“有關直角三角形的旋轉習題課”案例分析

西藏自治區(qū)日喀則市第二中學 王 丹

（此作者為援藏教師，派出單位為哈爾濱市征儀路學校）

問題1：如圖1，△ABC 經(jīng)過旋轉得到△DCE，請問△ABC 繞著點____，按__時針旋轉__度得到△DCE，從而得到△ABC___△DCE.

學生思考片刻，在導學案上馬上寫出了答案，因為利用旋轉性質產(chǎn)生全等三角形；△ABC 繞著點A ，按 順 時針旋轉 90 度得到△DCE，從而得到△ABC ≌△DCE.

圖1

圖2

圖3

變式1：如圖2，連接AD，BE，我們可以找到哪些特殊的三角形？

學生通過觀察兩個旋轉直角三角形的特殊位置，發(fā)現(xiàn)△BEC 與△ACD 是等腰直角三角形。在這個環(huán)節(jié)中讓學生親身體驗如何“做數(shù)學”，從中感受到由已知圖形得到新圖形的過程。

變式 2：如圖 3 延長 DE，交 AB 于點 F，DF 和 AB 的位置關系是什么？

利用旋轉得到全等，學生知道對應角∠1=∠2，又由對頂角相等，所以∠3=∠4，

圖4

由三角形內角和為180ο，等量代換得到∠AFE=90ο，即DF⊥AB.

我國多數(shù)高校都未制定有關財務人員績效評價方面的具體文件，高校績效評價指標體系也沒有法律以及相應的制度保障，相關部門也未出臺有關績效考評內容和流程的針對性政策。同時，配套的監(jiān)管機制也未得到構建，這也都將會對高校財務人員績效考核工作的開展造成不良影響。

根據(jù)邊之間的關系求邊比，這類問題，學生就會有一定的思維阻力，引導學生考慮相似。學生們找到△AFE∽△DCE，△ACD∽△BCE.推導出

變式 3：如圖 4，如果∠DEC=60ο，求∠ABE=_____

利用等腰直角三角形這個特殊的∠EBC=45ο，學生們很快得出了15ο的結論。

變式 4：如圖 5，∠A=35ο，此時，點 E 在 AB 上，DE 交AC 于點 F，∠EFC=______

學生分析得出初步結論是：∠CBA=90ο-∠A=55ο，∠CED=∠CBA，利用點E 的特殊位置在AB 上，產(chǎn)生了CE=CB，得到∠CEB=∠CBA，推出∠CEB=∠CBD，利用外角 性 質 ，∠EFA=2 ∠DEC- ∠A=55ο×2-35ο=75ο，∠EFC=180ο-75ο=105ο.

變式 5：如圖 6，點 D 是等腰直角△ABC 內一點，BC 是斜邊，如果將△ABD 繞點A 逆時針旋轉到△ACD'位置，則∠ADD'=_______

這個問題是換了已知條件，實際上仍然考查旋轉性質產(chǎn)生全等三角形，從而引出等腰直角三角形的結論。學生很快識別了這個結論得到了∠ADD'=45ο.

變式 6：如圖 7，在△ABC 中，∠CBA=70ο，將△ABC 繞點A 逆時針方向旋轉一個銳角α 到△AB'C'，連接CC'，若CC'∥AB，則旋轉角α 的度數(shù)為_______

本題還是旋轉出全等，由于添加了平行這個條件，產(chǎn)生等腰三角形。由 CC'∥AB ，得∠CBA=ACC'=70ο，由AC=AC'，得 AC'C= ACC'=70ο，由三角形內角和 180ο，我們可以得到∠CAC'=40ο.

變式 7：如圖 8，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90ο，

如圖 9，點 P 在 AB 上，且 CA=CP=6，AB=18，將△ABC繞點A 順時針旋轉得Rt△AB'C'，且C'落在CP 的延長線上，連接BB'交CP 的延長線于點F，求線段BF 的長.

本題目條件多，當堂課沒有解決完全，我?guī)ьI學生初步分析了條件和討論思路。本題主要是處理等角的挖掘和相似。

圖9

解析：

由全等知∠BAC=B'AC'，

得∠CAC'=∠BAB'，

由于邊等CA=C'A，BA=B'A，

得△CAC'與△BAB'，都是相似的等腰三角形，所以，∠ACP=∠ABF，

由于∠ACP=∠BPF（對頂角相等）△BPF∽△CPA

由CP=CA，得△BPF 與△CPA 都是相似的等腰三角形.

過C 點作AB 的垂線CK，垂足為K.

通過等角的發(fā)現(xiàn)，Rt△ABC ∽Rt△ACK，

所以BF=BP=14.

我們探究的課題不僅僅是給予學生解題的思路和步驟，更重要的是教會學生挖掘已知條件和圖形中隱含的邊角關系，從而解決問題。此課的學習打開了學生的思路，讓學生能夠從多個角度來認識同一類型的問題，這為以后學習更有深度的內容打下了良好的基礎。