受疾病意識影響的SIR傳染病模型分析

孫雅楠，薛亞奎*，孫 松

(1.中北大學理學院，太原 030051；2.河北建筑工程學院土木工程學院，河北 張家口 075000)

近幾十年來，許多傳染病在不斷爆發(fā)，如埃博拉、豬流感、寨卡病毒等.而在2019年末，一種名為新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)的傳染病在全球首次爆發(fā)，病毒的傳染性極強且當時無疫苗可用，短時間內(nèi)便廣為傳播，多地不得不采取封城封路、停工停學的措施控制疫情.傳染病嚴重危害人類健康，給社會造成巨大的生態(tài)、經(jīng)濟損失.隨著科學技術、通訊軟件及新聞媒體的發(fā)展，人們獲取疾病信息的途徑越來越多，這有利于大家及時采取保護措施，減少疾病發(fā)生.特別是疾病關切意識強的人群的行為如何影響傳染病的傳播，值得針對性地開展研究．

數(shù)學模型一直以來都是研究傳染病動力學行為的有效工具，通過建立模型對其進行分析，可以展示疾病的發(fā)展過程，分析疾病爆發(fā)原因，從而找到有效策略進行疾病防控.多年來，人們提出許多數(shù)學模型來研究疾病意識對傳染病的影響.這些模型可分為兩大類:網(wǎng)絡模型[1-2]和平均場模型[3-4].而關于疾病意識對傳染病影響的方式主要分兩種:1) 通過減小接觸感染率和采取預防措施來體現(xiàn)[5];2) 通過引入獨立倉室媒體區(qū)M來表示疾病信息量的變化[6].關于第2) 種影響方式，大部分相關研究均未考慮媒體報道量的常數(shù)輸入率.如2015年Das等人建立的SIS傳染病模型，研究了包含媒體報道的兩個斑塊上的隨機疾病動力學行為[7].2016年王連文等研究了幾類受媒體報道影響的模型[8].2018年Basir等建立的SIS模型，研究了疾病意識和時滯對傳染病控制的影響[6].2020年Kumar等建立了一個由獨立的速率方程建成的SVIR模型，考慮了有關疫苗接種覆蓋面信息的影響[9].這些研究考慮的都是第2) 種疾病意識影響方式，但其考慮的媒體報道量的增長均僅與染病者有關．

傳染病作為一種嚴重危害人類的疾病，盡管某段時間內(nèi)未發(fā)生，但也同樣需要媒體報道相關疾病信息，甚至部分關切傳染病傳播的個體會主動搜索查找疾病信息.因此本文建立的SIR平均場模型中，選擇第2) 種疾病意識影響方式，并考慮人群中疾病信息量的常數(shù)輸入，即媒體報道量的常數(shù)輸入率.特別的，對大多受疾病意識影響作用較大傳染病來說，個體病死率很低.因此本文針對研究疾病意識的影響效果時，與某些研究類似[5]，不考慮個體因病死亡率.其次，下文討論的有意識個體僅代表具有傳染病意識并采取保護措施的個體.在以上假設下，建立了具有一定合理性與研究價值的傳染病模型，為部分傳染病的防控提供了理論支撐．

1 模型建立

本文將疾病流行區(qū)的總人口N(t)分為四類:無意識易感者Sn(t)、意識易感者Sa(t)、染病者I(t)、恢復者R(t).M(t)代表媒體報道的有效信息密度.根據(jù)倉室模型思想，可建立如下常微分方程：

(1)

(2)

因系統(tǒng)(1)有4個方程均不含有R，化簡后得系統(tǒng)(2).這里參數(shù)d表示人口出生率與自然死亡率，β與δβ分別代表與染病者接觸后無意識易感者和有意識易感者的染率，0<δ<1表示意識易感者因采取保護措施從而減少被感染風險的百分比，α與ω分別代表個體的疾病意識獲取率與失去率，γ是個體染病恢復率，c是疾病意識常數(shù)輸入率，途徑為電視媒體報道等.疾病意識密度受疾病影響生成率為η，疾病意識衰減率記為θ．

2 平衡點和基本再生數(shù)

易得系統(tǒng)(2)有唯一無病平衡點:

利用下一代矩陣法計算基本再生數(shù)R0的表達式[10]，可以得到

證明令系統(tǒng)(2)的方程右端均等于0，求解得

且I*為下面一元二次方程的正根，

a1I2+a2I+a3=0，

(3)

這里系數(shù)分別為

a1=βδ(d+γ)(βθ+αη)>0，

a2=(d+γ)(βδdθ+αdη+βθ(d+ω)+

βαcδ)-βδd(αη+βθ)，

a3=d(d+γ)(αc+dθ+ωθ)(1-R0).

當R0>1時，有a3<0成立.根據(jù)方程根與系數(shù)的關系可知，方程(3)有一個正根一個負根，即系統(tǒng)(2)存在唯一正平衡點．

3 平衡點的穩(wěn)定性

定理2當R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0在Γ內(nèi)是局部漸近穩(wěn)定的;當R0>1時，E0不穩(wěn)定．

證明系統(tǒng)(2)在無病平衡點E0處的線性化系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

令Φ1(λ)為J|E0的特征方程，則有

Φ1(λ)=

(αc+ωθ+dθ)(1-R0))=0.

解得J|E0的特征值為

λ4=(d+γ)(αc+ωθ+dθ)(R0-1).

當R0<1時，有λ4<0，即矩陣J|E0所有特征值均有負實部，平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的;當R0>1時，λ4>0，即J|E0有特征值為正實部，平衡點E0不穩(wěn)定．

定理3當R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的．

證明構造Lyapunov函數(shù)

V1=I.

計算V1沿著系統(tǒng)(2)的導數(shù)，可得

定理4當R0>1時，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點E*在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的．

證明構造Lyapunov函數(shù)

根據(jù)均差不等式的性質，利用一種代數(shù)方法[12]，定義函數(shù)

定義

(i=1，2，3).

即

4 R0靈敏度分析

了解參數(shù)的相對重要性有助于為資源稀缺的傳染病流行區(qū)制定有效的干預策略.靈敏度分析通常用來確定模型對參數(shù)值的穩(wěn)定性，因最初的疾病傳播與基本再生數(shù)直接相關，因此用它來研究對R0有影響的參數(shù)，同時加入疾病意識控制，觀察各參數(shù)對基本再生數(shù)的影響變化動態(tài)．

定義1[13]變量h的歸一化前向靈敏度指數(shù)因參數(shù)m的不同而不同，可定義為

表1 參數(shù)描述及其靈敏度指數(shù)Tab.1 Description of parameters and their sensitivity index

可得πβ與β參數(shù)值無關.R0關于剩余參數(shù)δ，θ，ω，γ，α，c，d的靈敏度指數(shù)如下.

圖1(a)說明了基本再生數(shù)對系統(tǒng)參數(shù)的敏感度趨勢，考慮疾病意識獲取率α的影響，且α∈(1，0)，從圖中可得參數(shù)πβ，πω，πδ和πθ值為正，說明這些參數(shù)取值的增加會導致R0取值的相應增加，而參數(shù)πγ，πα，πd和πc值為負，表明這些參數(shù)取值的增加會導致R0取值的相應減少.πβ和πγ值不隨α值而改變，說明β和γ對R0的影響不隨α的改變而改變.πδ值隨著α的增大而增大，說明δ取值變化對R0的影響程度在增大，而α的提高會降低δ值從而減小基本再生數(shù).πα，πc，πθ和πω的變化趨勢說明α較大時，這幾類參數(shù)的取值變化對R0的影響程度不斷減小.雖然圖中α對R0的直接影響相對減小了，但其可以通過影響δ而更大程度減小R0.圖1(b)模擬了πd的變化趨勢，可看出隨著α的增大，πd的絕對值先大幅度減小后緩慢增大，但當α=1時πd值仍小于α=0時的πd值，這說明α的增強可以減小參數(shù)d對R0的影響.圖1(c)可看出R0隨α的增大而減小，隨β的增大而增大且受β影響更大，因而我們更應該提高疾病意識率，采取自我保護措施，降低個體間感染率.綜上所述，提高疾病意識率不僅能直接減小疾病基本再生數(shù)R0，同時也可降低多個參數(shù)對R0的影響，這有利于更好控制疾病的爆發(fā)，從而減少疾病傳播．

圖1 靈敏度分析圖Fig.1 Sensitivity analysis diagram

5 數(shù)值模擬和討論

下面通過數(shù)值模擬，驗證系統(tǒng)的無病平衡點、地方病平衡點穩(wěn)定性，并通過改變疾病意識率α來模擬其對傳染病的影響效果，考慮如下的情形.

前文提及參數(shù)值d=0.01，δ=0.6，γ=0.045，ω=0.2，θ=0.06，c=0.1，η=0.01.另取初始值S(0)=0.35，Sa(0)=0.15，I(0)=0.3，R(0)=0.2，M(0)=0.15.

圖2模擬了無病平衡點的穩(wěn)定性.(a)取β=0.03，α=0.25，此時R0≈0.4004<1，無病平衡點E0在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;(b)取β=0.03，α=0.25，此時R0≈0.3587<1，無病平衡點E0在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;(c)模擬了α取不同值時I(t)的變化曲線，可看出隨著α的增大，疾病趨于消亡的時間也相應的縮短．

圖2 無病平衡點的穩(wěn)定性Fig.2 Stability of disease-free equilibrium

圖3模擬了地方病平衡點的穩(wěn)定性.(a)取β=0.3，α=0.25，當時R0≈4.004>1，地方病平衡點E*在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;(b)取β=0.3，α=0.25，此時R0≈3.587>1，地方病平衡點E*在Γ內(nèi)全局漸近穩(wěn)定;(c)模擬了α取不同值時I(t)的變化曲線，可看出隨著α的增大，疾病趨于穩(wěn)定的時間也會相應縮短．

圖3 地方病平衡點的穩(wěn)定性Fig.3 Stability of endemic equilibrium

6 結論

本文根據(jù)疾病意識下傳染病的傳播特點，建立了一個SIR模型來研究媒體報道的疾病信息對傳染病傳播的影響.通過合理的假設和充分的理論證明，得到結論:1)傳染病的爆發(fā)與否主要由基本再生數(shù)R0決定，當R0<1時，無平衡點E0全局漸近穩(wěn)定;R0>1時，地方病平衡點E*全局漸近穩(wěn)定，無病平衡點不穩(wěn)定.2)提高個體疾病關切意識可以直接降低基本再生數(shù)，還可以通過減少染病率從而降低基本再生數(shù).3)個體疾病關切意識程度越強，越能減弱其它參數(shù)對疾病基本再生數(shù)的影響.因此我們應該加大媒體等宣傳途徑的疾病信息宣傳力度，從而增強個體自我保護意識，減少疾病傳播．