中考專題復習助力發(fā)展學生的數學思維

廣東省廣州市鐵一中學(510000) 項娜

1 前言

G·波利亞在《怎樣解題》中指出:解題的價值不是答案的本身,而在于弄清“是怎樣想到這個解法的?”,“是什么促使你這樣想的?”也就是說,解題過程的本質是一個思維過程,是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程.怎樣解題的精髓在于啟發(fā)學生聯想,并創(chuàng)設以下這些問題去引導學生思考—你以前見過同樣的題目以一種稍不同的形式出現嗎?你知道一道與它有關的題目?你知道一條可能有用的定理嗎?這里有一道和你的題目有關而且以前解過,你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?…[1]專題復習可以幫助學生建立完善的知識體系,益于啟發(fā)學生聯想.筆者以專題“動態(tài)幾中PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值”教學設計為例,按波利亞提出的這些問題去設計,去啟發(fā)學生聯想,在解題的過程中,必將使學生的思維受到良好的訓練,久而久之,不僅提高了解題能力,而且養(yǎng)成了有益的思維習慣,進而發(fā)展了學生的數學思維.

2 “動態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值”專題復習教學設計

2.1 教學內容與內容解析

(1)教學內容:中考數學專題—動態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值問題,其中A,B是定點,動點P在某條定直線上運動.

(2)內容解析:從近幾年的中考來看,線段和的最小值問題經常出現在各省市的中考題中,問題常以二次函數、反比例函數、平行四邊形、圓等圖形為背景,讓學生求兩條線段和的最小值、三條線段和(三角形周長)的最小值、四條線段和(四邊形周長)的最小值等,其中以二次函數、正方形、矩形、菱形等圖形為背景,求PA+k·PB(k ＞0)型的線段和的最小值問題是近幾年中考考查的熱點,也是難點.

2.1 教學目標和目標解析

2.1.1 教學目標

(1)引導學生經歷觀察、構造、歸納、論證等過程,積極參與求解PA+k·PB(0＜k ＜1)型的線段和最小值,體會k倍線段的轉化在求線段和最值問題中的關鍵作用,感悟轉化思想;

(2)進一步感受數學的整體性,知識的系統(tǒng)性,感悟啟發(fā)性思維.

2.1.2 目標解析

達成目標的標志是:會靈活構造直角三角形,將k·PB成功轉化,能說出如何將PA+k·PB(0＜k ＜1)線段和的最小值問題成功轉化為“兩點之間,線段最短”問題的過程;能通過邏輯推理論證所求線段長確為最小值.

2.3 教學疑難診斷分析

經歷學習新人教版八上“13.4 最短路徑問題”及初三第一輪基礎知識復習,學生對“當定點A,B分布在直線l的同側時,在直線l上找一點P,使PA+PB和最小值問題已有了清楚地認知.如何將PA+k·PB(0＜k ＜1)線段和的最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”的問題過程中,對如何作輔助線構造直角三角形,轉化k·PB,該作哪個點關于哪條直線對稱等問題,學生在理解和實踐上存在著許多困難.

2.4 教學重難點

本節(jié)課的重點是經歷并理解將PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題;

本節(jié)課的難點是添加輔助線,靈活構造直角三角形,轉化k倍線段.

2.5 教法與學法

本節(jié)課以問題串為驅動,采用探究式、啟發(fā)式、討論法等教學方法;學生自主探究、合作討論、分享交流.

2.6 教學設計

活動一:熱身訓練、回顧舊知

問題1.如圖a,等邊ΔABC中,AD,BE分別是邊BC和邊AC上的中線,點P為AD上一動點,則PE+PC的最小值等于( )

圖a

A.線段AB的長 B.線段BC的長

C.線段AD的長 D.線段BE的長

問題2.如圖b,在ΔABC中,AB=AC,BC=4,ΔABC的面積是16,AC邊的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于點E,F.若點D為BC邊的中點,點M為線段EF上一動點,則MC+MD的最小值為( )

圖b

A.4 B.5 C.10 D.8

【師生活動】學生獨立思考完成問題1,2,遇到困難可以舉手向老師提問.教師引導性提問:關注問題1,2 所求,熟悉嗎?會讓你聯想到哪一塊學過的知識?運用哪一條可能有用的定理?請學生回答,并讓學生闡述為什么選這個答案.

【設計意圖】通過問題1,2 讓學生回顧知識“兩點之間,線段最短”,利用軸對稱,把定直線同側兩定點轉化為異側兩點,進而利用“兩點之間,線段最短”解決兩條線段和最小值問題.順勢引入本節(jié)課的教學內容,為接下來未知問題轉化為已知數學問題作好知識和方法上的鋪墊.

活動二:真題體驗,方法遷移

圖d

變式1(問題1 進行變式).如圖c,在邊長為4 的等邊ΔABC中,AD是邊BC上的中線,點P為AD上一動點,則的最小值等于____

圖c

【師生活動】學生先獨立思考,教師啟發(fā)性提問:與問題1 相比,變式1 難在哪?能不能想辦法將轉化成圖中某條隱形的線段?能否直接在圖中找到這條線段?找不到,能否想辦法構造出這條線段?會讓你聯想到哪些我們學過的可能用得上的定理?如何將的最小值轉化成與問題1 類似的兩線段和最小值問題,進而利用“兩點之間,線段最短”求解?可以詳細闡述你的思考過程嗎?再小組合作交流,探討結果,選小組代表上臺分享.還有其他想法嗎?你能提出新的問題嗎?你能從條件出發(fā),或者從問題出發(fā),將這道題繼續(xù)變式嗎?再留足時間組織學生進行組內探討;最后和學生一起歸納變式1 的解法,步驟,思路;通過引申變式1,啟發(fā)學生反思問題的切入口,突破點,關鍵處等,進而慢慢感悟通性通法,建立知識模型,提煉通法.

問題3.(2017年廣州市中考,第24 題)如圖e,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,ΔCOD關于CD的對稱圖形為ΔCED.

圖e

(2)連接AE,若.

①求sin ∠EAD的值;

②若點P為線段AE上一動點(不與點A重合),連接OP,一動點Q從點O出發(fā),以1cm/s 的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以1.5cm/s 的速度沿線段PA勻速運動到點A,到達點A后停止運動.當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時,求AP的長和點Q走完全程所需的時間.

圖f

【師生活動】針對問題3可直接告知學生第(2)問①的結果,讓學生獨立思考完成②,巡視學生的完成情況,適時指導學困生,當學生基本做完后,指導學習小組進行討論交流;然后請小組代表闡述其思考過程,及時追問為什么這樣思考?教師適當點撥并與學生一起提煉一般性的解題思路;最后教師啟發(fā)性追問:

當k ＞1 時,又該如何去找角,進而轉化k倍線段長?

【設計意圖】設計從特殊到一般,先探究當k=1,時,求PA+k·PB的最小值,方法:構造以PA為斜邊含特殊角度30°,45°,60°的直角三角形,轉化k·PA,再探究骨干題中所涉及的一般情形.讓學生體驗數學的學習由淺入深,層層遞進;

由變式1 到引申變式1,再到骨干題(廣州市2017年中考第24 題),注重學生學習方法遷移能力的培養(yǎng),教師啟發(fā)式問題的設計,構建知識模型助力發(fā)展學生的數學思維,讓學生深刻體會到數學知識的系統(tǒng)性,嚴謹性,進而達到“講一題、懂一串、會一類、通一片”的良好局面.

活動三:知識再探、思維拓展

問題4.如圖,拋物線y=x2-2mx+3m與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3)

(1)求該拋物線的解析式;

(2)點D為該拋物線上的一點、且在第二象限內,連接AC,若∠DAB=∠ACO,求點D的坐標;

(3)若點E為線段OC上一動點,試求的最小值.

【設計意圖】培養(yǎng)學生的學習遷移能力、聯想能力,發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力,滲透轉化思想.

活動四:師生互動、反思總結

問題5.議一議

通過上述問題的處理,說說處理動態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值問題可以按哪些步驟進行?是否能歸納通法解決此類型題?過程涉及到哪些數學思想方法?

【歸納總結】①解決動態(tài)幾何中PA+k·PB(k ＞0)型的線段和最小值問題步驟:

尋找滿足sinθ=k的θ構造以PB為斜邊包含θ的直角三角形轉化k·PB=PQ求(PA+PQ)的最小值(A,Q兩點之間,線段最短)(PA+k·PB)(0＜k ＜1)最小值=(PA+PQ)的最小值.

若k ＞1,轉化

②解決方法:幾何法(三角函數、相似、勾股定理等知識求出線段最小值);

③涉及的數學思想方面:從特殊到一般、演繹、歸納、數形結合、轉化等.

【設計意圖】總結歸納此類型題的解法,把此類題進行模塊整合,使學生從整體眼光看待本節(jié)專題內容,增長學生的解題能力和加強學生的解題思維,培養(yǎng)學生歸納總結的能力.

活動五:引申鞏固、課后作業(yè)

問題6.(必做)如圖g,ΔABC在直角坐標系中,D為射線AO上一點,一動點P從點A出發(fā),運動路徑為A →D →C,點P在AD上的運動速度是在CD上的3 倍,已知點P在CD上的運動速度是3cm/s,則點P運動的最少時間是多少?

圖g

圖h

(1)若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式;

(2)在(1)的條件下,設F為線段BD上一點(不含端點),連接AF,一動點M從點A出發(fā),沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到點F,再沿線段FD以每秒2 個單位的速度運動到點D后停止,當點F的坐標是多少時,點M在整個運動過程中用時最少?

【設計意圖】作業(yè)分為必做題和選做題兩部分,必做題用于鞏固本節(jié)課所學知識、方法、技能,選做題用于學有余力的學生課后研究,有利于開拓學生的數學思維,激發(fā)學生的學習興趣,培養(yǎng)學生應用意識,也體現了分層教學要求.

3 中考專題教學思考

3.1 中考專題復習內容設計思考

3.1.1 內容基于教材,高于教材

認真閱讀中考考綱,解讀中考考點,分析近幾年中考考題,不難發(fā)現大部分的試題都可以在教材當中找到原型,或是教材上的一道例題、習題直接引用,或是對教材幾道習題進行變式,然后再加工整合,使之具有更強的綜合性,包含更多的知識點,更加考驗學生對數學綜合知識的靈活應用能力.可以說大多數的中考題都基于教材但又高于教材,活于教材.因此,在中考專題復習內容設計時,教師需要對教材進行提煉、升華,貫徹一題多解,一題多變,多題一法的原則.本節(jié)課的內容設計構思源于新人教版八上“13.4 最短路徑問題”的提煉、升華,但兩者最終都可化歸為“兩點之間,線段最短”問題,方法歸一助力發(fā)展學生的數學思維,提高學生靈活運用知識的能力[3].

3.1.2 用數學整體觀整合教學內容

新課程標準指出,數學教學,重點在于知識的“延伸點”以及“生長點”.數學是一個整體,思維是一個系統(tǒng),專題教學應注重整體性設計,提升學生的系統(tǒng)思維水平.因此,在中考專題復習內容設計時,教師需將知識放在整體知識體系之中,幫助學生整合知識體系,理清部分與整體知識之間的關系,引導學生對數學具備的整體性進行感受.為了讓學生的知識掌握和知識體系構建更加具有邏輯性、整體性,教師還應當注重強化知識間的縱向聯系,聯想已學知識點,在獲取新知和新方法的同時,還可以實現學生對原有知識理解的升華和綜合運用能力的提高.本節(jié)課在學習“PA+k·PB(k ＞0)型線段和最小值問題”的過程中,基礎知識點為:“兩點之間,線段最短”,對復習內容予以明確的過程中,在素材選擇、問題設計以及編排方面,均需要以此知識點為基礎,凸顯知識的發(fā)生、發(fā)展路徑,使學生的思維得到自然生長[3].

3.2 中考專題復習教學反思

3.2.1 以思維分享為核心,引導學生形成問題鏈

在專題教學過程中,我們借助如圖1-圖3所示的思維導圖,重點引導學生經歷理性思考的過程.以本節(jié)課為例:

圖2

圖3

培養(yǎng)學生的思維能力,教師要立足于具體問題的引導與分析,讓學生體會探討問題的自然生成過程.本節(jié)課中教師通過提出問題“你是怎樣思考的”,實事求是地呈現學生的思考過程,通過問題“為什么這樣思考”引導學生理性分析,歸納通性通法,通過問題“還有其他的方法嗎”引導學生求變創(chuàng)新,進而發(fā)展學生的數學思維能力[2].

3.2.2 提煉規(guī)律,構建知識模型

在進行完一道具有代表性的經典例題品析之后,教師需要引導學生對同類型的問題進行適當小結,以思維導圖形式展示解題步驟的分析與解題方法的提煉,帶領學生一起構建知識模型.本節(jié)課以思維導圖形式展示了變式1 的解題步驟流程與解題方法.孔凡哲教授曾說:“從某種意義上說,解決問題就是一種模型化的過程”.

3.2.3 反思解題經歷,總結通性通法

數學教育家弗賴登塔爾指出,反思是數學思維活動的核心與動力.所以,在進行完一個專題的復習教學之后,教師需要引導學生反思問題涉及的知識考點、問題的結構特征、條件與結論的關系,整合知識模塊,總結通性通法,這樣有利于學生發(fā)現各種類似問題之間的聯系和差別,使學生熟練掌握與此類型題相關的一系列問題,能夠以一道題為載體解決多個或多類數學問題,從而達到“講一題、懂一串、會一類、通一片”的良好局面,助力發(fā)展學生的數學思維[3].

總之,合理設計中考專題教學,能使學生高效地復習數學知識,自主發(fā)現數學知識間的內在聯系,加深對相關數學知識的縱向理解,助力幫助學生構建知識的內在體系,發(fā)展學生的數學整體觀.