半正態(tài)分布參數(shù)的序貫概率比檢驗(yàn)

胡宏昌， 王 婧

(湖北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石435002)

1 引 言

序貫分析法是A.Wald在二戰(zhàn)期間為滿足軍火的質(zhì)檢工作而提出的，序貫概率比檢驗(yàn)是序貫分析的重要內(nèi)容之一，其成果豐富(參見文獻(xiàn)[1-4]).文獻(xiàn)[1]對(duì)序貫概率比檢驗(yàn)作了較系統(tǒng)地介紹，給出了在伯努利分布和正態(tài)分布的序貫概率比檢驗(yàn)，并且利用隨機(jī)游動(dòng)的性質(zhì)導(dǎo)出序貫概率比檢驗(yàn)(SPRT)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)；文獻(xiàn)[5-6]分別研究了指數(shù)分布和泊松分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗(yàn)，給出了相應(yīng)情形下序貫概率比檢驗(yàn)平均樣本容量計(jì)算公式，并進(jìn)行了隨機(jī)模擬.

正態(tài)分布是最重要而又非常常見的分布，由該分布可以產(chǎn)生半正態(tài)分布.關(guān)于半正態(tài)分布的研究成果雖然不能與正態(tài)分布相提并論，但還是存在一些(參見文獻(xiàn)[7-10])，其中文獻(xiàn)[9-10]給出了半正態(tài)分布的相關(guān)結(jié)論.然而，似乎沒有人研究半正態(tài)分布的序貫概率比檢驗(yàn)，本文將對(duì)此進(jìn)行初步探討，以便拓寬大學(xué)生在學(xué)習(xí)《概率論》和《數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)》的相關(guān)知識(shí)和視野.

2 半正態(tài)分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗(yàn)

先給出半正態(tài)分布的定義，然后用SPRT法研究半正態(tài)分布中參數(shù)的檢驗(yàn)問題.

定義[7]如果隨機(jī)變量X的概率密度為

其中參數(shù)θ>0，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為θ的半正態(tài)分布，簡記為X～HN(θ).

設(shè)X1，X2，…取自總體X～HN(θ)的一個(gè)樣本，其觀測值為x1，x2，….討論如下簡單的假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H1∶θ=θ1?H2∶θ=θ2(其中不妨設(shè)0<θ1<θ2).

為此，考慮似然比統(tǒng)計(jì)量

(1)

對(duì)于給定的兩個(gè)常數(shù)A，B(0

則當(dāng)λn≥B時(shí)，可得

(2)

當(dāng)λn≤A時(shí)，可得

(3)

于是由(2)，(3)式可得停止法則為

(4)

3 SPRT的一些性質(zhì)

性質(zhì)1令Zi=ln(f(Xi，θ2)/f(Xi，θ1))，則存在函數(shù)h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1.

由介值性定理容易證明下式成立

由此即可得到E(exp{hZ1})=1.

性質(zhì)2[1]若存在h=h(θ)≠0使得E(exp{hZ1})=1，則檢驗(yàn)的操作特性函數(shù)的近似公式為

性質(zhì)3平均樣本容量的近似計(jì)算公式如下：

證由于EX2=θ2， EX4=3θ4(參見文獻(xiàn)[7])，所以

(5)

(6)

(7)

這里Eθ1τ*， Eθ2τ*由下面四種情形確定：

(8)

(9)

其中

(10)

(11)

其中

4 模擬算例

下面舉出一例將SPRT法與Neyman-Pearson檢驗(yàn)法所需平均樣本容量進(jìn)行比較，說明前者優(yōu)于后者.

取θ1=1.0，θ2=1.2，在給定的檢驗(yàn)水平下SPRT法所需要的平均樣本容量的近似值見表1、表2及表3.

表1 Eθ1τ*的近似值

表2 Eθ2τ*的近似值

表3 Eτ*的近似值

為了說明SPRT法的優(yōu)越性，將其平均樣本容量(見表3)與使用Neyman-Pearson檢驗(yàn)法時(shí)所需要的平均樣本容量n(見下表4)相比較(見表5).為此，先給出n的表達(dá)式.

表4 N-P檢驗(yàn)法下的最優(yōu)樣本容量

表5 SPRT平均樣本量與N-P檢驗(yàn)法的最優(yōu)樣本容量之比

由中心極限定理得

從而經(jīng)計(jì)算可得

其中uα，u1-β為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù).

由表5可知，在半正態(tài)分布中，SPRT所得平均樣本量相對(duì)于N-P檢驗(yàn)法最優(yōu)樣本量的占比最少約為36.28%，最多約為46.93%，占比均在35%-50%之間.序貫概率比檢驗(yàn)中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優(yōu)檢驗(yàn)所得的樣本量還要少得多，由此可顯現(xiàn)序貫概率比檢驗(yàn)高效的特點(diǎn).

5 結(jié) 論

本文考慮了半正態(tài)分布中參數(shù)的序貫概率比檢驗(yàn)，主要得到了檢驗(yàn)的停止法則、操作特性函數(shù)和平均樣本容量，并用模擬算例說明了序貫概率比檢驗(yàn)中所得的平均樣本容量要比固定樣本容量的最優(yōu)檢驗(yàn)所得的樣本量還要少得多.這些內(nèi)容將在正態(tài)分布和假設(shè)檢驗(yàn)的教學(xué)中具有指導(dǎo)作用，拓寬高校大學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)和視野.

致謝本文在參考了陳家鼎教授等十篇文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上完成，采納了審稿專家的寶貴修改意見.為此，對(duì)相關(guān)作者及審稿人表示衷心的感謝！