追溯本源，知其所以然

楊海燕 王飛

[摘? 要] 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出：概念教學(xué)中，落實(shí)核心素養(yǎng)，貫穿研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，凸顯數(shù)學(xué)核心概念的核心地位，體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯連貫性及數(shù)學(xué)思想的前后一致性，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程.文章以“弧度制”為例，談?wù)劰P者的做法與想法，即開放性問題探究中追溯本源、有邏輯的“問題串”引領(lǐng)下知其所以然.

[關(guān)鍵詞] 弧度制;開放性問題;問題串

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確提出：概念教學(xué)中，落實(shí)核心素養(yǎng)，貫穿研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，凸顯數(shù)學(xué)核心概念的核心地位，體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯連貫性及數(shù)學(xué)思想的前后一致性，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過程.

“弧度制”是蘇教版必修4第一章第一節(jié)第二課時(shí)的知識(shí)內(nèi)容，是任意角的另一種度量方式. 弧度制下，任意角的度數(shù)集合和實(shí)數(shù)集合建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，為教學(xué)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).本文以此為例，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc想法.

引入弧度制的必要性

問題1：如圖1，P是半徑為r的圓O上一點(diǎn)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以形象地描述為“周而復(fù)始”. 如何表示點(diǎn)P？

問題2：α，r，l之間有著怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：以章引言為問題情境，滲透三角函數(shù)的本質(zhì)：刻畫周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，點(diǎn)出本節(jié)課的研究主題是本章研究主題的一個(gè)子課題.

追問：l= ·2πr是初中學(xué)習(xí)的弧長(zhǎng)公式，還記得是如何推導(dǎo)的嗎？

設(shè)計(jì)意圖：在回顧弧長(zhǎng)公式的過程中，一方面體會(huì)1°的意義，滲透單位元思想，為后續(xù)由1弧度推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式做鋪墊;另一方面解釋弧度制引入的必要性：在實(shí)際生活中，我們會(huì)遇到諸如計(jì)算209°19′這樣復(fù)雜角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，能否簡(jiǎn)化公式以方便計(jì)算呢？

引入弧度制的合理性

問題3：面對(duì)一個(gè)未知的新問題，我們往往先從特殊情況入手，再歸納、推廣到一般情況.請(qǐng)同學(xué)們選擇特殊角計(jì)算對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，填入表1，觀察并思考，有什么發(fā)現(xiàn)？（教師巡視，并給予恰當(dāng)、適時(shí)的指導(dǎo)）

小組1展示，并分享表1. 結(jié)論：圓心角α確定時(shí)，弧長(zhǎng)l確定;反之，弧長(zhǎng)l確定時(shí)，圓心角α確定. 弧長(zhǎng)l中均含有半徑r.

追問1：能否通過某種運(yùn)算，將小組1的結(jié)論變得更簡(jiǎn)潔一些？

小組2展示，將 加入表1，如表2所示. 結(jié)論：圓心角α確定時(shí)， 確定;反之， 確定時(shí)，圓心角α確定.? 是實(shí)數(shù).

追問2：對(duì)于特殊的圓心角，有上述結(jié)論，那么對(duì)于任意圓心角，是否同樣有此結(jié)論呢？

學(xué)生思考片刻，借助幾何畫板直觀感知：（1）在半徑為r的圓中，圓心角α確定時(shí)，弧長(zhǎng)隨之確定，比值 也隨之確定;（2）改變圓的半徑r，圓心角α確定時(shí)，弧長(zhǎng)隨半徑的改變而改變，但比值 確定.

設(shè)計(jì)意圖：師生動(dòng)手操作，經(jīng)歷由特殊到一般、由感性到理性的思維過程，結(jié)合數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論：對(duì)于任意的圓心角α，則α與比值 一一對(duì)應(yīng).所以， 反映了角的大小，引入弧度制是合理的.

弧度制的定義與表示

十八世紀(jì)，著名的數(shù)學(xué)家歐拉提出：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，記作1 rad. 用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.

問題4：請(qǐng)同學(xué)們作出1 rad的角.

展示學(xué)生的圖，追問1：1 rad的角與多少度的角最接近？

追問2：已知半徑為r的圓中，長(zhǎng)度為l的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是多少？

追問3：角度制與弧度制均度量角的大小，那么它們能否相互換算？如果能，如何換算？

追問4：前一節(jié)課將角推廣到任意角，即按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角，那么對(duì)于任意角，都可以用弧度數(shù)來表示嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷作圖過程，加深對(duì)1 rad定義的理解，直觀感知1 rad角的大小，區(qū)別1°. 在問題驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，由1 rad推廣到α rad;探索到角度制、弧度制的互化公式：1°= ，1= ;進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：用正數(shù)表示正角，用負(fù)數(shù)表示負(fù)角，用0表示零角;表2給出了特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的關(guān)系：90°= ，60°= ，45°= ，30°= .用弧度制表示角的大小時(shí)，只要不引起誤解，可以省略單位.

問題5：弧度制下，弧長(zhǎng)公式是什么？如圖4，設(shè)長(zhǎng)度為r的線段OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成角α（α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑看成圓心角α所對(duì)的弧，設(shè)弧長(zhǎng)為l.

圖4

追問1：有沒有需要完善的地方？

追問2：若α≤2π，則圓心角為α的扇形的面積是多少？

設(shè)計(jì)意圖：追問1，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性以及反省性;追問2，與弧度制引入的必要性相呼應(yīng)：在弧度制下，扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式更簡(jiǎn)潔.

應(yīng)用

例1：把下列各角從弧度數(shù)化為角度數(shù)：（1） ;（2）3.5.

例2：把下列各角從角度數(shù)化為弧度數(shù)：（1）252°;（2）11°15′.

設(shè)計(jì)意圖：例1說明任意實(shí)數(shù)都可以表示成一個(gè)角;例2說明任意一個(gè)角都可以表示成一個(gè)實(shí)數(shù).在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集合之間就建立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù);反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角.

教后反思

1. 發(fā)揮章引言的統(tǒng)領(lǐng)作用

章引言統(tǒng)領(lǐng)全章，它明確了“是什么”“學(xué)什么”“怎么學(xué)”. 在章引言的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初識(shí)了全章的相關(guān)背景、知識(shí)結(jié)構(gòu)、邏輯體系和應(yīng)用價(jià)值，明晰了本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法，對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)做好了充分的鋪墊和心理準(zhǔn)備.本課以章引言將問題作為情境引入，很自然地直奔主題：優(yōu)化α，r，l之間的關(guān)系.

2. 設(shè)計(jì)開放性問題，追溯本源

開放，就是學(xué)生有廣闊的、獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維空間，有機(jī)會(huì)經(jīng)過自己的獨(dú)立思考獲得對(duì)知識(shí)的理解.問題3及其追問的引領(lǐng)下，學(xué)生在課堂中經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思維過程，即經(jīng)歷由特殊到一般、猜想、類比、聯(lián)想等思維過程.學(xué)生勇于嘗試、敢于質(zhì)疑、學(xué)會(huì)思考，并且還有機(jī)會(huì)切身體驗(yàn)到失敗與成功.

3. 設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、有邏輯的“問題串”，知其所以然

問題4及其四個(gè)追問，引導(dǎo)學(xué)生“精致”概念，在作圖操作中消化、理解1 rad概念的細(xì)節(jié)，從形的角度猜測(cè)與其接近的度數(shù)，直觀認(rèn)識(shí)1 rad的角;運(yùn)用單位元的思想，獲取任意角的弧度數(shù)，深入理解1 rad的定義;角度、弧度都是刻畫角的度量單位，它們必然存在一致性，“那么它們?nèi)绾蜗嗷マD(zhuǎn)化”應(yīng)運(yùn)而生，學(xué)生迫不及待地思考起來，自然而然地聯(lián)系到先前尋找的特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)，尋找兩者的換算方法;任意角有正角、負(fù)角、零角之分，水到渠成地聯(lián)想到分別用正數(shù)、負(fù)數(shù)和零表示它們，建立起實(shí)數(shù)與角的一一對(duì)應(yīng). 至此，用弧度數(shù)度量角自然地納入概念系統(tǒng)了.