由獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)淺談高中數(shù)學(xué)建模

馬曉娟

摘 要：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要途徑之一，很多概率模型的建立都以獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)為背景。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與實(shí)際現(xiàn)象之間的橋梁，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。本文以“獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布”教學(xué)為例，探討了如何開展高中數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-624X（2021）30-0059-02

引 言

近年來(lái)，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)使用的頻率越來(lái)越高，人們對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注程度也與日俱增。數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在它的傳統(tǒng)領(lǐng)域——物理領(lǐng)域繼續(xù)取得重要進(jìn)展，還迅速進(jìn)入人們生產(chǎn)和生活的許多新領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、人口、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、社會(huì)等領(lǐng)域。人們樂于在外出時(shí)乘坐舒適、快捷又安全的大型客機(jī)，其整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程是由一種將數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的被稱為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）的先進(jìn)的數(shù)學(xué)技術(shù)完成的。其生產(chǎn)過(guò)程則是用工程師建立的控制生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算后實(shí)現(xiàn)的。為了保障人民的生命健康，醫(yī)學(xué)專家經(jīng)常開發(fā)和研制新的藥物和醫(yī)療器械，而一種新藥或器械的試制必須經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，以獲得充足的數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學(xué)方法模擬療效數(shù)學(xué)模型后方可分析療效，從而有效地指導(dǎo)臨床治療[1]。

高中數(shù)學(xué)新教材和舊教材相比，更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用和對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、內(nèi)容分析

獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布是用事件的獨(dú)立性來(lái)研究一類問(wèn)題，概率論中被稱為伯努利概型，伯努利概型是概率論中研究較多的數(shù)學(xué)模型之一，概括了許多實(shí)際問(wèn)題，因而很有實(shí)用價(jià)值。它也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論奠定了基礎(chǔ)。值得一提的是，我們由伯努利概型可以解決一類“隨機(jī)游動(dòng)”的問(wèn)題。下面，筆者將結(jié)合教材中的例題，以及醉漢隨機(jī)游走和姚明投球命中率的實(shí)例，按照數(shù)學(xué)建模的五個(gè)步驟，建立二項(xiàng)分布模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。這也是這節(jié)課的重點(diǎn)，即理解獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布，并應(yīng)用二項(xiàng)分布模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生可采用自主探究、合作交流的形式，從具體事例中歸納出數(shù)學(xué)概念，充分體會(huì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，進(jìn)而發(fā)展自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);利用二項(xiàng)分布的有關(guān)知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)[2]。

二、學(xué)生情況分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了有關(guān)概率和統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，如可能事件概率、互斥事件概率、條件概率、相互獨(dú)立事件概率的求法、隨機(jī)變量分布及簡(jiǎn)單的組合知識(shí)。另外，學(xué)生也學(xué)習(xí)過(guò)一些研究問(wèn)題的方法，如特殊到一般、具體到抽象等，且有了一定的抽象概括能力。這為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容做好了知識(shí)和方法上的鋪墊。

可能遇到的困難：本節(jié)內(nèi)容是從生活實(shí)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出抽象n重伯努利實(shí)驗(yàn)的概型，并利用伯努利概型的有關(guān)知識(shí)解釋生活中的一些現(xiàn)象。這對(duì)學(xué)生抽象概括能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力要求較高。利用一個(gè)新的概率模型解釋生活中的現(xiàn)象對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的困難。教學(xué)難點(diǎn)：利用二項(xiàng)分布模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，即伯努利模型的構(gòu)建。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）分析實(shí)例

實(shí)例1：隨機(jī)游走模型

想象在曼哈頓東西南北格點(diǎn)化的街道中有一個(gè)醉漢，他每次到達(dá)一個(gè)交叉路口時(shí)都會(huì)隨機(jī)選擇向東、向北兩個(gè)方向中的一個(gè)，然后繼續(xù)前行;在走到下一個(gè)路口時(shí)又隨機(jī)選擇一個(gè)方向……如此繼續(xù)下去，這個(gè)醉漢回到家的概率是多少？

模型假設(shè)：醉漢每個(gè)時(shí)間單位到達(dá)一個(gè)交叉路口，向東或者向北前進(jìn)，向東的概率為p，向北的概率為1-p，假設(shè)醉漢的家在點(diǎn)M（4，3）處（見圖1），求經(jīng)過(guò)7個(gè)時(shí)間單位后醉漢剛好到家的概率。

模型建立與求解：

將醉漢看成質(zhì)點(diǎn)，總共經(jīng)過(guò)7次移動(dòng)，向東4次，向北3次，經(jīng)過(guò)7個(gè)單位后，醉漢剛好到家的概率為P=C47p4（1-p）3，滿足二項(xiàng)分布。

實(shí)例2：姚明投球

姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次投籃的命中率相同，請(qǐng)問(wèn)他4投3中的概率是多少？（以上有關(guān)數(shù)據(jù)由學(xué)生課前查閱資料并收集整理）

模型假設(shè)：假設(shè)姚明每次投籃的命中率是相同的。

模型建立與求解：

問(wèn)題：姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次投籃的命中率相同，請(qǐng)問(wèn)他4投3中的概率是多少？設(shè)姚明投中球的個(gè)數(shù)為x，x的分布列是怎樣的？

學(xué)生活動(dòng)：小組合作討論。

分解問(wèn)題：（1）在4次投籃中他恰好命中3次的情況有幾種？（2）說(shuō)出每種情況的概率是多少？（3）上述四種情況能否同時(shí)發(fā)生？（4）設(shè)姚明投中球的個(gè)數(shù)為x，x的分布列是怎樣的？

教師行為：引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，讓學(xué)生大膽去說(shuō)，教師逐步修正，完善學(xué)生的說(shuō)法，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

答案（學(xué)生拿自己的草稿在投影下講）：

Ai表示姚明第i次投中球，則表示姚明第i次沒投中球。姚明4投3中包含以下事件：，，

，共種，每種事件的概率為。故4投3中的概率為。x的分布列為（見表1）。

上述解答是一個(gè)對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程。學(xué)生看到最后的結(jié)果，有一種“撥開云霧見青天”的感覺，這不就是二項(xiàng)式定理嗎？學(xué)生熱情高漲，把對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握過(guò)程變成了對(duì)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、創(chuàng)新的過(guò)程。