有關(guān)直角雙曲線(xiàn)的一些性質(zhì)

王 慶， 周建偉

(1.蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州215104； 2.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 蘇州215006)

1 引 言

近來(lái)，作者用射影幾何的方法研究直角雙曲線(xiàn)，在《直角雙曲線(xiàn)內(nèi)接三角形的垂心問(wèn)題》一文中，證明了直角雙曲線(xiàn)也可以由它的內(nèi)接三角形的垂心生成[1].本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步給出一些直角雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，說(shuō)明它們可以用除了內(nèi)接三角形的垂心生成外的其它方法生成.討論的工具主要是射影幾何，可參看文獻(xiàn)[2-4]或其它高等幾何書(shū)籍.

2 主要結(jié)果與證明

用射影幾何方法研究即是把討論的對(duì)象看作拓廣平面上的問(wèn)題. 雙曲線(xiàn)上有兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，這兩點(diǎn)的切線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).雙曲線(xiàn)是直角雙曲線(xiàn)的條件是過(guò)這兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線(xiàn)互相垂直.下面討論的問(wèn)題有些來(lái)源于文獻(xiàn)[3].

證如圖1，設(shè)PA交AB的中垂線(xiàn)ξ于Q，φ1是線(xiàn)束A，B之間以ξ為軸的透視，φ1(AQ)=BQ； 設(shè)φ2是線(xiàn)束B(niǎo)以θ0為旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)，φ2(BQ)=BP.φ1，φ2都是射影映射，由Steiner定理，線(xiàn)束A到B的射影映射φ=φ2°φ1的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)的交點(diǎn)給出一條二次曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)過(guò)A，B.不難證明ξ與AB的交點(diǎn)O是此二次曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心.

圖1 圖2

性質(zhì)1給出的軌跡有兩條分別對(duì)應(yīng)于旋轉(zhuǎn)角θ0與-θ0，它們關(guān)于直線(xiàn)ξ對(duì)稱(chēng).

以AB為x軸，ξ為y軸，設(shè)A(-a，0)，B(a，0)，y軸上動(dòng)點(diǎn)Q(0，t)，則BQ方向是 (-a，t)，BP的方向由BQ旋轉(zhuǎn)-θ0得到，可算得BP的方向是(-acosθ0+tsinθ0，tcosθ0+asinθ0).直線(xiàn)AP，BP的方程分別是

消去t得直角雙曲線(xiàn)：x2-y2-2xycotθ0=a2.

由此性質(zhì)可得

下面的兩個(gè)性質(zhì)可以用Steiner定理討論，也可作為性質(zhì)1的特例.

性質(zhì)2設(shè)動(dòng)直線(xiàn)平行于圓內(nèi)接△ABC的邊AC，分別交AB與C處切線(xiàn)于P，Q，則X=BQ×CP的軌跡是一條直角雙曲線(xiàn).

性質(zhì)3設(shè)AB是圓的直徑，P是圓上動(dòng)點(diǎn)，Q在直線(xiàn)PB上使PA，QA與AB的夾角相等，則Q的軌跡是直角雙曲線(xiàn).

下面給出直角雙曲線(xiàn)的另一種生成方法.

性質(zhì)4在一族具有相同焦點(diǎn)的橢圓上，平行于定方向的切線(xiàn)上切點(diǎn)在直角雙曲線(xiàn)上.

證設(shè)定方向不平行也不垂直于焦點(diǎn)的連線(xiàn)，否則軌跡退化為直線(xiàn).設(shè)P∞是定方向給出的的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如圖3，對(duì)于一個(gè)以定點(diǎn)F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)平行于給定方向，即此切線(xiàn)過(guò)P∞. 過(guò)焦點(diǎn)F2作此切線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足是X，與F1P交于X′，則F2X′=2F2X.設(shè)Q∞是直線(xiàn)F2X上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，P∞，Q∞都是定點(diǎn)，過(guò)它們的直線(xiàn)垂直.在定直線(xiàn)F2Q∞上，XX′給出一個(gè)射影映射，F(xiàn)2，Q∞是此映射的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因此有下列射影映射，

圖3

P∞(P∞X，…)→F2Q∞(X，…)→F2Q∞(X′，…)→F1(F1X′，…).

首尾兩個(gè)映射是線(xiàn)束與直線(xiàn)間透視，它們合成射影映射φ∶P∞(P∞X，…)→F1(F1X′，…).易知，φ(P∞F1)≠P∞F1，φ不是透視.由Steiner定理，φ的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)交點(diǎn)是一條二次曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)過(guò)P∞與F1，F(xiàn)2(φ(P∞F2)=F1F2).由映射φ的構(gòu)造，不難知道，φ(P∞Q∞)=F1Q∞.因此曲線(xiàn)過(guò)P∞，Q∞是一條直角雙曲線(xiàn).

對(duì)于φ給出的曲線(xiàn)上一點(diǎn)P，確定一個(gè)以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)過(guò)P的橢圓.由橢圓焦點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)及φ的構(gòu)造，P∞P是此橢圓在P處的切線(xiàn).φ給出的曲線(xiàn)是所求軌跡.設(shè)F1(-a，0)，F(xiàn)2(a，0)，下面推導(dǎo)新曲線(xiàn)的方程.

設(shè)PX的方向是cost0∶sint0，它的垂直方向是-sint0∶cost0.設(shè)X(a+tcost0，-tsint0)是F2Q∞上點(diǎn)，則X′(a+2tcost0，-2tsint0)，于是

它們的交點(diǎn)是新曲線(xiàn)上點(diǎn).從前一式可得t=sint0(x-ycost0-a)，代入后一式得新曲線(xiàn)的方程

x2-y2-2xycos2t0-a2=0.

另法如圖3，設(shè)過(guò)P的切線(xiàn)與橢圓對(duì)稱(chēng)軸的夾角是θ0=π-t0，PX與PF1夾角是α.易知，∠PF1F2=α-θ0， ∠PF2F1=α+θ0，它們的差是2θ0.反之，由∠PF2F-∠PF1F2=2θ0確定的P是此題軌跡中點(diǎn)，因此可以用上面性質(zhì)1的方法討論.

證拋物線(xiàn)在拓廣平面上與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)相切，其對(duì)稱(chēng)軸(及所有的直徑)過(guò)這一切點(diǎn).取定一條性質(zhì)中拋物線(xiàn)，圖4畫(huà)出了無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為C∞，這族拋物線(xiàn)的直徑都過(guò)C∞.設(shè)P是拋物線(xiàn)上點(diǎn)，它的切線(xiàn)垂直于AB，P∞是此切線(xiàn)上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，C∞與P∞是相異兩定點(diǎn).設(shè)X=AP×BC∞，Y=BP×AC∞，對(duì)PPAC∞C∞B用 Pascal定理可得X，Y，P∞共線(xiàn).因此，直線(xiàn)BC∞，AC∞之間以P∞為中心的透視把X變成Y.因而線(xiàn)束A，B之間把AX變成BY的映射φ是射影映射.易知，φ(AB)=BP∞≠AB，φ不是透視.由Steiner定理，φ的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡是過(guò)A，B的二次曲線(xiàn).

圖4

另一方面，對(duì)于新曲線(xiàn)上的點(diǎn)P=AX×φ(AX)=AX×BY，過(guò)A，B，P與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)切于C∞確定一條拋物線(xiàn).對(duì)此拋物線(xiàn)的退化內(nèi)接六邊形C∞C∞BPPA用Pascal定理可知，PP∞是P處切線(xiàn)，它垂直于AB.這證明新曲線(xiàn)是所求軌跡.

從上面討論知道，由BC∞上點(diǎn)X可以作出新曲線(xiàn)上點(diǎn)P，下證新曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn).易知，AC∞在φ下的像是BC∞，因此C∞是新曲線(xiàn)上點(diǎn).設(shè)Q∞是AB上無(wú)窮遠(yuǎn)定點(diǎn)，如圖 5可以作出P∞，Q∞，C∞的第四調(diào)和點(diǎn)T∞，R(P∞Q∞，C∞T∞)=-1.設(shè)X′=AT∞×BC∞，Y′=AC∞×BT∞，由第四調(diào)和點(diǎn)的作法可得X′，Y′，P∞共線(xiàn).這說(shuō)明φ(AT∞)=BT∞，T∞也是新曲線(xiàn)上點(diǎn)，這說(shuō)明軌跡是雙曲線(xiàn).直線(xiàn)BC∞上點(diǎn)與雙曲線(xiàn)上點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)，圖5上X′，C∞對(duì)應(yīng)于雙曲線(xiàn)上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)T∞，C∞.

圖5 圖6

性質(zhì)6設(shè)A，B是直角雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，P是直角雙曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，則AP關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與BP的交點(diǎn)在一個(gè)圓上.

證設(shè)P∞，Q∞是直角雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上的無(wú)窮遠(yuǎn)定點(diǎn)，過(guò)P∞，Q∞的直線(xiàn)互相垂直.如圖7，設(shè)AP關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)與BP的交點(diǎn)是X.由Steiner定理，AXAPBP給出線(xiàn)束A，B間一個(gè)射影映射ψ∶AXBX，它的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)與無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)的交點(diǎn)給出無(wú)窮遠(yuǎn)直線(xiàn)上一個(gè)射影映射φ.易知，ψ(AP∞)=BQ∞，ψ(AQ∞)=BP∞，因此，φ交換點(diǎn)P∞與Q∞， 這說(shuō)明φ是一個(gè)對(duì)合.射影映射ψ把AA映射為BA，這里AA是A處切線(xiàn).這證明對(duì)合φ有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)給出的直線(xiàn)方向垂直，由[2] §4.4習(xí)題8，過(guò)對(duì)合φ的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，因此射影映射ψ的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)都垂直.

圖7

這證明線(xiàn)束A，B間射影映射ψ的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)BX與AX的交點(diǎn)X在一個(gè)圓上.由Steiner定理，A，B也在這個(gè)圓上，這是一個(gè)以AB為直徑的圓.

易知，XP給出了圓與直角雙曲線(xiàn)的一一對(duì)應(yīng)，圓與直角雙曲線(xiàn)虛軸的交點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)于直角雙曲線(xiàn)上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P∞，Q∞.

由 ∠PAB-∠PBA=∠AXB可知性質(zhì)6可以看作性質(zhì)1的一種特例.

下面的問(wèn)題都可以用射影幾何的方法解決，有興趣的讀者可以試試.

1. 設(shè)△ACB是銳角三角形，過(guò)邊AB上點(diǎn)X向CA，CB作垂線(xiàn)垂足是Q，P.試求△CPQ垂心的軌跡.

3. 設(shè)TP，TQ是圓錐曲線(xiàn)過(guò)P，Q的切線(xiàn)，一直線(xiàn)平行于TP交圓錐曲線(xiàn)于R，S，交TQ，PQ分別于L，D，則有LD2=LR·LS.

4. 設(shè)TP，TQ是圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)，過(guò)切點(diǎn)P，Q的垂線(xiàn)交對(duì)稱(chēng)軸分別于D，E，則∠PTD=∠QTE.

5. 設(shè)AB，CD是二次曲線(xiàn)的平行弦，弦AC，BD所對(duì)曲線(xiàn)上點(diǎn)P，Q處切線(xiàn)分別平行于AC，BD， 則PQ也平行于AB，CD.

6. 設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓，A與橢圓中心O的連線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)Q，BC與Q處切線(xiàn)交于P，PO交△ABC的另兩邊于E，S，則EO=OS.

把題中橢圓改為雙曲線(xiàn)，命題也成立.

7. 設(shè)△ABC與△A′B′C′內(nèi)接于橢圓(或雙曲線(xiàn))，點(diǎn)E=AB×A′C′，S=AC×A′B′的連線(xiàn)與BC的交點(diǎn)P在A′處切線(xiàn)上，證明

(i) 下面六條直線(xiàn)交于一點(diǎn)：

AA′，BB′，CC′，ES， (B′C′×AB)×(BC×A′B′)， (B′C′×AC)×(BC×A′C′) ；

(ii) 六點(diǎn)A′B×AB′，A′C×AC′，BC′×B′C，BC×B′C′，AB×A′B′，AC×A′C′ 共線(xiàn)；

(iii) 直線(xiàn)B′C′，ES與A處切線(xiàn)交于一點(diǎn).

8. 設(shè)圓內(nèi)接△ABC的角A的平分線(xiàn)交圓于另一點(diǎn)D，對(duì)圓上任一點(diǎn)P，X=BP×AD，Y=AC×PD，證明XY平行于BC.

3 結(jié) 論

本文在直角雙曲線(xiàn)可以由它的內(nèi)接三角形的垂心生成的基礎(chǔ)上，用射影幾何的方法，借助Pascal定理、Steiner 定理，進(jìn)一步給出一些直角雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，說(shuō)明它們可以用除了內(nèi)接三角形的垂心生成外的其它方法生成.最后給讀者列舉一些有趣的幾何問(wèn)題，其用射影幾何的方法比用平面幾何方法處理更自然、條理更清楚.

致謝審稿人對(duì)本文的文字、公式以及排版提出了寶貴的修改意見(jiàn)，特別是摘要的修改更能體現(xiàn)本文的結(jié)論，在此表示衷心感謝.