高中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)研究

王義霞

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)面向全體，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，另一方面可以通過數(shù)學(xué)建模去實(shí)現(xiàn)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化，這樣既可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，也可以運(yùn)用數(shù)學(xué)建模推動(dòng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最優(yōu)化.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);建模能力;培養(yǎng)

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展越加關(guān)注的高中數(shù)學(xué)教師都知道，在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素當(dāng)中，依然有數(shù)學(xué)建模. 之所以說是“依然”，是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模原本就是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的重要內(nèi)容. 數(shù)十年之前，包括數(shù)學(xué)學(xué)科在內(nèi)的基礎(chǔ)教育，曾經(jīng)興起過一次學(xué)科建模的研究熱潮，數(shù)學(xué)學(xué)科作為最重要的基礎(chǔ)學(xué)科之一，它的研究認(rèn)識(shí)與研究過程，代表著學(xué)科建模研究的水平. 時(shí)至今日，數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中再度出現(xiàn)，說明數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中的重要地位不可撼動(dòng);也因此，在核心素養(yǎng)培育的背景之下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，依然是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù). 數(shù)學(xué)建模能力在基礎(chǔ)教育階段的重要性毋庸置疑，它是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的有效途徑. 這是從教學(xué)目的的角度認(rèn)定數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，其實(shí)從數(shù)學(xué)建模本身來看，數(shù)學(xué)建模的過程也蘊(yùn)含著重要的價(jià)值. 筆者在實(shí)際教學(xué)中一直高度重視數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，現(xiàn)借助本文總結(jié)一下筆者自己的培養(yǎng)過程，并談?wù)勔恍┬牡?

核心素養(yǎng)背景下對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解

既然今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨著核心素養(yǎng)培育的需要，那么對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解自然要放在核心素養(yǎng)的背景下進(jìn)行. 那么在核心素養(yǎng)的背景之下，對(duì)數(shù)學(xué)建模又應(yīng)當(dāng)如何理解呢？筆者在研究的過程中梳理了這樣幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

第一，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素中最具綜合性的素養(yǎng).

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析六個(gè)要素，筆者以為數(shù)學(xué)建模在其中起到承上啟下的作用，即學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程，實(shí)際上就是不同程度地運(yùn)用于其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素中;而在數(shù)學(xué)模型建立之后，又或者是運(yùn)用于問題解決的過程時(shí)，也能夠帶動(dòng)其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的運(yùn)用. 因此培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而言，其實(shí)可以起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的作用.

第二，數(shù)學(xué)建模的過程可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

在以生為本的年代，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的判斷會(huì)有所變化，比如認(rèn)為學(xué)習(xí)是學(xué)生自己的事，而這也就意味著學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 學(xué)習(xí)的品質(zhì)是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的概念，以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣、學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以及在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過程中表現(xiàn)出來的能力，都是學(xué)習(xí)品質(zhì)的體現(xiàn). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)又對(duì)應(yīng)著綜合能力，而綜合能力只有在相對(duì)綜合的知識(shí)建構(gòu)或者問題解決的過程中才能得以培養(yǎng)，因此顯而易見的一點(diǎn)是，具有綜合性的數(shù)學(xué)建模就可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì).

第三，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)可以引導(dǎo)學(xué)生形成正確的學(xué)科認(rèn)識(shí).

經(jīng)驗(yàn)表明，絕大多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，就是為了解答無窮無盡的數(shù)學(xué)題. 盡管習(xí)題訓(xùn)練是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可避免的一個(gè)環(huán)節(jié)，但這并不意味著這是數(shù)學(xué)學(xué)科的真實(shí)面貌. 而要讓學(xué)生擺脫這樣的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)建模可以發(fā)揮重要的作用.

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)

通過上述梳理可以發(fā)現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是非常重要的，而數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)有一個(gè)前提，那就是數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng). 一般認(rèn)為，建模意識(shí)是高中生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的前提，建模思想也是幫助高中生深入探索數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，形成數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的有力工具. 相應(yīng)地，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極以身示范，圍繞現(xiàn)行教材，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，適當(dāng)輔以建模專題研討，努力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí). 這里可以來看一個(gè)例子：

在“空間幾何體的三視圖”（人教版高中數(shù)學(xué)必修2）的教學(xué)中，筆者注意到，學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖的過程，其實(shí)就是從視覺角度建立起對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)的過程，這種認(rèn)識(shí)的形成過程可以理解為數(shù)學(xué)建模的過程，于是在具體的教學(xué)過程中，筆者設(shè)計(jì)了這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：提出問題，打開數(shù)學(xué)建模的大門.

筆者所設(shè)計(jì)的問題是：將一個(gè)空間幾何體投影到一個(gè)平面上，就可以獲得一個(gè)平面圖形，但是一個(gè)平面圖形是難以把握幾何體的全貌的，那么應(yīng)當(dāng)如何把握空間幾何體的全貌呢？這個(gè)問題學(xué)生比較容易回答：只要從多個(gè)角度進(jìn)行投影，那就可以把握空間幾何體的形狀與大小了. 教師此時(shí)可以跟進(jìn)提出一個(gè)問題：從哪些角度進(jìn)行投影，才能夠高效地把握空間幾何體的全貌呢？

環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設(shè)情境解決問題，完成數(shù)學(xué)建模的過程.

在這個(gè)問題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生會(huì)通過自己的想象與推理，初步在大腦當(dāng)中建構(gòu)相應(yīng)的表象. 根據(jù)筆者的調(diào)查研究，這個(gè)時(shí)候絕大多數(shù)學(xué)生都會(huì)以長(zhǎng)方體作為思維對(duì)象，然后思考它的投影，而且學(xué)生基本上都會(huì)想到可以從三個(gè)角度進(jìn)行投影，于是學(xué)生的大腦當(dāng)中，自然會(huì)出現(xiàn)正視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種圖形——當(dāng)然這個(gè)時(shí)候?qū)W生還說不出這三個(gè)概念，但是對(duì)應(yīng)的表象是會(huì)出現(xiàn)的.

基于這一表象，教師下一步要做的努力就是，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或者現(xiàn)代教學(xué)手段，去幫助學(xué)生鞏固這一表象. 筆者在教學(xué)中采用的是現(xiàn)代教學(xué)手段，這是因?yàn)槠湎鄬?duì)其他教學(xué)手段的教學(xué)效率更高，而且還可以促進(jìn)學(xué)生的想象與思維發(fā)展——這里所說的想象是指數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象，而思維對(duì)應(yīng)著邏輯推理. 所以說數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是可以得到培育的. 從數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)角度來看，用3D互動(dòng)動(dòng)畫展現(xiàn)出從不同角度看長(zhǎng)方體的結(jié)果，這樣學(xué)生就可以從前往后、從左往右、從上往下看出三種不同的結(jié)果，而這三種不同的結(jié)果是具有一定代表性的，在此基礎(chǔ)上就可以給出三視圖的概念和定義了.

要特別注意的是，當(dāng)學(xué)生基于定義理解三視圖的概念之時(shí)，就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程. 此時(shí)教師要幫助學(xué)生進(jìn)一步純化大腦中形成的三視圖表象，要讓三視圖的概念與表象形成良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系，三視圖的概念要能夠刺激學(xué)生直觀地反映出對(duì)應(yīng)的表象，這樣才意味著三視圖的模型準(zhǔn)確形成了.

環(huán)節(jié)三：遷移運(yùn)用，鞏固已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)模型.

空間幾何體的種類是很多的，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中研究的常常是規(guī)則的空間幾何體，在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移運(yùn)用的時(shí)候，教師可以創(chuàng)新形式，這樣既可以激發(fā)學(xué)生的研究興趣，更可以讓學(xué)生有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型. 筆者設(shè)計(jì)的驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)用的問題是：如果一個(gè)空間幾何體的俯視圖是一個(gè)圓，那么這個(gè)空間幾何體有可能是什么樣子？這實(shí)際上是一個(gè)開放性的問題，學(xué)生要思考多種可能性，正是因?yàn)殚_放性使得學(xué)生的興趣更高，這樣運(yùn)用三視圖知識(shí)的廣度與深度也更能夠得到拓展.

數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)反思

筆者在教學(xué)中，研究過多個(gè)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的案例，通過這些案例可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在具體的建模過程中，建模能力可以得到充分的培養(yǎng)，而在利用數(shù)學(xué)模型解決問題的過程中，對(duì)所形成的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)以及對(duì)數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用場(chǎng)合都會(huì)有深刻的認(rèn)識(shí)，這也驗(yàn)證著學(xué)生的建模能力得到了培養(yǎng).

在數(shù)學(xué)建模研究的過程中，也有一種聲音，那就是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)能否提升學(xué)生的應(yīng)試能力. 這是一個(gè)非常實(shí)際的問題，考試是指揮棒，怎么考教師就會(huì)怎么教，這是一個(gè)基本的邏輯關(guān)系. 大量的研究表明，建模能力能夠推動(dòng)學(xué)生應(yīng)試能力的養(yǎng)成，這是因?yàn)榻Ｄ芰υ揪蛯?duì)應(yīng)著問題解決的能力，當(dāng)前的不少數(shù)學(xué)習(xí)題甚至是數(shù)學(xué)高考題，已經(jīng)有意識(shí)地在培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，因此數(shù)學(xué)建模的價(jià)值不會(huì)因?yàn)閼?yīng)試需要而淡化.

同樣，在研究的過程中也發(fā)現(xiàn)，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力基本不受其數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)的影響，數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)不理想的學(xué)生有同樣的機(jī)會(huì)擁有較高水平的數(shù)學(xué)建模能力. 這也就意味著數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)面向全體，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，另一方面也可以通過數(shù)學(xué)建模去實(shí)現(xiàn)學(xué)困生的轉(zhuǎn)化，這樣既可以充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的價(jià)值，也可以運(yùn)用數(shù)學(xué)建模推動(dòng)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的最優(yōu)化.

以上是筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模能力的一點(diǎn)淺見，這些認(rèn)識(shí)基本上來自筆者的實(shí)踐總結(jié)，可能缺乏一些學(xué)術(shù)價(jià)值，還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.