例談如何在數(shù)學化的過程中滲透數(shù)學建模
——以“三角函數(shù)的概念”教學為例

李 平

（韶關市第一中學，廣東 韶關 512005）

學習了章建躍、張艷嬌和金克勤3位老師撰寫的《數(shù)學建?；顒拥恼n程理解、教材設計與教學實施》一文，對新教材中關于數(shù)學建?；顒拥木帉懰悸罚瑪?shù)學建?；顒拥慕滩慕Y構有了新的認識.文章中提出“要在數(shù)學化的過程中滲透數(shù)學建?！保?］，本文在結合新課程標準和研究內容解析的基礎上給出了“三角函數(shù)的概念”一節(jié)的教學設計，并對教學設計的實施進行了反思.

1 內容解析

1.1 課標要求

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）中“內容要求”對三角函數(shù)概念的教學要求是：借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義［2］.并給出了教學應達到的目標及建議采取的教學手段，即從學生已知的、基于變量關系的函數(shù)定義入手，引導學生通過生活或數(shù)學中的問題，構建函數(shù)的一般概念，體會用對應關系定義函數(shù)的必要性.

1.2 教材分析

本文探討的是人教A版高中數(shù)學必修第一冊（2019）第五章第二節(jié)的內容［3］，主要內容是三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)是描述周期運動現(xiàn)象的重要的數(shù)學模型，有非常廣泛的應用.三角函數(shù)的定義是本章最基本的概念，對三角內容的整體學習至關重要，是其他所有知識的出發(fā)點.緊緊扣住三角函數(shù)定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內容：定義域、符號判斷、值域、同角三角函數(shù)關系、多組誘導公式、多組變換公式、圖像和性質.三角函數(shù)的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數(shù)這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備.三角函數(shù)知識還是物理學、高等數(shù)學、測量學、天文學的重要基礎.

三角函數(shù)定義的學習是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續(xù)內容的學習，由三角函數(shù)定義的基礎性和應用的廣泛性決定了其重要性.

1.3 核心素養(yǎng)及蘊含的數(shù)學思想方法

數(shù)學抽象.三角函數(shù)主要結合單位圓圖形是從單位圓中心角弧度數(shù)與中心角的終邊和單位圓交點的橫坐標、縱坐標及縱坐標與橫坐標的比值的對應關系中抽象出三角函數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學抽象和數(shù)形結合的思想和方法.

邏輯推理.三角函數(shù)從研究特殊角與單位圓交點的坐標出發(fā)，通過歸納、類比發(fā)現(xiàn)相應的對應關系.體現(xiàn)了特殊到一般的思想方法.

數(shù)學建模.三角函數(shù)一課在書本一開始就明確了任務：單位圓圓O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個數(shù)學模型，刻畫點P的位置變化情況.并提供了研究的路徑：明確研究對象→對應關系的特點分析→定義.

直觀想象.借助單位圓及直角坐標系觀察點P的位置變化特點及運動規(guī)律，建立了形與數(shù)的聯(lián)系，構建課堂要研究問題的直觀模型，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.

1.4 教學目標

（1）初步理解借助單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)，理解任意角的三角函數(shù)的概念；

（2）在三角函數(shù)定義的過程中進一步認知函數(shù)的本質，體會數(shù)形結合思想方法的作用；

（3）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，提升學生思維的嚴謹性，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng).

1.5 教學重點與難點

教學重點是任意角的三角函數(shù)概念，其難點在于用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù).

2 教學設計

2.1 創(chuàng)設情景，導入新課

問題引入：在客觀世界中存在大量循環(huán)往復、周而復始的周期現(xiàn)象，比如日出日落、鐘擺運動等，勻速圓周運動是這類現(xiàn)象的代表，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，那么勻速圓周運動的運動規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？

如圖1所示，圓O上的點P以A為起點做逆時針旋轉，在把角的范圍推廣到任意角后，可以借助角α的大小變化刻畫點P的位置變化.根據(jù)弧度制的定義，角α的大小與圓O的半徑無關，能否建立一個函數(shù)模型，刻畫點P的位置變化情況?

圖1 點P的位置變化圖

設計意圖：開門見山引出研究內容、過程與研究方法，指明點P隨著角度的變化而變化，明確構建函數(shù)模型的目標，讓學生初步了解本節(jié)課學習的方向，為具體研究指明方向.

2.2 引導探究，形成新知

分析要解決這個問題需要什么工具？

首先，要建立函數(shù)模型，要利用直角坐標系.

其次，根據(jù)任意角的定義，需要借助單位圓.

如圖2所示，以單位圓的圓心O為坐標原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標是（1，0），點P的坐標是（x，y）.把該問題抽象為一個點P從點A（1，0）開始在單位圓上的運動.

圖2 點P在單位圓上的 運動

問題1：這個運動過程中的有哪些變量，判斷它們之間是否具有函數(shù)關系.如果有，能否寫出函數(shù)解析式？

（1）點P在單位圓上運動過程中涉及的變量有：點P的橫坐標x、縱坐標y，弧長l，旋轉角度α；

（2）判斷變量：x，y，l，α間的哪兩個變量能否構成函數(shù)關系？

過點P作PM⊥x軸于M，根據(jù)勾股定理可知OM2+PM2=1，即x2+y2=1，顯然變量x、y間的對應關系不符合函數(shù)定義.在弧度制學習中已經(jīng)知道變量l，α之間的關系，并且變量x，y與α的關系和x，y與l的關系等價，所以只需研究變量x，y與α的關系.

問題2：若角α終邊與單位圓交于點P，如何求點P的坐標？

追問1：當遇到一般性問題應該如何研究？

追問3：任意給定一個角α，點P的坐標唯一確定嗎？

因為單位圓的半徑不變，點P的坐標只與角α的大小有關，當角α確定時，點P的坐標是（x，y）也唯一確定.

追問4：在展示的運動變化的過程中，觀察角α的終邊與單位圓的交點P的坐標，有什么發(fā)現(xiàn)？能否運用函數(shù)的語言刻畫這種對應關系呢？

對任意一個實數(shù)α，它的終邊OP與單位圓的交點P的橫、縱坐標x、y都是唯一確定的，有如下對應關系：任意角α（弧度）→唯一實數(shù)x；任意角α（弧度）→唯一實數(shù)y．

一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標，無論是橫坐標x，還是縱坐標y，都是唯一確定的.所以，點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數(shù).

設計意圖：以函數(shù)的對應關系為指向，使學生確認相應的對應關系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標都是圓心角α（弧度）的函數(shù)，為引出三角函數(shù)的定義做好鋪墊.

接著給出這些函數(shù)的定義：如圖3所示，設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），那么把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數(shù)，記做sinα，即y=sinα； 把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數(shù)，記做cosα，即x=cosα； 把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做α的正切函數(shù)，記做tanα，即=tanα（x≠0）.

圖3 三角函數(shù)定義輔助圖

問題3：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對應關系各是什么？

實數(shù)α（弧度）對應于點P的縱坐標y→正弦函數(shù)；

實數(shù)α（弧度）對應于點P的橫坐標x→余弦函數(shù)；

當點P的橫坐標為0時，角α的終邊在y軸上，此時，所以=tanα無意義.

因此，對于確定的角α，的值也是唯一確定的，所以=tanα（x≠0）也是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數(shù)，稱為正切函數(shù).實數(shù)α（弧度）對應于點P的縱坐標y與橫坐標x（x≠0）之比→正切函數(shù).

追問1：任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義呢？

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或者坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應關系， 所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).

按照函數(shù)的定義與常用的符號，通常將它們記為：正弦函數(shù)y=sinx；余弦函數(shù)y=cosx；正切函數(shù)y=tanx.將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

追問2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?

很明顯，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集，即x∈R，對于正切函數(shù)而言，要求點P的橫坐標x≠0，即角α的終邊OP不能位于y軸上，那么正切函數(shù)的定義域為

追問3：這個定義相對于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?

任意角的三角函數(shù)是通過角與單位圓交點的坐標定義的，銳角三角函數(shù)是通過直角三角形邊長的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也可用角的終邊與單位圓交點的坐標定義，此時終邊上的點都在第一象限，因此銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負數(shù).

追問4：“任意角的三角函數(shù)”與“銳角三角函數(shù)”這兩個概念有什么異同?

設計意圖：引導學生將任意角三角函數(shù)納入到函數(shù)中，豐富學生對三角函數(shù)的認知，另外，注意任意角為軸線角的特殊情況，讓學生更全面地認識任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性.

2.3 理解概念，運用新知

例1求的正弦、余弦和正切值.

解如圖4所示，在直角坐標系中，作，此時∠AOB的終邊與單位圓的交點B的坐標為，所以

圖4 例1輔助圖

設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進一步理解定義的內涵.

例2如圖5所示，設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r.

圖5 例2輔助圖

引導學生分析問題：

你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示sinα和cosα嗎？

解設角α的終邊與單位圓交于點P0（x0，y0），分別過點P，P0作x軸的垂線PM，P0M0，垂足分別為M，M0，如圖6所示，則|PM|=|y|，|P0M0|=|y0|，|OM|=|x|，|OM0|=|x0|，△OMP≌△OM1P1.

圖6 例2解題輔助圖

設計意圖：通過問題引導，使學生找到△OMP、OM1P1，并利用它們的相似關系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.

追問：例2實際上給出了任意角的三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的，能否用嚴格的數(shù)學語言敘述這個定義嗎？

一般地，對于任意角α，角α終邊上的任意一點P的坐標為（x，y），它到原點O的距離為那么

顯然任意角α的三角函數(shù)值不會隨點的位置的變化而變化.

2.4 應用新知，總結提升

任意角三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)知識的基礎，以后要學習的有關三角函數(shù)其他知識都建立在對三角函數(shù)的概念的理解與認識上，所以同學們一定要認真學習和體會所學的知識.

三角函數(shù)是如何定義的？除了學習單位圓定義，還有什么定義方法？

（1）單位圓定義法：建立直角坐標系，使角α的頂點與坐標原點重合，終邊與單位圓的交點為P，即可由點P坐標（x，y）得到三角函數(shù)定義.

正弦函數(shù)：y=sinx（x∈R）；余弦函數(shù)：y=cosx（x∈R）；正切函數(shù)：

（2）終邊定義法：建立直角坐標系，對于任意角α，角α終邊上的任意一點P的坐標為（x，y），它到原點O的距離為，那么

在研究三角函數(shù)概念的過程中，你體會到了什么數(shù)學思想方法？

在任意角的三角函數(shù)的概念建構的過程中，運用了轉化與化歸、數(shù)形結合、函數(shù)思想，這些思想方法在今后的學習中非常重要，一定要認真體會.

3 總結反思

對傳統(tǒng)的概念授課教師比較注重知識性教學，經(jīng)常將理論教學與實踐教學分離，而利用數(shù)學建模的教學過程啟發(fā)、引導學生經(jīng)歷建模的全過程，并讓學生有實質性的思考，可以更加深刻地理解三角函數(shù)的定義形成的過程.正如章建躍老師所說：“加強數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系是課改的一個基本理念，也是數(shù)學教材改革的一個基本方向”［1］.作為一線教師更應該注重轉變教學方式、更新教學觀念更好更快的適應課改要求，將學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學中落到實處.