一個基本向量等式的證明及其六個推論

魏建華

[摘? 要] 向量等式S? +S? +S? =0是一個基本的等式，證明綜合度大，技能要求高，數(shù)學(xué)思想豐富.該式除了形式具有對稱美外，是一個非常一般的結(jié)論，能夠和三角形的四心證明緊密結(jié)合. 文章在證明該式的基礎(chǔ)上通過推論的形式還給出了三角形四心常見的向量等價判定形式，最后對定理本身做了進一步的推廣.

[關(guān)鍵詞] 向量等式;六個推論;三角形的四心;等價判定;推廣

以前大家對該等式的證明及其與四心的聯(lián)系缺乏關(guān)注，一來未能體會到該等式的美感，二來缺乏對該等式證明過程中數(shù)學(xué)思想的挖掘、基礎(chǔ)知識的應(yīng)用、基本技能的掌握，三來對四心向量等價等式的判定缺乏研究和代數(shù)直觀.因而作者寫成此文，旨在打通此教學(xué)關(guān)節(jié).

定理及其證明

定理：已知點O為△ABC內(nèi)的任意一點，則S? +S? +S? =0.

證法一：如圖1，延長BO交線段AC于點E，延長CO交線段AB于點F，設(shè)BF=λFA，CE=μEA. OF=t FC，OE=t BE，t ，t ∈（0，1），則 = =t ， = =t . 又因為點O為△ABC內(nèi)任意一點，所以 + + =1，所以 =1- - =1-t -t . S? +S? +S? =0？圳? +? +? = ？圳t? +t? +（1-t -t ） =0？圳t? - +t （ - ）+ =0？圳t? +t? + =0（1）.

在△AFC中，可得 =t? +（1-t ） =t? +? .

同理在△ABE中，可得 =t? +（1-t ） =? +t? （2）.

則由平面向量基本定理有：t = （3）.

由（2）式可得 =? -t? （4）.

將（4）式代入（1）式可得：t? +? =0（5）.

由（3）式知（5）式顯然成立，此定理得證.

證法二：S? +S? +S? =0？圳S （ - ）+S? +S （ - ）=0？圳S? +S? =（S +S +S ） ？圳? +? =? = ？圳? +? = .

評注：本定理蘊含著三角形的面積守恒，面積守恒是結(jié)論成立以及充滿對稱美的內(nèi)因，證明向量加減法、向量共線定理、線段定比分點、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識，通過等量代換進行消元.知識綜合度大，運算技能要求高.

六個推論及其證明

推論1：已知點O為△ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的重心的充要條件為 + + =0.

證明：先證必要性. 當(dāng)點O為△ABC的重心時，S =S =S = S ，結(jié)合定理充分性顯然. 再證充分性. 如圖3，取BC的中點D，則 + =2 =- ，則A，O，D三點共線，所以點O在△ABC的一條中線上，同理可證點O在△ABC的另外一條中線上，所以O(shè)為△ABC的重心.

推論2：已知點O為銳角三角形ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的內(nèi)心的充要條件為a +b +c =0.

證明：先證必要性. O為△ABC的內(nèi)心，則點O到△ABC三條邊的距離都為r. 由定理有? +? +? =0，化簡得a +b +c =0（6）.

再證充分性. 記Q為△ABC的內(nèi)心，則a +b +c =0（7）.

（6）式減去（7）式可得：（a+b+c） =0，則 =0，則點O與點Q兩點重合，則點O為△ABC的內(nèi)心.

推論3：已知點O為銳角三角形ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的內(nèi)心的充要條件為sinA· +sinB· +sinC· =0.

證明：在△ABC中由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（R為△ABC的外接圓半徑），由推論2知結(jié)論成立.

推論4：已知點O為△ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的外心的充要條件為sin∠BOC· +sin∠AOC· +sin∠AOB· =0.

證明：先證必要性. 當(dāng)點O為△ABC的外心時，S ∶S ∶S =sin∠BOC∶sin∠AOC∶sin∠AOB，結(jié)合定理則必要性顯然成立.

再證充分性. 將上式兩邊同時乘以 OA·OB·OC可得：

OC·S? +OB·S? +OA·S? =0（8）.

由定理可得S? =-S? -S? （9）. 將第（9）式代入第（8）式可得：（OC-OA）·S? +（OB-OA）·S? =0.

因為 ， 為非共線向量，所以有平面向量基本定理有OC-OA=0，OB-OA=0. 即OB=OA=OC，則O為△ABC的外心.

推論5：已知點O為△ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的外心的充要條件為sin2A· +sin2B· +sin2C· =0.

證明：先證必要性.因為O為△ABC的外心，同弧所對的圓心角為圓周角的兩倍，此時sin∠BOC=sin2A，sin∠AOC=sin2B，sin∠AOB=sin2C，結(jié)合推論4必要性顯然成立.

再證充分性. 設(shè)點Q為△ABC的外心，則有sin2A· +sin2B· +sin2C· =0（10）.

將所證式減去第（10）式可得（sin2A+sin2B+sin2C）· =0成立.

因為sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos（A-B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A-B）+cosC]=2sinC[cos（A-B）+cos（π-A-B）]=4sinAsinBsinC≠0.

所以 =0，則點Q與點O重合，所以點O為△ABC的外心.

推論6：已知點O為銳角三角形ABC內(nèi)的一點，則O為△ABC的垂心的充要條件為tanA· +tanB· +tanC· =0.

證明：先證必要性.如圖4，S = ，S = ，S = ，則 = × = ， = × = = = .

則S ∶S ∶S =tanA∶tanB∶tanC. 結(jié)合定理顯然可得tanA· +tanB· +tanC· =0.

再證充分性. 以點B為坐標(biāo)原點，建立如圖5所示平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)點O（x，y）. 因為tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA· +tanB· +tanC· =0，所以tanA·（x-ccosB）+tanB·x+tanC·（x-a）=0. 解得x= .由正弦定理有a= ，c= ，所以x= = = .

又因為cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC，

所以x= = = = = .？搖？搖又因為cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，x= = =ccosB.所以點O在BC邊的高線上.

同理可證點O還在AC，AB邊的高線上. 所以點O為△ABC的垂心.

評注：六個推論與定理緊密相連，凸顯此定理的基礎(chǔ)性的同時，借助定理更能建立三角形四心常見向量等價形式的代數(shù)直觀.推論證明過程充分運用同一法這種證明方法，充分運用正弦定理等解三角形的知識，融入建系這種基本方法，充分凸顯向量幾何與代數(shù)的雙重屬性.

結(jié)語

此向量等式具有基礎(chǔ)性，與六個推論連成一片，本文還可作為尖子生和競賽班的課外拓展材料. 同時在此仍然可將定理做進一步的拓展. 當(dāng)點O在三角形外部時，我們約定點O與其中一條邊圍成的三角形在△ABC外的面積為負(fù)值，這樣仍然維持面積守恒，結(jié)論仍然成立;當(dāng)點O在三角形ABC的邊上或者與頂點重合時，此時只有兩個三角形，我們約定不存在的那個三角形面積為0，此時結(jié)論仍然成立. 所以在新的面積約定下，可把定理中的點O改成平面中的任意一點，此時的結(jié)論更具一般性了.