看我老孫七十二變

馬潔瓊

在初中階段，函數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)大部分學(xué)生來說都是難點(diǎn)，因?yàn)樗艹橄?。其?shí)在認(rèn)識(shí)函數(shù)前，我們首先要認(rèn)識(shí)的是變量之間的關(guān)系。生活中的變量隨處可見，但讓學(xué)生通過生活實(shí)例和經(jīng)驗(yàn)體會(huì)到變量之間的依存關(guān)系和相互之間的聯(lián)系，確實(shí)存在一定的難度，而它卻是函數(shù)研究的主要問題。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要是培養(yǎng)學(xué)生的解決抽象問題的能力。而在實(shí)際的教學(xué)過程中，對(duì)由形象到抽象的過程認(rèn)識(shí)與研究不夠，往往忽視了抽象的過程，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)識(shí)上不夠深入，理解上不夠透徹。本文以教學(xué)變量之間的關(guān)系為例，就如何將學(xué)生的抽象思維形象具體化，表達(dá)自己的一些想法。

之所以數(shù)學(xué)具有普遍存在性和廣泛性，能夠成為人類認(rèn)識(shí)和改造自然所必需的基礎(chǔ)知識(shí)，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)的高度抽象性和概括性。

常量與變量的學(xué)習(xí)是函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)生初次接觸常量和變量的概念，將由熟悉的常量進(jìn)入變量的學(xué)習(xí)，面臨著一種新的思維模式的轉(zhuǎn)變。變量是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，但對(duì)于初學(xué)者來說，卻很抽象。我們生活的世界瞬息萬變，站在數(shù)學(xué)的角度，研究變量之間的關(guān)系，將有助于人們更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)和預(yù)測(cè)未來。同時(shí)，通過研究現(xiàn)實(shí)世界中的變化規(guī)律，也能使學(xué)生從常量的認(rèn)識(shí)進(jìn)入到對(duì)變量的了解，進(jìn)而轉(zhuǎn)入到一種新的思維方式。我們知道，函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的一個(gè)重要模型，這正是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)教育研究表明，對(duì)變化規(guī)律的探索、描述應(yīng)從初一開始，認(rèn)識(shí)變量之間的關(guān)系對(duì)豐富函數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷是十分重要的。因此，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，而是遵照循序漸進(jìn)、螺旋上升的原則進(jìn)行設(shè)計(jì)。什么是變量？相信對(duì)初學(xué)變量的同學(xué)們都是一個(gè)困惑。

我們知道，在一個(gè)變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量。這個(gè)定義很抽象。為了使初學(xué)變量的同學(xué)能正確地認(rèn)識(shí)和理解它，將變量具體化、形象化。大家可以回顧一下古典文學(xué)名著《西游記》中的一段經(jīng)典情節(jié)：話說孫悟空大鬧天宮時(shí)，玉皇大帝情急之下請(qǐng)來二郎神救駕。孫悟空和二郎神兩人都武藝高強(qiáng)，一時(shí)間難分勝負(fù)。二郎神手下的天兵天將把孫悟空的猴子、猴孫都捉走了，頓時(shí)孫悟空亂了陣腳，想逃走。但二郎神有天眼，孫悟空的變化都被他看穿了。孫悟空先是變成一只麻雀，二郎神就變成一只餓鷹；孫悟空又躲入水中，變成一條魚，二郎神就變成一只魚鷹；孫悟空又變成一條水蛇，二郎神就又變成一只灰鶴。有一回合，來到崖下，孫悟空變成一座土地廟，再次被二郎神識(shí)破……孫悟空和二郎變化多端，互相斗法，一個(gè)要逃，另一個(gè)則緊追不舍，打得不可開交。

在這個(gè)故事中，孫悟空變化多端，二郎神隨機(jī)應(yīng)變。把它們與我們學(xué)習(xí)的變量聯(lián)系起來對(duì)比一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)故事里講得是一個(gè)變化過程，孫悟空和二郎神是兩個(gè)會(huì)變化的神仙，他們相當(dāng)于兩個(gè)變量x和y。孫悟空的變化在先，他相當(dāng)于變量x，而麻雀、大魚、水蛇……相當(dāng)于變量x所取的一些確定的值。二郎神的變化在后，他相當(dāng)于另一個(gè)變量y，對(duì)于孫悟空變化出的每一樣動(dòng)物，二郎神都相應(yīng)地變化出另一種更厲害的動(dòng)物去對(duì)付，餓鷹、魚鷹、灰鶴……相當(dāng)于y隨x所取的對(duì)應(yīng)值。因此孫悟空相當(dāng)于自變量，而二郎神則相當(dāng)于因變量。孫悟空和二郎神的變化是相互聯(lián)系的，二郎神針對(duì)孫悟空的變化采取了“一物降一物”的辦法，在變化中始終占據(jù)上風(fēng)。這相當(dāng)于變量y與x之間具有某種對(duì)應(yīng)的法則。

對(duì)于變量概念的認(rèn)識(shí)和理解，要注意：

第一，兩個(gè)變量是相互依存的，一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化。就像故事里二郎神的變化是隨著孫悟空的變化而變化的，因變量y離不開自變量x，沒有自變量就沒有因變量。

第二，因變量y與自變量x之間存在著對(duì)應(yīng)法則。如：孫悟空先變化，二郎神為了降服他再變化，孫悟空每變一種動(dòng)物，二郎神就相應(yīng)地變化成另一種動(dòng)物，對(duì)于兩個(gè)變量，先給定自變量x的值，因變量y的值隨之確定，對(duì)于x所取的每一個(gè)確定值，y都依照某種法則取得唯一一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)值。

第三，在一個(gè)變化過程中，自變量都會(huì)根據(jù)實(shí)際含義有相應(yīng)的取值范圍。在這部經(jīng)典神話小說里，孫悟空為降妖除魔，保護(hù)師父西天取經(jīng)，有七十二種不同的變化，這應(yīng)該就是孫悟空作為自變量來說的取值范圍吧。

通過這種形象的對(duì)比，學(xué)生對(duì)抽象的變量之間的關(guān)系有了更為具體、形象的認(rèn)識(shí)和理解。所以，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體、形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，是符合學(xué)生心理發(fā)展特點(diǎn)的，還能使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得生動(dòng)有趣、輕松愉快。