策.1974年，Aubin[8]首次提出了模糊對(duì)策的概念，隨后Butnariu[9]、Tsurumi等[10]研究了模糊合作對(duì)策的Shapley函數(shù).在模糊支付合作對(duì)策中，收益為區(qū)間數(shù)的區(qū)間支付合作對(duì)策更是備受關(guān)注.Alparslan G?k等[11,12]對(duì)區(qū)間支付合作對(duì)策上的Shapley值進(jìn)行了研究．2010年，Mallozzi等[13]提出區(qū)間支付合作對(duì)策的一類F-核心解.2017年，鄒正興和張強(qiáng)[14]研究了區(qū)間支付合作對(duì)策的廣義區(qū)間Shapley值.2018年，Hsien-Chung Wu[15]研究了區(qū)間支付合作對(duì)策的支配核心.

由此可見(jiàn)，盡管區(qū)間支付合作對(duì)策上解的研究層出不窮，但該對(duì)策模型上有關(guān)團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值的研究卻并不多見(jiàn).因此，本文以經(jīng)典可轉(zhuǎn)移效用合作對(duì)策上的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值為基礎(chǔ)，利用區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，將這類解推廣至區(qū)間支付合作對(duì)策模型，對(duì)區(qū)間支付合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值進(jìn)行研究.建立公理化體系，證明其滿足區(qū)間有效性、區(qū)間對(duì)稱性及區(qū)間可加性.最后通過(guò)算例與區(qū)間Shapley值進(jìn)行比較，說(shuō)明其可行性與有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

給定局中人集N={1,2,…,n}，可轉(zhuǎn)移效用合作對(duì)策為一序?qū)?N,v)，其中v：2N→R為對(duì)策的特征函數(shù)，且v(φ)=0.所有(N,v)全體構(gòu)成的集合記為G(N).為表簡(jiǎn)練，S∪{i}簡(jiǎn)寫(xiě)為S∪i，S{i}簡(jiǎn)寫(xiě)為Si，若無(wú)歧義，對(duì)策(N,v)簡(jiǎn)寫(xiě)為v.聯(lián)盟S的模用s表示，即|S|=s.

定義1.3[7]對(duì)于任意v∈G(N)，存在唯一滿足以下三條公理的Shapley值函數(shù)Φ:G(N)→RN，有

(1)

稱向量Φ(v)=Φi(v)i∈N為Shapley值向量，簡(jiǎn)稱Shapley值.

對(duì)稱性公理：對(duì)于i,j∈N，S?N{i,j}，v(S∪i)=v(S∪j)，有Φi(v)=Φj(v).

可加性公理：對(duì)于v,w∈G(N)，i∈N，有Φi(v+w)=Φi(v)+Φi(w).

2 可轉(zhuǎn)移效用合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值

對(duì)于對(duì)策v∈G(N)，設(shè)π是N的一個(gè)排列，N上排列全體構(gòu)成的集合記為Π(N).對(duì)任意排列π，P(π,i)={j∈N|π(j)<π(i)}，表示在排列π中于局中人i之前進(jìn)入大聯(lián)盟的局中人的集合，其中π(i)為局中人i在排列π中的位置.

定義2.1[7]對(duì)于任意v∈G(N)，N={1,2,…,n}，可轉(zhuǎn)移效用合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值是一個(gè)向量函數(shù)Φk:G(N)→RN，形如

(2)

命題2.1[7]對(duì)于S?N，α(s,k)滿足下列關(guān)系

(1) 對(duì)于s≥k≥1，

其中[x]為小于或等于x的最大整數(shù).

(2) 對(duì)于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1.

(3) 對(duì)于s≤k，α(s,k)=2s-1.

命題2.2[7]當(dāng)k=2時(shí)，對(duì)于i=0,1,2,…有α(0,2)=1，α(1,2)=1且

α(i,2)+α(i+1,2)=α(i+2,2).

推論2.1[7]根據(jù)命題2.1，式(2)可等價(jià)表示為

(3)

3 區(qū)間支付合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值

3.1 區(qū)間支付合作對(duì)策的區(qū)間Shapley值

(4)

3.2 區(qū)間支付合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值

(5)

類似地，根據(jù)命題2.1，式(5)可等價(jià)表示為

(6)

[v-(S)-v-(ST)]=

上式右端S=N時(shí),

[v-(S∪T)-v-(S)]=

所以

[v-(S∪T)-v-(S)]}.

又當(dāng)S?N時(shí)，有

由引理1，可得

由此可知，

所以

(2)對(duì)稱性公理.對(duì)于任意i,j∈N，S?N{i,j}有

證明由命題2.1知，對(duì)于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1，即

4 算例分析

5 結(jié) 論

本文定義了區(qū)間支付合作對(duì)策的團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值，考慮局中人加入團(tuán)體所產(chǎn)生的團(tuán)體邊際貢獻(xiàn)，給出區(qū)間支付合作對(duì)策的一類解.并對(duì)其做出公理化刻畫(huà)，證明其滿足區(qū)間有效性、區(qū)間對(duì)稱性及區(qū)間可加性.最后通過(guò)算例對(duì)比分析該解與區(qū)間Shapley值的異同，驗(yàn)證其有效性，并說(shuō)明在某些情況下該解更具公平性.本文為區(qū)間支付合作對(duì)策的求解提供一種新的思路，同時(shí)也拓展了團(tuán)體貢獻(xiàn)Shapley值的適用范圍，對(duì)求解基于不確定信息的合作對(duì)策問(wèn)題有一定參考價(jià)值.