一道2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的多種推廣

萬安華

(中山大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州510275)

1 引 言

高等數(shù)學(xué)是高校本科非數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課.教師如何在課堂教學(xué)中傳授數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是值得深入研究的課題[1].在高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，選取富有啟發(fā)性的例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)难油?，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力[2]. 教師將每年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及時(shí)引入相關(guān)章節(jié)的課堂教學(xué)中，并且通過綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法將競(jìng)賽題進(jìn)行多角度的延拓，不僅加強(qiáng)了例題的新穎性，也極大地激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱忱.

2 分析與推廣

引言中這道競(jìng)賽題中出現(xiàn)了兩個(gè)底和指數(shù)互換位置的冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x). 對(duì)于一般的冪指函數(shù)u(x)v(x)(u(x)>0，u(x)不恒為1)，可將其轉(zhuǎn)化為u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，由此來理解和處理冪指函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 當(dāng)u(x)v(x)→1(在自變量x的某種變化趨勢(shì)下)時(shí)，運(yùn)用等價(jià)無窮小代換et-1～t(t→0)[3]， 可得

u(x)v(x)-1=ev(x)lnu(x)-1～v(x)lnu(x).

再進(jìn)一步地推廣為更加廣泛的情形

因此只需考慮最后一種推廣情形，前面的幾種情形均可作為其特例而導(dǎo)出.其次，擬對(duì)冪指函數(shù)[f(x)]g(x)和[g(x)]f(x)的底作推廣，可考慮一般的

綜上分析，可將第一種推廣思路和第二種推廣思路結(jié)合起來，直接考慮包括了上述兩種推廣方向的一般情形

最后，還將考慮一般情形的

這一類型包括了

為特例，而此特例又包括了

為其特殊情況.

下面展開對(duì)上述幾種推廣情形的具體分析，并導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)果.

2.1 對(duì)指數(shù)和底均作延拓后的一般情形

設(shè)f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

一方面

另一方面

因此

(1)

特例1設(shè)f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

(2)

注1 引言中的競(jìng)賽題即為特例1在Φ(x)=f(x)，Ψ(x)=g(x)時(shí)的特殊情況，由(2)式即得

(3)

特例2設(shè)f(x)，g(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

(4)

由特例2，可以得到下面的推論.

(5)

證由特例2，立即可得

因此

(6)

注2 作為(6)式的直接應(yīng)用，卻可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論，即對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ≠(lna)-1，有

進(jìn)一步地，還可以由特例2推出比推論1更為廣泛的如下結(jié)論成立.

推論2設(shè)f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，f(x)≠g(x)，且

4、整地改土：由于項(xiàng)目區(qū)為沙質(zhì)土，土壤有機(jī)質(zhì)含量低，需要對(duì)土地進(jìn)行全面整治，通過人工施肥、深耕等措施，提高土地生產(chǎn)力。

(7)

證在特例2中令φ(x)=[g(x)]s(x)，φ(x)=[f(x)]t(x)，則c=ad.由(4)式可得

因此

以下是推論2的幾個(gè)特例：

(iii) 推論2 中當(dāng)s(x)=fr(x)，t(x)=gr(x)(其中r是任意實(shí)數(shù))時(shí)，首先由(4)式可得

接下來，由(7)式，立即可以得到

(8)

推論3設(shè)f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，f(x)≠g(x)，且

(9)

由推論3，立即可以得到以下結(jié)果：

2.2 推廣到對(duì)數(shù)函數(shù)的一般情形

設(shè)f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)，φ(x)，φ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

一方面

另一方面

因此

(10)

由上面的(10)式，立即可以得到以下特例.

特例3設(shè)f(x)，g(x)，Φ(x)，Ψ(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

(11)

特例4設(shè)f(x)，g(x)在x=x0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對(duì)任意x∈U，

則

(12)

3 結(jié) 論

本文對(duì)最近第十二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽(非數(shù)學(xué)類)預(yù)賽中的一道試題從多個(gè)角度進(jìn)行了延拓與縱深推廣，拓展了教學(xué)內(nèi)容.在高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)匾肱c授課章節(jié)內(nèi)容貼合的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，豐富了數(shù)學(xué)課堂的例題庫.教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題進(jìn)行延伸性改編，不但激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱忱和積極參與競(jìng)賽的熱情，而且?guī)椭送瑢W(xué)們學(xué)會(huì)去發(fā)現(xiàn)新問題、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題，由此提升了創(chuàng)新思維與科研能力.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.