考慮非線性本構(gòu)和小初始變形的單壁碳納米管的Bernoulli-Euler梁模型

王騰飛， 黃 坤,2*， 郭榮鑫,2

(1.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院工程力學(xué)系， 昆明 650500; 2.云南省土木工程防災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 昆明 650500)

碳納米管在1991年被發(fā)現(xiàn)以來(lái)一直是研究熱點(diǎn)[1]，它作為一種新型的材料，具有很多優(yōu)秀的機(jī)械、化學(xué)、電學(xué)的性質(zhì)，在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-4]。利用其特殊的性質(zhì)可以制作很多性質(zhì)優(yōu)異的構(gòu)件，因此可望在復(fù)合材料、傳感器和納米電子等眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[5]。為了挖掘其巨大的應(yīng)用潛力，對(duì)碳納米管力學(xué)行為進(jìn)行充分的研究非常有必要。目前連續(xù)介質(zhì)力學(xué)法是研究碳納米管最為廣泛的方法，應(yīng)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)對(duì)其研究時(shí)，碳納米管可以作為連續(xù)梁和殼模型來(lái)考慮。Huang等[6]用非局部彈性理論和Bernoulli-Euler梁模型結(jié)合，研究了具有初始變形的單壁碳納米管的靜力和動(dòng)力學(xué)特性。Yoon等[7]基于彈性梁模型對(duì)碳納米管進(jìn)行研究，分析了彈性介質(zhì)中多層碳納米管的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)。

從幾何上看，碳納米管可視為石墨烯按照不同的方式卷曲而成，大量理論和實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)碳納米管管徑曲率減小到一定數(shù)值(納米管的管徑較大時(shí))，碳納米管的彈性模量等力學(xué)性能參數(shù)與石墨片層十分接近，因此碳納米管與石墨烯應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是一樣的, 近期的理論和實(shí)驗(yàn)表明，石墨烯的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的[8-10]。對(duì)于單層石墨烯片，Lee等[8]通過(guò)單軸實(shí)驗(yàn)拉伸得到了其二次非線性本構(gòu)關(guān)系，但目前對(duì)于此非線性本構(gòu)關(guān)系，仍未被研究人員應(yīng)用在碳納米管上。在碳納米管的研究中，碳納米管的初始變形一直是不可忽視的，它對(duì)碳納米管的力學(xué)行為有顯著的影響。為此，以石墨烯的非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為基礎(chǔ)，建立具有小初始變形的Bernoulli-Euler梁模型。并通過(guò)該模型研究單壁碳納米管受均布荷載作用下的靜力彎曲和受迫振動(dòng)行為，并分析了非線性本構(gòu)中非線性項(xiàng)和初始變形對(duì)碳納米管各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 單壁碳納米管的Bernoulli-Euler梁 理論

如圖1所示，兩端鉸支的碳納米管簡(jiǎn)化為連續(xù)梁模型，長(zhǎng)度為l，初始變形為w0，分布力為p(x,t)，其中t為時(shí)間，pz和px為外力，其方向分別為坐標(biāo)軸z和x方向。w為碳納米管z方向的位移。放在直角坐標(biāo)系內(nèi)。

p為p的向量式；i、k分別為坐標(biāo)軸x和z方向的單位向量圖1 單壁碳納米管模型Fig.1 Single-walled carbon nanotube model

碳納米管的二次非線性本構(gòu)為[8]

(1)

式(1)中：E為二階線彈性系數(shù)；σxx和εxx分別為軸向應(yīng)力和應(yīng)變；D為三階彈性系數(shù)，當(dāng)D=0時(shí)本構(gòu)式恢復(fù)為宏觀虎克定理表達(dá)式。

根據(jù)Bernoulli-Euler梁理論假設(shè)[11]，位移場(chǎng)的方程為

(2)

式(2)中：u1、u2、u3分別為沿x、y、z坐標(biāo)軸的位移；u、w分別為點(diǎn)(x,0)在中平面的軸向和橫向位移分量。理論中，橫向剪切應(yīng)變和橫向法應(yīng)變將被忽略。

對(duì)于兩端不可移動(dòng)的碳納米管梁，采用Von Karman位移應(yīng)變方程來(lái)表示x軸向應(yīng)變張量[11-12]為

(3)

由式(1)可以得到軸向力N和彎矩M的表達(dá)式為

(4)

(5)

式中：A為碳納米管的橫截面積。

將式(3)代入式(4)、式(5)得到軸向力和彎矩的表達(dá)式分別為

(6)

(7)

針對(duì)經(jīng)典的細(xì)長(zhǎng)梁，主要與軸向應(yīng)力有關(guān)，剪應(yīng)力的影響是次要的，因此可以不考慮剪力的影響，僅考慮軸向的應(yīng)力和應(yīng)變。由牛頓第二定律得Bernoulli-Euler梁理論的控制方程為[11-13]

(8)

(9)

式中：m為碳納米管質(zhì)量。

將式(6)、式(7)代入式(8)、式(9)得

(10)

(11)

令px=0且將式(10)中的高次項(xiàng)舍去，得縱向運(yùn)動(dòng)方程為

(12)

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，縱向慣性項(xiàng)可以忽略，因此縱向位移u主要是由橫向變形引起的，在這種情況下，可以從式(12)推出得

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：c1(t)、c2(t)為時(shí)間的函數(shù)，它們由u的邊界確定，對(duì)于兩端鉸支的梁，它的邊界條件是u(0)=u(l)=0，得

(17)

將式(11)中的高次項(xiàng)舍去，得

(18)

將式(13)～式(15)代入式(18)中得

(19)

將式(17)代入式(19)得

(20)

(21)

歸一化邊界條件為

(22)

由于方程(21)中含有積分項(xiàng)，無(wú)法通過(guò)求解得到精確的解析解，故，使用變分法求解方程的近似解。本文根據(jù)伽遼金法可以直接對(duì)原控制方程進(jìn)行積分求解這一特性。在滿足歸一化邊界條件下，假設(shè)一組基函數(shù)作為微分方程的近似解。

(23)

(24)

式(24)中：η為碳納米管的變形幅值。

式(24)可寫為

(25)

2 靜態(tài)彎曲分析

去掉式(25)的慣性項(xiàng)可得碳納米管的靜力學(xué)方程為

(26)

如圖2所示，當(dāng)碳管存在小初始變形時(shí)，初始變形與外激勵(lì)的方向一致時(shí)強(qiáng)化了系統(tǒng)的剛度，當(dāng)方向相反且受力小于一個(gè)臨界值時(shí)同樣強(qiáng)化了其剛度。但當(dāng)受力大于這一臨界值時(shí)弱化了系統(tǒng)的剛度，因此初始變形使靜力變形變得復(fù)雜。當(dāng)忽略小初始變形時(shí)，靜力學(xué)方程中的二次項(xiàng)消失，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)對(duì)碳納米管的靜力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生了顯著的影響，弱化了其剛度，隨著外激勵(lì)的增加，這種影響越加明顯。如圖3所示，當(dāng)存在非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)時(shí)，靜力彎曲變形隨著初始變形的增加而減小，強(qiáng)化了碳納米管的整體剛度。當(dāng)荷載和初始變形方向相反時(shí)，由于初始變形的存在使系統(tǒng)的變形變得復(fù)雜。

圖2 非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形對(duì)碳納米管 靜力彎曲的影響Fig.2 Effect of nonlinear terms of nonlinear constitutive or initial deformation on static bending of carbon nanotubes

3 一階受迫振動(dòng)

(27)

(28)

對(duì)于式(28)的解可以設(shè)為

(29)

因?yàn)橥饧?lì)是O(ε2)階的，O( )表示為同階無(wú)窮小，為保證一致，設(shè)ω-k1為O(ε2)階，有

ε2σ=ω-k1

(30)

式(30)中：σ為頻差；ω為頻率。

將式(29)、式(30)代入式(28)中，并令兩端的ε0、ε和ε2的系數(shù)分別相等，得

(31)

(32)

fcos(k1T0+σT2)

(33)

式(31)的通解可以寫為

(34)

(35)

式(35)中：cc表示其左邊各項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。

(36)

將式(34)和式(36)代入式(33)，得

cc+NST

(37)

式(37)中：f為外激勵(lì)；′表示關(guān)于T2的導(dǎo)數(shù)；NST表示比例于exp(±3ik1T0)的項(xiàng)，如果有

(38)

(39)

(40)

式中：

γ=σT2-β

(41)

將式(40)、式(41)中消去β得

(42)

所以到二次近似為止，得

(43)

令式(39)、式(42)中的D2α=D2γ=0，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

(44)

(45)

式(44)、式(45)的平方后求和得

(46)

設(shè)α≠0時(shí)，將式(46)整理為

(47)

對(duì)于(15,15)單壁碳納米管，參數(shù)與上例一致。目前，碳納米管的阻尼系數(shù)尚缺乏系統(tǒng)的研究。為簡(jiǎn)化討論，取2ε2c=0.05，其中,c=2.5，得ε=0.1。通過(guò)式(46)，令f=5得到對(duì)應(yīng)的頻響曲線如圖4、圖5所示。

如圖4所示，初始變形可以使碳納米管的力學(xué)性質(zhì)由硬非線性變?yōu)檐浄蔷€性，所以初始變形對(duì)碳納米管的力學(xué)性質(zhì)的影響很明顯。當(dāng)存在初始變形時(shí)，即為軟彈簧時(shí)，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)相比初始變形對(duì)其影響較小。當(dāng)不存在初始變形時(shí)，即為硬彈簧時(shí)，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)對(duì)其影響很大，在一定頻差范圍內(nèi)，起了剛度弱化的作用。如圖4、圖5所示，單一的分析一個(gè)變量可以得出，初始變形和非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)都能改變振幅的分岔點(diǎn)的位置，在分岔點(diǎn)處，碳納米管的振幅會(huì)伴隨參數(shù)的輕微變化而突然改變，這對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生了顯著影響。通過(guò)式(46)，并取定σ=5的數(shù)值，可得到對(duì)應(yīng)的激勵(lì)振幅響應(yīng)曲線，如圖6、圖7所示。

圖4 考慮非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形時(shí)的 頻響曲線Fig.4 The frequency response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖5 D=-2 TPa時(shí)不同初始變形對(duì)頻響曲線的影響Fig.5 The effect of different initial deformations on the frequency response curve for D=-2 TPa

如圖6所示，當(dāng)不存在初始變形時(shí)，振動(dòng)方程中的二次非線性項(xiàng)消失，兩條曲線都出現(xiàn)了分岔點(diǎn)，非線性本構(gòu)中的二次非線性項(xiàng)改變了分岔點(diǎn)的位置。當(dāng)存在初始變形時(shí)，在一定范圍外加荷載的作用下，兩條曲線是單調(diào)的，即二次非線性項(xiàng)使分岔點(diǎn)消失，顯著改變了碳納米管的力學(xué)行為。在這種情況下，非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)相比初始變形對(duì)結(jié)構(gòu)的影響較小。如圖7所示，當(dāng)同時(shí)考慮非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)和初始變形時(shí)，這兩種因素使碳管在一定范圍外激勵(lì)荷載作用下極大強(qiáng)化了系統(tǒng)剛度，顯著降低了振動(dòng)效應(yīng)。

圖6 考慮非線性本構(gòu)的非線性項(xiàng)或初始變形時(shí)的 響應(yīng)曲線Fig.6 The response curve when considering the nonlinear term of the nonlinear constitutive or initial deformation

圖7 D=-2 TPa時(shí)不同初始變形對(duì)響應(yīng)曲線的影響Fig.7 The effect of different initial deformations on the response curve for D=-2 TPa

4 結(jié)論

(1)在靜力彎曲中，初始變形誘發(fā)了二次非線性項(xiàng)使碳管靜力變形變得復(fù)雜。非線性本構(gòu)誘發(fā)的非線性項(xiàng)弱化了碳管的剛度。

(2)在受迫振動(dòng)中，初始變形和非線性本構(gòu)中的非線性項(xiàng)都能改變振幅的分岔點(diǎn)的位置。