n-余撓同調(diào)維數(shù)

熊 濤， 王芳貴， 王 茜

（1.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充637002； 2.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都610066；3.四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 達(dá)州635000）

本文恒設(shè)R是給定的環(huán)，對(duì)左R-模N，

代表N的平坦（resp.投射，內(nèi)射）維數(shù).用Fn表示平坦維數(shù)不超過(guò)n的R-模簇，用

表示R的整體（resp.弱整體）維數(shù).對(duì)于未解釋的概念和符號(hào)，參考文獻(xiàn)［1-2］.

模類＝｛W∈M｜對(duì)任意左R-模M∈Fn，都有（M，W）＝0.｝一直備受關(guān)注.Bass［3］證明了每個(gè)（左）R-模有投射蓋當(dāng)且僅當(dāng)R是左完全環(huán)（等價(jià)地，每個(gè)平坦R-模是投射模）.隨著蓋包理論的發(fā)展，Enochs［4］提出了平坦蓋猜測(cè)（flat cover conjecture，F(xiàn)CC）：每個(gè)R-模有平坦蓋.此后，多篇文獻(xiàn)討論了平坦蓋的存在性［5-7］.2001年，借助于模簇（學(xué)者們稱之為余撓模），Bican等［8］解決了“FCC”，即證明了結(jié)合環(huán)上每個(gè)模都有平坦覆蓋和余撓包絡(luò).

按照同調(diào)理論的觀點(diǎn)，Mao等［9］定義了模M的余撓維數(shù)cotR M和環(huán)R的余撓整體維數(shù)l.cot.dim.（R），并且證明了環(huán)R是左完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

文獻(xiàn)［9］的推論7.2.7稱環(huán)R是左完全環(huán)是指每個(gè)R-模都有投射蓋.R稱為左m-perfect［10］是指每個(gè)平坦模的投射維數(shù)不超過(guò)m，由文獻(xiàn)［9］的推論7.2.6可知環(huán)R是左m-perfect當(dāng)且僅當(dāng)

回顧交換環(huán)R稱為幾乎完全環(huán)是指它的每個(gè)真商環(huán)是完全環(huán).幾乎完全整環(huán)（almost perfect domains），簡(jiǎn)稱為APD.作為余撓模理論的推進(jìn)，Lee［11］將整環(huán)上的稱為弱內(nèi)射模.Fuchs等［12］定義了整環(huán)上的模的弱內(nèi)射維數(shù)和環(huán)的弱內(nèi)射整體維數(shù)，并在文獻(xiàn)［11］的引理3.6和文獻(xiàn)［12］的推論6.4中證明了一個(gè)整環(huán)是APD當(dāng)且僅當(dāng)它的弱內(nèi)射整體維數(shù)≤1.Salce［13］證明了一個(gè)幾乎完全環(huán)或者是完全環(huán)，或者是APD.此外，沒(méi)有找到關(guān)于整體弱內(nèi)射維數(shù)為零的相關(guān)環(huán)的表述.Mao等［14］研究了任意環(huán)上的，并將其稱之為n-余撓模.這實(shí)際上是對(duì)余撓模的進(jìn)一步發(fā)展.借助n-余撓模，文獻(xiàn)［14］的推論6.4刻畫了環(huán)R的弱整體維數(shù)，證明了w.gl.dim（R）≤n當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)n-余撓模是內(nèi)射的.Enochs等［15］借助1-余撓?？坍嬃薔oether環(huán)，文獻(xiàn)［15］的定理4.4證明了左右Noether環(huán)R的內(nèi)射包E（R）是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)1-余撓模M的平坦蓋F（M）是內(nèi)射的.此外，Mao等［16］定義了另外一種n-余撓模：R-模N稱為n-余撓模是指對(duì)任意平坦R-模F，都有

這2個(gè)概念是不一樣的，見(jiàn)例1.

當(dāng)且僅當(dāng)

Vasconcelos［20］證明了一個(gè)交換環(huán)R是完全的當(dāng)且僅當(dāng)FPD（R）＝0.

上述事實(shí)表明，R的l.FPD（R）維數(shù)與一種廣義的-內(nèi)射整體維數(shù)有著密切的聯(lián)系，尤其是l.FPD（R）維數(shù)下的一維環(huán)和一維整環(huán)，從已有的研究結(jié)果來(lái)看，這種關(guān)系似乎更加密切.本文正是基于這種思想展開(kāi)討論的.

1 n-余撓模與n-余撓維數(shù)

容易看到，2種0-余撓模的定義是完全一致的，也就是余撓模.當(dāng)n≥1時(shí)，文獻(xiàn)［14-15］中定義的n-余撓模，都是文獻(xiàn)［16］中定義的n-余撓模.但反之未必成立.

例1取環(huán)R＝Z及模M＝R／（2）.由于

故R是文獻(xiàn)［16］中定義的1-余撓模.同時(shí)，運(yùn)用文獻(xiàn)［21］的定理7.17可得到

以及

從而R不是文獻(xiàn)［14-15］中定義的1-余撓模.

下文提及的n-余撓模，均是指文獻(xiàn)［14-15］中定義的n-余撓模，并將該模簇記為Cn.

命題1對(duì)左R-模W，以下陳述是等價(jià)的：

1）W是n-余撓模；

2）對(duì)任意左R-模M∈Fn和任何整數(shù)k≥1，都有（M，W）＝0；

3）如果正合列0→W→B→C→0滿足C∈Fn，則它是分裂的；

4）如果正合列0→A→B→C→0滿足C∈Fn，則序列

也是正合的.

證明1）?3）與2）?1）是顯然的，1）?4）參考文獻(xiàn)［14］命題4.4，下面只證1）?2）.由定義有現(xiàn)在假設(shè)k＞1.設(shè)0→A→F→M→0是正合列，這里F是投射左R-模，則

注意A∈Fn，故對(duì)k用歸納法，有

對(duì)R-模M的一個(gè)內(nèi)射分解

記

則第n階上核Cn（n≥0）叫做M的第n階上合沖.

文獻(xiàn)［22］的定理2.2與文獻(xiàn)［23］的引理5.5證明了對(duì)于整環(huán)R，R-模M滿足fdRM≤1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意1-余撓模W，都有

以下定理是對(duì)模的平坦維數(shù)的更寬泛的討論.

定理1設(shè)M是R-模.對(duì)任意n≥0，以下陳述是等價(jià)的：

1）fdRM≤n；

2）對(duì)任意0≤m≤n及任意m-余撓模N，成立；

3）對(duì)任意0≤m≤n及任意m-余撓模N及任意成立.

證明3）?2）是顯然的，令m＝n，由文獻(xiàn)［14］的定理3.4即可得2）?1）.下證1）?3）.設(shè)W是N的（n－m）階上合沖，由文獻(xiàn)［14］中的命題4.3可知，W是n-余撓.由命題1即得，對(duì)于任意

對(duì)任意的n≥0，都有Cn?Cn＋1.現(xiàn)在舉出一個(gè)滿足C0?C1?C2?…?Cn?…的環(huán)的例子.

例2取域F，構(gòu)造環(huán)

這里x1，x2，…，x n，…是F上的未定元，則R是凝聚整環(huán).對(duì)任意n≥1，記J＝ （x1，x2，…，x n），則由文獻(xiàn)［24］的定理11.2.5可知

成立.設(shè)Cn－1是R的一個(gè)（n－1）階上合沖，再由文獻(xiàn)［24］中的定理11.2.5可知，Cn－1是（n－1）-余撓模，但不是n-余撓的.

定義1設(shè)M是R-模.M的n-余撓維數(shù)c nd RM是指使得序列這里對(duì)0≤i≤m，每個(gè)Wi是n-余撓模，是正合列的最小的非負(fù)整數(shù)m.如果不存在這樣的m，則記

環(huán)R的n-余撓整體維數(shù)l.Cn.D（R）定義為l.Cn.D（R）＝sup｛c ndRM｜M是任意R-模.｝.

現(xiàn)在給出模的n-余撓維數(shù)的等價(jià)刻畫.

定理2設(shè)m是非負(fù)整數(shù).對(duì)R-模N，以下陳述等價(jià)：

1）c ndRN≤m；

2）對(duì)任意M∈Fn，

3）對(duì)任意M∈Fn和任意i≥1，

證明這是平凡的.

定理3設(shè)m是非負(fù)整數(shù)，則對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）l.Cn.D（R）≤m；

2）對(duì)任意的M∈Fn及N∈RM，

3）對(duì)任意的M，N∈Fn，

4）sup｛c ndRN｜N∈Fn｝≤m；

5）sup｛pdRM｜M∈Fn｝≤m.

證明5）?2）?3）是顯然的，由定理2即可得1）?2）與3）?4）.

4）?1） 設(shè)N∈RM，由文獻(xiàn)［14］中的定理3.4，可得正合列

其中，F(xiàn)∈Fn，A∈Cn.對(duì)任意的左R-模M∈Fn，由命題1可得正合列

由定理2可得

故

2 對(duì)環(huán)的刻畫

先來(lái)看什么時(shí)候每個(gè)n-余撓模是內(nèi)射模.

定理4對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）w.gl.dim（R）≤n；

2）每個(gè)n-余撓模是內(nèi)射的；

3）如果N∈Cn，則fdRN≤n；

4）對(duì)任意的M，W∈Cn，

成立.特別地，如果

則上述各條還與以下陳述等價(jià)：

5）對(duì)任意的W∈Cn∩Fn，W是內(nèi)射的.

證明1）?2） 由文獻(xiàn)［14］的推論6.4.

2）?4）和2）?5）是顯然的，由定理1即可得4）?3）.

3）?2） 設(shè)W是n-余撓模，且設(shè)

是正合列，這里E是內(nèi)射模，則C是也是n-余撓的.由假設(shè)fdRC≤n，從而正合列是分裂的，故W是內(nèi)射模.

5）?1） 用反證法.如果存在一個(gè)R-模滿足其平坦維數(shù)超過(guò)n，不妨假設(shè)存在一個(gè)R-模M滿足fdRM＝n＋1.由文獻(xiàn)［14］的定理3.4可知，存在正合列

其中A是n-余撓的且滿足

則

由假設(shè)，A是內(nèi)射摸，從而給出的正合列是分裂的.因此，fdRM≤n.顯然，這是一個(gè)矛盾，從而

推論1對(duì)環(huán)R，以下陳述是等價(jià)的：

1）R是Von Neumann正則環(huán)；

2）每個(gè)余撓模N是內(nèi)射模；

3）每個(gè)余撓模N是平坦模；

4）對(duì)任意的余撓模M和N，

下面給出環(huán)R的l.Cn.D（R）維數(shù)與l.FPD（R）維數(shù)的關(guān)系.

定理5對(duì)任意環(huán)R，都有

特別地，如果

則對(duì)任意的

證明設(shè)l.FPD（R）＝k＜∞且M∈Fn.由文獻(xiàn)［25］中的命題6可知

故

從而

如果

則存在一個(gè)R-模M滿足

因此，存在一個(gè)R-模N滿足

又因?yàn)镸∈Fn和l.Cn.D（R）≥m，則

等價(jià)地，l.Cn.D（R）＝l.FPD（R）.

推論2設(shè)n≥1，R是環(huán)，有：

1）如果l.FPD（R）＝0，則每個(gè)R-模是n-余撓的；

2）交換環(huán)R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)R-模是n-余撓的.

下面研究左完全環(huán)與l.FPD（R）維數(shù)的關(guān)系.文獻(xiàn)［3］定義了R的左弱finitistic維數(shù)：

引理1對(duì)環(huán)R，以下陳述是等價(jià)的：

1）l.FFD（R）≤n；

2）Fn＋1＝Fn；

3）Cn＋1＝Cn.

從而，l.FFD（R）＝0當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)余撓左R-模是1-余撓的.

證明1）?2）?3）是顯然，下面只證3）?1）.設(shè)M是R-模滿足

如果s＞n，不失一般性，假設(shè)s＝n＋1.由條件可知，對(duì)任意n-余撓模W，

成立.由定理1可知

這是一個(gè)矛盾，故

即

定理6設(shè)n≥1.對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）l.Cn.D（R）＝0，等價(jià)地，每個(gè)模是n-余撓模；

2）對(duì)任意模M∈Fn，M是投射的；

3）對(duì)任意模M∈Fn，M是n-余撓模；

4）R是左完全環(huán)且l.FFD（R）＝0；

5）l.FPD（R）＝0.

證明1）?2）?3） 運(yùn)用定理3即可.而4）?5）是顯然的.

1）?4） 運(yùn)用文獻(xiàn)［17］的命題3.3.1和引理1即可.

定義2稱環(huán)R為左Cn-遺傳環(huán)，即指：如果每個(gè)n-余撓模的商模是n-余撓的，等價(jià)于

定理7設(shè)n≥1，則對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）R是左Cn-遺傳環(huán)；

2）對(duì)任意模M∈Fn，pdRM≤1；

3）任意模M∈Fn，c ndRM≤1；

4）每個(gè)內(nèi)射模的商模是n-余撓模；

5）對(duì)任意R-模M，E（M）／M是n-余撓模，這里E（M）是M的內(nèi)射包；

6）對(duì)任意R-模M，E（M）／M是n-余撓模，這里E（M）是M的n-余撓包；

7）每個(gè)投射R-模P的子模N∈Fn－1是投射模.

證明1）?4）和1）?6）?5）是顯然的，而1）?2）?3）由定理3即得.

4）?1） 設(shè)0→N→W0→W1→0正合列，其中W0是n-余撓模.設(shè)E是W0的內(nèi)射包.記

則可得如下行是正合列的交換圖

故

是正合的.對(duì)任意R-模N∈Fn，由假設(shè)可知

成立，故可由

推出

即W1是n-余撓的.

5）?4） 設(shè)0→K→E→C→0正合列，其中E是內(nèi)射模.記E（K）?E是K的內(nèi)射包，則存在R-模E0滿足

故

由假設(shè)可知，E（K）／K是n-余撓模，從而C是n-余撓模.

4）?7） 設(shè)P是投射R-模，N∈Fn－1是P的一個(gè)子模，且X是任意R-模，則存在正合列

其中，P／N∈Fn，E是內(nèi)射模.由假設(shè)可知，C是n-余撓.對(duì)任意α∈HomR（N，C），考察如下行是正合列的交換圖

則由命題1可知，存在 β∈HomR（P，C）滿足

由于P是投射模，存在 γ∈HomR（P，E）滿足

則

也滿足

則

是正合列，則

因此，N是投射模.

7）?1） 設(shè)W是n-余撓R-模，N是W的子模.對(duì)任意的A∈Fn，存在正合列0→K→P→A→0，其中P是投射模且K∈Fn－1.由假設(shè)，K是投射模.對(duì)任意的 α∈HomR（K，W／N），考察如下行是正合列的交換圖

則存在同態(tài)

使得

由假設(shè)可知，W是n-余撓模且A∈Fn，則由命題1可知，存在同態(tài)

滿足

則

是正合列.由于

W／N是n-余撓模.

推論3對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）l.C1.D（R）≤1；

2）每個(gè)內(nèi)射模的商模是1-余撓模；

3）每個(gè)投射模的平坦子模是投射的.

定理8設(shè)n＞1，R是環(huán)，則以下陳述等價(jià)：

1）l.Cn.D（R）≤1；

2）l.C2.D（R）≤1；

3）l.FPD（R）≤1；

4）l.C1.D（R）≤1且l.FFD（R）≤1.

證明1）?2） 顯然.

2）?3） 設(shè)M是R-模滿足k：＝pdRM＜∞.如果k＞1，則存在R-模N滿足pdRN＝2.由假設(shè)，pdRN≤1，這是一個(gè)矛盾，故k≤1.因此

3）?4） 如果M∈F1，則存在正合列

這里F是投射模，K是平坦模.由文獻(xiàn)［25］的命題6可知

從而

由假設(shè)，pdRM≤1，故K是投射模.因此

如果M∈F2，由定理7，fdRM≤pdRM≤1.因此，

故由引理1可得

4）?1） 由于l.FFD（R）≤1，則C1＝Cn.再次運(yùn)用引理1可得

如下定理表明了左遺傳環(huán)與左Cn-遺傳環(huán)的差距.

定理9設(shè)n≥1，則對(duì)環(huán)R，以下陳述等價(jià)：

1）R是左遺傳環(huán)；

2）R是左Cn-遺傳環(huán)且w.gl.dim（R）≤1；

3）R是左C1-遺傳環(huán)且w.gl.dim（R）≤1；

4）R是左Cn-遺傳環(huán)且w.gl.dim（R）＜∞；

5）R是左Cn-遺傳環(huán)且w.gl.dim（R）≤n.

證明3）?1） 由定理4，每個(gè)1-余撓模是內(nèi)射的，故R是遺傳環(huán).

1）?2）?3）和2）?4）是顯然的，5）?1）類似于3）?1）.下證4）?5）.由上述討論，當(dāng)n＝1是顯然的.現(xiàn)在假設(shè)n＞1.如果

則存在模M∈Fk.設(shè)B是M的第（k－n）階合沖，則fdRB≤n.由定理7，fdRB≤pdRB≤1.因此

從而n≤1，這顯然是個(gè)矛盾.從而k≤n，也就是說(shuō)，w.gl.dim（R）≤n.

由文獻(xiàn)［26］的定理90可知，一個(gè)Noether整環(huán)R是APD當(dāng)且僅當(dāng)dim（R）≤1，從而有：

定理10設(shè)R是Noether整環(huán)滿足

證明由文獻(xiàn)［27］可知

因此，由定理8，R是C2-遺傳環(huán).

由文獻(xiàn)［11］的引理3.6及文獻(xiàn)［12］的推論6.4可知，整環(huán)R是APD當(dāng)且僅當(dāng)R是C1-遺傳整環(huán).由文獻(xiàn)［25］的命題6和文獻(xiàn)［12］的推論，有如下推論.

推論4整環(huán)R是APD當(dāng)且僅當(dāng)

雖然整環(huán)R是C1-遺傳環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是APD，但C1-遺傳環(huán)卻未必是幾乎完全環(huán).

例3也可以舉出C1-遺傳環(huán)但不是幾乎完全環(huán)的例子.事實(shí)上，設(shè)D是APD但不是域，則D不是完全環(huán)，從而R＝D×D是C1-遺傳環(huán)，則I＝（D，0）≠0是R的理想.則D?R／I是R的真商環(huán)，但不是完全環(huán).因此，R不是幾乎完全環(huán).

致謝西華師范大學(xué)2017年度博士科研啟動(dòng)專項(xiàng)項(xiàng)目（17E087）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.