以“不變”應(yīng)“萬變”,尋找?guī)缀巫儞Q的著力點(diǎn)
——以“2020年嘉興中考題”為例

廣東省中山市東區(qū)松苑中學(xué)(528400) 張青

“平移、翻折、旋轉(zhuǎn)”是初中三大重要的幾何變換,學(xué)生面對“復(fù)雜的圖形”和“變換的過程”經(jīng)?！巴贰?殊不知在變換過程中只是圖形位置變了,隱藏了很多“不變”的知識(shí),學(xué)生需要認(rèn)真領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法,以不變應(yīng)萬變,本文以2020年浙江嘉興和舟山中考第23 題為例,探討初中“平移翻折旋轉(zhuǎn)”相關(guān)教學(xué)內(nèi)容.

1 試題呈現(xiàn)

在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中,小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起,使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合,點(diǎn)C與點(diǎn)D重合(如圖1),其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并進(jìn)行如下研究活動(dòng).

活動(dòng)一:將圖1 中的紙片DEF沿AC方向平移,連接AE,BD(如圖2),當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移.

圖1

圖2

【思考】圖2 中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎?請說明理由.

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí),小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形(如圖3),求AF的長.

圖3

活動(dòng)二:在圖3 中,取AD的中點(diǎn)O,再將紙片DFF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度(0 ≤α≤90),連接OB,OE(如圖4)

圖4

【探究】當(dāng)EF平分∠AEO時(shí),探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

2 解法探究

思考:利用平移的性質(zhì)不難得到AB與ED平行且相等,得出四邊形ABDE是平行四邊形.

發(fā)現(xiàn)(簡解):法1:利用勾股定理解答,設(shè)AF=xcm,則AD=(4+x)cm.在RtΔAFE中,AE2=AF2+EF2,因?yàn)榫匦蜛BDE,在RtΔAED中,AE2=AD2-EF2,即x2+9=(4+x)2-52,解得.

法 2:利用三角形相似解答(如圖 5),在RtΔAFE和RtΔEFD中,利用∠FAE+∠FEA=90°,∠FAE+∠FDE=90°得出∠FEA=∠FDE,得出RtΔAFE∽R(shí)tΔEFD,得出,即,得出結(jié)果.

圖5

法3:利用三角函數(shù)知識(shí)解答,方法2 得出∠FEA=∠FDE,在 RtΔAFE和 RtΔEFD中,tan ∠FEA=tan ∠FDE,得出結(jié)果.

法4:利用“等面積法”求解,S矩形=2SΔABD=AB·AE,即得出

法5:利用矩形的性質(zhì)解答,連接BE交AD于點(diǎn)O(如圖6),則BO=AO,即BO2=AO2,在RtΔBCO中,即32+解得.

圖6

探究:當(dāng)EF平分∠AEO時(shí),.

法1:延長OF交AE于點(diǎn)G(如圖7),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)不難得到∠1=∠2=∠3=∠4,OA=OB=OD=OE,推出∠OBD=∠ODE,∠OAE=∠OEA,由四邊形ABDE的內(nèi)角和為360°得出∠BAE+∠DBA=180°,推出AE//BD,得到∠OGE=∠ODB,根據(jù)EF平分∠AEO和直角,利用“ASA”可以得到ΔEFO∽=ΔEFG,得出∠OGE=∠GOE=∠OBD=∠ODB,利用“AAS”可以證明ΔEOG∽=ΔOBD得出.

圖7

法2:在證明AE//BD,還可以利用OA=OB=OD=OE,推出點(diǎn)A、B、D、E四點(diǎn)共圓(如圖8),由“圓內(nèi)角四邊形對角互補(bǔ)”可以得出∠BAE+∠BDE=180°,∠BAE=∠1+∠CAE=∠4+∠AEO=∠DEA,得出∠DEA+∠BDE=180°,推出AE//BD.下面證法與方法1 相同.

圖8

3 特色解讀

3.1 以“活動(dòng)”為載體,尊重知識(shí)發(fā)展規(guī)律

本題從活動(dòng)1 開始將紙片DEF沿AC方向平移,根據(jù)平移的性質(zhì),在平移的過程中得到一些“不變量”,學(xué)生思考后不難判定四邊形ABDE是平行四邊形,當(dāng)平移到某一位置時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形,相對于思考環(huán)節(jié)來說,這里涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)較多,學(xué)生要擅于捕捉“三角形全等”這個(gè)不變量和從“矩形的性質(zhì)出發(fā)”,利用思考中的結(jié)論“四邊形ABDE是平行四邊形”可以順利求出AF的長度,接下來通過活動(dòng)2 將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到某一位置即“EF平分∠AEO”時(shí),.本題設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)從“平移”到“旋轉(zhuǎn)”這個(gè)過程中,順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展,設(shè)計(jì)問題“由淺入深”,尊重知識(shí)發(fā)展規(guī)律,促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

3.2 以“人”為本,關(guān)注核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

本題設(shè)計(jì)思路清晰,學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中,經(jīng)歷從“平移”到“旋轉(zhuǎn)”的過程,建立自己的模型,培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象的能力,把數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,在尋求條件和解答問題的過程中,把數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題時(shí),培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力,在利用勾股定理等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)求線段長度時(shí),提高了學(xué)生的運(yùn)算能力,本題關(guān)注了學(xué)生的發(fā)展,落實(shí)了核心素養(yǎng)的培養(yǎng),既有知識(shí)的廣度,在發(fā)現(xiàn)這個(gè)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了思維的深度,凸顯了人的教育本質(zhì).

3.3 以“不變”為主旋律,暢想解題的“多變”

本題涉及的幾何變換有平移和旋轉(zhuǎn),雖然圖形的位置發(fā)生了變化,但是在平移和旋轉(zhuǎn)的過程中兩個(gè)直角三角形紙片ABC和DEF始終全等,學(xué)生抓住“全等三角形的對應(yīng)邊相等和對應(yīng)角相等”這個(gè)性質(zhì),揭示問題本質(zhì),突破解題難點(diǎn),尋求解題方法,以“靜”制“動(dòng)”,以“不變”為主旋律,在變換過程中找到切入口,在本題中發(fā)現(xiàn)的這個(gè)環(huán)節(jié),抓住“矩形的對角線互相平分”和“三角形的對應(yīng)角相等”尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系,通過“等量代換”的數(shù)學(xué)思想,達(dá)到解決問題的目的.

3.4 以一“題”多解,適應(yīng)各類學(xué)生的發(fā)展需求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)指出:“數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)要使每位學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[1].本題的考察的知識(shí)有:平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、平分線的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定、四邊形的性質(zhì)等等,涉及的知識(shí)較多,學(xué)生在解答過程中可以從不同的角度去思考,利用相關(guān)知識(shí)順利解答本題,根據(jù)不同的思維品質(zhì)采取不同的方法,涉及到的數(shù)學(xué)方法有:解析法、面積法、輔助線法、轉(zhuǎn)化法、等量代換等等,學(xué)生可以根據(jù)自己的基礎(chǔ)去選擇適合自己的數(shù)學(xué)方法,找出關(guān)鍵點(diǎn),達(dá)到解決問題的目的,不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展.

4 教學(xué)建議

4.1 構(gòu)建有效“問題鏈”,助推課堂深度教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟,問題也是思維的導(dǎo)火線,有效的問題和教師的有效提問有利于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握,可以引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度發(fā)展,教師在組織教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)“問題鏈”,通過“問題鏈”的形式組織教學(xué),上面涉及到的中考題就是以“思考—發(fā)現(xiàn)—探索”為線索,通過“平移—旋轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)活動(dòng),從“三角形—平行四邊形—矩形”中層層遞進(jìn)設(shè)置問題,通過“四邊形ABDE是平行四邊形嗎?”引發(fā)學(xué)生思考,進(jìn)而利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)求線段的長度,進(jìn)而推測兩線段之間的數(shù)量關(guān)系,引起學(xué)生深度思考,教師在課堂教學(xué)過程中通過設(shè)置“層層深入”、“環(huán)環(huán)相扣”的問題引發(fā)學(xué)生深度思考,設(shè)置變式問題,發(fā)展學(xué)生對知識(shí)遷移能力,有效構(gòu)建“問題鏈”,促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

4.2 開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),感受幾何變換中的“不變”

《課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出:“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中,必須通過學(xué)生主動(dòng)的活動(dòng),感受做數(shù)學(xué)的過程,實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造的樂趣,從而讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)真正走進(jìn)課堂[1].”教師在開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí),有利于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,以往學(xué)生對于變換的圖形只是從表面上去理解,沒有真正感受幾何變換過程,教師在課堂教學(xué)過程中,可以開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),選擇一些易于學(xué)生操作的教具,通過“移一移”、“折一折”、“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生在參與實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等操作過程中,感受幾何變換中的“不變”,例如在折紙過程中體驗(yàn)?zāi)男┙窍嗟?哪些邊相等,在體驗(yàn)的過程中探索數(shù)學(xué)的本質(zhì),在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作過程中,發(fā)展學(xué)生的合情推理與演繹推理能力,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.3 滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓核心素養(yǎng)落地生根

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在問題解決中指出:“經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程,體驗(yàn)解決問題方法的多樣性,掌握分析問題和解決問題的一些基本方法[1].”數(shù)學(xué)思想方法是引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方向,是學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的基本橋梁,教師在實(shí)施課堂教學(xué)過程中,注重學(xué)生參與分析問題和解決問題的過程,總結(jié)不同的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展邏輯推理和演繹推理的能力,通過“數(shù)學(xué)活動(dòng)”等環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,真正讓核心素養(yǎng)落地生根,以數(shù)學(xué)思想方法為枝節(jié),促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.