數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)解題模型

曾令發(fā)

【摘要】“模型就是通過對問題現(xiàn)象的分解，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創(chuàng)造出來的一副圖畫……”數(shù)學(xué)圖形模型是指利用圖形對變量間的關(guān)系作分析基礎(chǔ)，構(gòu)建圖形將問題直觀地表達(dá)出來，或?qū)嶋H問題直接與幾何知識、代數(shù)知識結(jié)合，求解問題。抽象邏輯思維的培養(yǎng)依托于幾何圖形，同時，也為學(xué)生提供具體、形象、直觀的解決問題的方法，把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識方式變?yōu)閷W(xué)生所能掌握的形式，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，而且培養(yǎng)了濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

【關(guān)鍵詞】模型;數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)圖形

數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)而不僅僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一種以主體已有知識的經(jīng)驗為基礎(chǔ)的主動建構(gòu)活動。數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特定目的而作的一個抽象的、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它能提供處理對象的最優(yōu)決策。例如，歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”的答案就是一個典型的數(shù)學(xué)模型。在此，筆者首先給學(xué)生講“植樹問題”的過程。

題目：同學(xué)們張開手，5個手指人人有，手指之間幾個空，請你仔細(xì)瞅一瞅。

筆者舉起手來，張開五指，學(xué)生們模仿著筆者的動作，大聲回答說：“四個空?！惫P者告訴他們，“空”是俗話，數(shù)學(xué)上把“空”叫做“間隔”。然后，筆者接著問：“5個手指之間有幾個間隔？”學(xué)生們齊聲答道：“4個間隔。”此舉叫做“配個原形”?！笆帧本褪恰笆种浮焙汀翱铡彼淼囊活愂挛锏臄?shù)量關(guān)系的原形：5-1=4，即“手指數(shù)-1=間隔數(shù)”。

筆者把這個式子板書出來，接著就又出了下面的題：

題目：（種樹）小朋友在一段路旁種了5棵樹，這5棵樹之間有幾個間隔？若每個間隔長1米，這段路有多長？

學(xué)生們一下就看出來了：5棵樹之間有4個間隔，4個間隔共長4米。

筆者緊接著就引導(dǎo)學(xué)生寫出下式：5-1=4，即棵數(shù)-1=間隔數(shù)（兩頭都種樹）。

這實質(zhì)上就是建構(gòu)了空間一維直線上的點數(shù)和它們的間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系?？梢钥闯?，這個關(guān)系和手的情形是同樣的。這種共同數(shù)量關(guān)系及其表達(dá)式就可以作為一種數(shù)學(xué)模型看待。

然后，筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)展考察的范圍：題目（鐘打點）——小明家的鐘會打點報時，5點鐘打5下，4秒鐘打完。按這樣，你知道10點鐘打10下需要幾秒鐘打完嗎？

筆者仍然引導(dǎo)學(xué)生先畫圖，打一下，畫一個點，這就使學(xué)生在不知不覺中把時間觀念用圖形（線段和點）轉(zhuǎn)化為空間形式來表達(dá)了。

由圖可見，5個點之間4個間隔，4個間隔是4秒，顯然每個（時間）間隔是1秒?！?-1=4”也符合：點數(shù)-1=間隔數(shù)。進(jìn)而得出：10-1=9（個間隔），從而得出打10下需要9秒鐘打完。此時，筆者借機告訴學(xué)生，與前面題目中的“空間間隔”不同，這道題中的間隔叫“時間間隔”。此外，還可以繼續(xù)擴(kuò)展這一模型應(yīng)用到其它的問題上。

題目：1.（鋸木頭）把一根木頭鋸成5段要付鋸工費用1元。如果把同樣的另一根木頭鋸成13段，應(yīng)付鋸工費多少元？2.（上樓梯）小明家住五樓。他數(shù)了數(shù)兩個樓層之間的樓梯共有10個臺階。他想知道自己從一樓上到五樓要上多少個臺階，你能幫他算出來嗎？

把這兩題解答完后，師生一起回顧以上各題，找出它們的共同點，即抽象出這類事物中共同的數(shù)量關(guān)系，仍以“植樹問題”為代表，寫成：棵數(shù)-1=間隔數(shù)（兩頭都有樹）。

按照習(xí)慣，我們就把這一類問題叫做“植樹問題”。通過以上學(xué)習(xí)，隨著年級的升高，學(xué)生就可以運用這一模型進(jìn)一步解決那些更為復(fù)雜的問題。如，57輛軍車排成一列通過一座橋，前后兩輛車之間都保持2米的距離。橋長200米，每輛軍車長5米。從第一輛車頭到最末一輛車尾共長多少米？

整個教學(xué)過程就是設(shè)法使學(xué)生建構(gòu)起現(xiàn)代模式論的數(shù)學(xué)觀，這也符合布魯納說的“從本質(zhì)上說，一開始不是學(xué)習(xí)一種技能，而是學(xué)習(xí)一個一般觀念，然后這個一般觀念可以作認(rèn)識后繼問題的基礎(chǔ)，這些后繼問題是開始所掌握的觀念的特例。這種類型的遷移應(yīng)該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴(kuò)大和加深知識”。

出于同樣的考慮，當(dāng)學(xué)生學(xué)了長方形的面積后，我們就可以把長（下轉(zhuǎn)第23版）（上接第22版）方形作為數(shù)學(xué)模型來對待，就是對某些數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系，用長方形表示出其幾何意義或以某種方式可以與幾何圖形建立聯(lián)系，將題目中的條件及數(shù)量關(guān)系直接反映在幾何圖形中，然后在構(gòu)造中尋求原題的結(jié)論。

如，一輛汽車從城市開往山區(qū)，往返共用20小時，去時的時間是回來的1.5倍，去時的速度比回來的速度慢12千米，汽車往返共行多少千米？

這里用長來表示速度，寬表示時間，構(gòu)造一個“長方形”，問題就迎刃而解。

觸類旁通，只要具有類似計算長方形面積的乘法應(yīng)用題都可以構(gòu)造“長方形”模型來求解。在此略舉幾例，以示佐證。

一是解平均數(shù)問題。例如，五（1）班數(shù)學(xué)期中考試平均分為78分，而男生平均分為75.5分，女生平均分為81分，求男女人數(shù)的比。

二是解行程問題。例如，甲乙丙三人，甲每分走50米，乙每分走60米，丙每分走70米。甲乙從東村，丙從西村同時出發(fā)。丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，求東西兩村的距離。

根據(jù)“速度和×相遇時間=路程”的數(shù)量關(guān)系，可構(gòu)建下圖來求解。

三是解測量古井問題。例如，用繩子測量井深，把繩子三折來量，井外余4尺;把繩子4折來量，井外余1尺。求井深和繩子的長。

由于井深就是每折的長度減去余在井外的長度，通過構(gòu)建下圖，假設(shè)井深為x米，得：（x+1）×4=（x+4）×3.

四是解盈虧問題。例如，一些人共同分擔(dān)購買小船的錢，如果其中10人后來決定不參加，余下的人每人要多分擔(dān)1元。當(dāng)實際付款時，又有15人退出，最后余下的每人又要多分擔(dān)2元。求原先是多少人？

這題相對復(fù)雜些，但只要抓住所構(gòu)建圖中的“等積”關(guān)系列方程，答案就自然有了。

在數(shù)學(xué)能力競賽中，許多題目只要注意構(gòu)造模型，初看無從下手的題目會變得簡單、明了。例如，通過構(gòu)造“極端”模型，從問題的最簡單狀態(tài)或最多的情況入手，探索解題方法。如（1）計算：

（2）某人上樓梯的本事有三種：一步一級、一步兩級、一步三級，他要從樓下上到10級臺階的樓上，有多少種不同的方法？這兩題都可以從最簡單的“極端”去考慮。

另外從數(shù)點格求積得到啟示，可以構(gòu)造“網(wǎng)格”模型來解題。如，（1）正六邊形ABCDEF的面積為6平方厘米，M、N、P分別是所在邊的中點，求三角形MNP的面積。（2）長途公共汽車有甲、乙兩個終點站，汽車要用4小時才能駛完全程。從上午6時開始，每隔1小時從甲乙兩站同時發(fā)出一輛汽車，最后一輛車是在下午4時出發(fā)。從甲站出發(fā)的汽車司機最多能看到多少輛迎面駛來的從乙站開出的車？最少呢？這兩題只要構(gòu)造下面的“網(wǎng)格”圖，題目就顯得非常容易了。

從這些鮮活的例證中，我們真正領(lǐng)略到了“數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建解題模型”的意義和價值，也應(yīng)證了布魯納說的“智力的主要任務(wù)就在于為經(jīng)驗的順序構(gòu)造易于解釋的模型，緊接著的命題就是把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識變?yōu)橛仔W(xué)童所能掌握的形式……學(xué)生一旦熟悉了那個適當(dāng)形式，便能繼續(xù)掌握更有效能、更精確的認(rèn)識和使用知識的形式?！毕嘈磐ㄟ^筆者以上的拋磚引玉，今后的教法在一定程度上實現(xiàn)布魯納的期待——“把最適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識方式變?yōu)橛仔W(xué)童所能掌握的形式”。

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