關(guān)注網(wǎng)格價(jià)值，知識(shí)融合解題

費(fèi)雅莉

[摘? 要] 幾何網(wǎng)格是特殊圖形的對(duì)稱排布，其中隱含了幾何特性，以網(wǎng)格為背景開展知識(shí)探究，更具直觀性、可操作性. 借助網(wǎng)格構(gòu)建的幾何問(wèn)題在中考中十分常見，其解析思路較為特殊，文章將深入剖析問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例探究解題方法，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 網(wǎng)格;幾何;坐標(biāo)系;三角函數(shù);面積;作圖

問(wèn)題剖析

利用網(wǎng)格中的格點(diǎn)特點(diǎn)進(jìn)行幾何知識(shí)考查，具有極強(qiáng)的創(chuàng)新性，又能全面考查學(xué)生的知識(shí)水平和數(shù)學(xué)思維，這與新課程中考理念相吻合. 2020年的中考試題中出現(xiàn)了眾多優(yōu)秀的網(wǎng)格類考題，涉及三角形特性、求三角函數(shù)、作圖操作、解析圖形面積等. 網(wǎng)格具有特殊圖形的特性，如正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)相等、直角性質(zhì)等. 利用網(wǎng)格開展知識(shí)探究，具有較好的操作性，可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與空間觀念、思想方法的融合，探究過(guò)程要關(guān)注問(wèn)題的考查重點(diǎn)，立足網(wǎng)格特性，合理構(gòu)建模型.

典例探究

中考以正方形網(wǎng)格最為常見，利用網(wǎng)格及其頂點(diǎn)可以形成常見矩形、平行四邊形、三角形等特殊圖形. 由于網(wǎng)格之間的全等關(guān)系，探究過(guò)程中可充分利用網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，下面以網(wǎng)格常見的四類問(wèn)題為例，探究解題策略.

問(wèn)題1：網(wǎng)格建系求坐標(biāo)

利用網(wǎng)格可以較為簡(jiǎn)潔地構(gòu)建直角坐標(biāo)系，結(jié)合網(wǎng)格特性可快速確定點(diǎn)坐標(biāo)，而考查的難點(diǎn)集中在特殊點(diǎn)的位置確定上，往往需要結(jié)合幾何性質(zhì)推導(dǎo)線段長(zhǎng)，或構(gòu)建直線函數(shù)聯(lián)立方程求解.

例1：（2020年江蘇泰州市中考卷第15題）如圖1所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成，點(diǎn)A，B，C在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（3，6），（-3，3），（7，-2），則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為______.

分析：本題目求△ABC的內(nèi)心坐標(biāo)，給出了A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題解析需要分三步進(jìn)行. 第一步，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行建系，確定原點(diǎn)O;第二步，理解三角形內(nèi)心的作法，確定內(nèi)心的大致位置;第三步，結(jié)合幾何特性進(jìn)行線段長(zhǎng)推導(dǎo)，確定內(nèi)心的坐標(biāo).

解：根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可確定原點(diǎn)位置，構(gòu)建坐標(biāo)系，如圖2所示，三角形內(nèi)心是到三邊距離相等的點(diǎn)，可作兩個(gè)角平分線來(lái)確定，點(diǎn)M就為三角形內(nèi)心的大致位置，即（2，3）. 而在解析時(shí)則可以利用幾何知識(shí)求線段推得結(jié)果，具體如下.

根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)可確定∠BAC=90°，利用點(diǎn)B和C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=- x+ ，設(shè)直線BC與x軸的交點(diǎn)為G，可確定G（3，0）. 設(shè)點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，可在BD上找一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AC，且ME=MF=r，則四邊形MEAF為正方形. 由等面積法可得S = AB×AC= AB×r+ AC×r+ BC×r，可解得r= ，即AE=EM= ，所以BE=2 ，BM= =5，可確定點(diǎn)M（2，3）.

解題點(diǎn)撥：利用網(wǎng)格可直接建立直角坐標(biāo)系，求其中的特殊點(diǎn)可從以下視角切入，一是直接利用網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖，確定點(diǎn)坐標(biāo);二是從函數(shù)視角，聯(lián)立直線方程，通過(guò)求交點(diǎn)來(lái)確定. 前者的直觀性強(qiáng)，后者方法的解析論證更為嚴(yán)謹(jǐn)，具體解題時(shí)可配合使用.

問(wèn)題2：網(wǎng)格轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)

三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的特殊模塊，初中階段需要借助直角三角形來(lái)求三角函數(shù)值. 以網(wǎng)格為背景的三角函數(shù)問(wèn)題，可借助網(wǎng)格特性直接構(gòu)建直角三角形，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的幾何轉(zhuǎn)化.

例2：（2020年江蘇揚(yáng)州市中考卷第7題）如圖3，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則sin∠ADC的值為（？搖？搖? ? ）.

A.? ? ?B.

C.? ? ? D.

分析：本題目以網(wǎng)格為背景，并結(jié)合了圓，求sin∠ADC的值可充分利用圓的特性. 首先由圓周角定理可知∠ABC=∠ADC，然后在Rt△ABC中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求∠ABC的正弦值.

解：由于∠ABC和∠ADC所對(duì)的弧長(zhǎng)均為 ，根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=∠ADC. 在Rt△ABC中，已知AC=2，BC=3，由勾股定理可得AB= = ，所以sin∠ABC= = ，即sin∠ADC的值為 ，答案為A.

解題點(diǎn)撥：上述利用圓周角定理進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，通常在網(wǎng)格中求三角函數(shù)值有兩點(diǎn)需要關(guān)注：一是利用網(wǎng)格特性進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，二是利用網(wǎng)格的邊長(zhǎng)特性來(lái)推斷線段長(zhǎng)，借助直角三角形的邊長(zhǎng)比例關(guān)系求三角函數(shù)值.

問(wèn)題3：網(wǎng)格中的圖形面積

網(wǎng)格的圖形均為全等關(guān)系，故其面積是相等的且可直接確定. 利用網(wǎng)格探究圖形面積，解題的關(guān)鍵是進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化，可采用面積割補(bǔ)法，也可借助面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例3：（2020年北京市中考卷第15題）如圖4所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格交點(diǎn)，則△ABC的面積與△ABD的面積的大小關(guān)系為： ______ （填“>”“=”或“<”）.

分析：本題目分析△ABC和△ABD的面積的大小關(guān)系，其中△ABC較為規(guī)整，故可直接利用面積公式求出. 而△ABD的形狀較為一般，可采用面積割補(bǔ)的方法求得.

解：設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長(zhǎng)為1，由網(wǎng)格可知AC=4，點(diǎn)B到AC的距離為2，則S = ×4×2=4. 采用面積割補(bǔ)法求△ABD的面積，方案如圖5所示， 則S =S -S -S -S ，其中S = ，S = ，S =2，所以S =4，顯然S =S .

解題點(diǎn)撥：探究網(wǎng)格中的圖形面積，有如下幾種方法. ①通過(guò)面積割補(bǔ)求面積;②借助網(wǎng)格進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化;③構(gòu)建坐標(biāo)系，求點(diǎn)坐標(biāo). 其中方法①和②充分利用了網(wǎng)格的特點(diǎn)，較為簡(jiǎn)捷，而方法③是傳統(tǒng)的函數(shù)解法，過(guò)程略微繁復(fù).

問(wèn)題4：網(wǎng)格中的作圖操作

網(wǎng)格中的作圖操作涉及圖形的變換，如平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等，同時(shí)偏重考查圖形理解、操作方法等. 作圖過(guò)程要充分利用網(wǎng)格的對(duì)稱、全等屬性，聯(lián)系幾何性質(zhì)直接構(gòu)圖.

例4：（2020年天津市中考卷第18題）如圖6，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB= .

（1）線段AC的長(zhǎng)等于______;

（2）以BC為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)D，若P，Q分別為邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+PQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，Q，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）_______.

分析：本題目考查求線段長(zhǎng)，以及作圖操作. 第（1）問(wèn)求AC長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理即可求得. 第（2）問(wèn)探究最值情形下點(diǎn)P和Q的位置，屬于最值問(wèn)題作圖題，可分兩步進(jìn)行：第一步，先確定點(diǎn)P和Q的理論位置，需根據(jù)對(duì)稱變換，三點(diǎn)共線確定距離最短;第二步，進(jìn)行作圖操作，通過(guò)對(duì)稱、相交來(lái)確定作圖結(jié)果.

作圖操作過(guò)程如下：①取格點(diǎn)M和N，連接MN;②連接BD并延長(zhǎng)，與MN相交于點(diǎn)B′，連接B′C，與半圓交于點(diǎn)E;③連接BE，與AC交于點(diǎn)P;④連接B′P并延長(zhǎng)，與BC交于點(diǎn)Q. （如圖7所示）

作圖解釋：作圖過(guò)程中通過(guò)對(duì)稱變換實(shí)現(xiàn)了三點(diǎn)共線，確保線段之和最短. B′為B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，同時(shí)確定AC是∠B′CB的角平分線，BP+PQ有最小值時(shí)B′Q⊥BC. 借助B′C與半圓相交確保了PE⊥B′C，由對(duì)稱及角平分進(jìn)一步確定了PQ⊥BC，從而構(gòu)建了垂直關(guān)系.

解題點(diǎn)撥：網(wǎng)格中無(wú)直尺作圖與常規(guī)作圖的思路是不同的，網(wǎng)格作圖通常采用逆推的方法，即采用逆向思維，由結(jié)論推過(guò)程，通常需借助幾何特性來(lái)實(shí)現(xiàn). 如作垂直關(guān)系，可借助圓與直線相切，直徑所對(duì)角為直角等，對(duì)稱變換則借助格點(diǎn)構(gòu)建;作平行關(guān)系則采用網(wǎng)格平移，利用網(wǎng)格測(cè)距等方法.

總結(jié)反思

網(wǎng)格問(wèn)題的直觀性更強(qiáng)，網(wǎng)格特性提供了更強(qiáng)的操作性，可直接實(shí)現(xiàn)全等變換，構(gòu)建特殊圖形，討論幾何屬性等. 突破過(guò)程融合幾何知識(shí)、操作方法、數(shù)學(xué)思想，更能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，下面提出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

建議一：聯(lián)系網(wǎng)格特性，探討幾何內(nèi)容

網(wǎng)格中通常是由全等的特殊圖形構(gòu)成，其中隱含著幾何的全等關(guān)系、等角或等線段條件，可直接實(shí)現(xiàn)幾何變換、構(gòu)建特殊模型. 教學(xué)中可依托網(wǎng)格進(jìn)行知識(shí)探究，如利用網(wǎng)格構(gòu)建坐標(biāo)系推導(dǎo)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線函數(shù)解析式;引導(dǎo)學(xué)生從幾何變換視角探究作平行線、作全等圖形;聯(lián)系網(wǎng)格探究三角函數(shù)值的構(gòu)建策略. 讓學(xué)生深刻體會(huì)網(wǎng)格的特性意義，掌握網(wǎng)格作圖的方法思路.

建議二：融合思想方法，拓展學(xué)生思維

網(wǎng)格問(wèn)題的突破過(guò)程常涉及數(shù)學(xué)的思想方法，如化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模、等量變換等，作圖過(guò)程可直觀體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵. 因此網(wǎng)格探究過(guò)程中，不僅要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的幾何知識(shí)，還要關(guān)注其中的數(shù)學(xué)思想，透過(guò)作圖表象理解其中的思想本質(zhì). 同時(shí)，可采用類比探究的方式，類比求解函數(shù)來(lái)探究網(wǎng)格建系，類比求常規(guī)幾何面積來(lái)求網(wǎng)格中的圖形面積. 充分挖掘網(wǎng)格的隱含價(jià)值，拓展學(xué)生思維.