基于“問題+追問”教學(xué)法的教學(xué)案例及思考

陳旭旋

2019年12月，廣東教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會發(fā)出《關(guān)于征集第二屆廣東省中考數(shù)學(xué)疑難問題教學(xué)設(shè)計的通知》，筆者有幸參加了此次的教學(xué)設(shè)計評選。在經(jīng)過對中考數(shù)學(xué)疑難問題的認(rèn)真分析研究下，筆者選擇了壓軸題高頻考點：由動點產(chǎn)生的特殊三角形的存在性問題之等腰三角形存在性問題作為課例，采用“問題+追問”的啟發(fā)引導(dǎo)教學(xué)法進行教學(xué)設(shè)計，經(jīng)過中數(shù)會組織的專家評審中獲得特等獎?，F(xiàn)將其教學(xué)設(shè)計過程和反思整理出來，以拋磚引玉，歡迎各位同行和專家批評指正。

一、教學(xué)案例--以等腰三角形的存在性問題為例

1.問題引入

問題：如圖1，已知點A、B和直線l，請問在直線l上是否有一點P，使得存在以A為頂點的等腰三角形ABP？

追問1：若把問題中“以A為頂點”改為“以點B為頂點”呢？

追問2：去掉“以A或B為頂點”的條件呢？

設(shè)計意圖：通過問題引入和追問1，滲透分類討論思想，分散難點，為探究活動做鋪墊;追問2的設(shè)計是為了引出探究活動，層層遞進。

2.探究活動

問題：如圖2，已知點A、B和直線l，請問在直線l上是否存在一點P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，有幾個符合條件的點P？

追問1：你是如何找到這些點P的位置的？

追問2：如何做到不重不漏？有什么好的技巧與方法？

追問3：若以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點B的坐標(biāo)為（4，3），你能否在x軸上找到一點P，使得△ABP是等腰三角形？

設(shè)計意圖：通過等腰三角形存在性問題的基本模型圖的探究，并通過兩個追問明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，找點的存在性的方法——兩圓一線法，形成一定的解題策略，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和解題習(xí)慣，追問3為引出例題教學(xué)，自然過渡。

3.例題教學(xué)

問題：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中x O y中，點B的坐標(biāo)是（4，3），你能否在x軸上找到一點P，使得△OBP是等腰三角形？

追問1：你能求出這些符合條件的點P的坐標(biāo)嗎？

追問2：你能說說你解這道題的思路或步驟嗎？

設(shè)計意圖：例題的設(shè)計讓學(xué)生學(xué)以致用，及時鞏固解決等腰三角形存在性問題的幾何方法——兩圓一線法，通過師生互動完成計算示范，分散難點;通過追問讓學(xué)生學(xué)會“回頭看”，養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣，做到心中有思辨，才能獲得技能的遷移學(xué)習(xí)。

追問3：剛剛在巡視的過程中，有同學(xué)疑問畫圖麻煩，可不可以不畫圖就能解決這個問題？請同學(xué)們思考還有沒別的方法，可以避免繁瑣地畫圖，又能不重不漏地找到動點P嗎？

追問4：能否讓方程顯得更加簡潔？你能說說這種解法的步驟和原理嗎？

設(shè)計意圖：利用追問引導(dǎo)學(xué)生尋找解決等腰三角形存在性問題的代數(shù)法，用三步法實現(xiàn)盲解盲算，掌握解決存在性問題的通法并規(guī)范解題格式。

追問5：請同學(xué)們觀察這兩種解法過程，你更喜歡哪種？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過兩種解法過程的對比感知：從幾何角度入手，利用“兩圓一線法”精準(zhǔn)定位，計算簡捷，但畫圖不易，容易漏解;從代數(shù)角度入手，思路自然，盲解盲算，但計算不易。兩者各具優(yōu)勢，若結(jié)合使用可以以數(shù)解形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合。

4.小試牛刀

變式1（單動點）：如圖4，已知拋物線y=x2+bx與直線OB：y=x相交于O、B（4，3）兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使得△OBG是等腰三角形？若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

變式2（雙動點）：如圖5，已知拋物線y=x2+bx與直線OB：y=x相交于O、B（4，3）兩點，P為直線OB下方的拋物線上的一動點，過P作x軸的垂線，垂足為D，且交直線OB于點G，請問是否存在點P，使得△OPG是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。

設(shè)計意圖：通過對例題添加二次函數(shù)背景進行變式綜合應(yīng)用，從單動點過渡到雙動點，鞏固幾何法和代數(shù)法解決等腰三角形存在性問題的基本策略，形成解題技能，同時根據(jù)動點的個數(shù)靈活選擇方法，體驗兩者結(jié)合更有助于快速解題。

5.真題實戰(zhàn)

（2019年湖北省十堰市中考）25.已知拋物線y=a（x-2）2+c經(jīng)過點A（2，0）和C（0，），與x軸交于另一點B，頂點為D。

（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標(biāo);

（2）如圖，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（E點不與A，B重合），且∠DEF=∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長;若不能，請說明理由。

設(shè)計意圖：中考真題實戰(zhàn)，熟練鞏固分類討論思想解決等腰三角形存在性的解題策略并讓學(xué)生再次感受學(xué)有所用，體驗數(shù)學(xué)的價值。

6.總結(jié)經(jīng)驗

問題：總結(jié)我們是如何研究等腰三角形存在性問題的？

追問1：等腰三角形的存在性是按照怎樣的思路研究的？

追問2：我們是怎么想到等腰三角形存在性問題是按照這樣的思路研究呢？

追問3：有哪些方法可以解決等腰三角形的存在性問題？

追問4：這些方法的基本解題策略是什么？

追問5：在解決具體存在性問題中，應(yīng)如何靈活選用方法？

設(shè)計意圖：用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生回憶總結(jié)本節(jié)課的全部過程，再次進行整體構(gòu)建，既達(dá)到了總結(jié)知識點的目的，又形成體系，形成問題研究的“基本套路”，為后續(xù)的學(xué)習(xí)提供路徑和方法。

7.遷移探究

問題：由動點產(chǎn)生的特殊三角形，除了等腰三角形外，還有直角三角形、等腰直角三角形等， 你能類比等腰三角形存在性的研究經(jīng)驗獨立探究直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題嗎？

設(shè)計意圖：用相同的方法解決不同的問題可以讓人更加的聰明。以直角三角形、等腰直角三角形的存在性研究作為作業(yè)，讓學(xué)生獨立探究直角三角形、等腰直角三角形的存在性問題會產(chǎn)生第二次“整體構(gòu)建”，即學(xué)生在對所學(xué)知識內(nèi)化的基礎(chǔ)上，通過順應(yīng)或同化構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識與方法的第二次整體建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)能力。