基于統(tǒng)一相場理論的早齡期混凝土化-熱-力多場耦合裂縫模擬與抗裂性能預(yù)測1)

吳建營 陳萬昕 黃羽立

?(華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510641)

?(華南理工大學(xué)土木工程系,廣州 510641)

??(清華大學(xué)土木工程系,北京 100084)

引言

混凝土是全世界范圍內(nèi)應(yīng)用最為廣泛的土木工程材料,在建筑結(jié)構(gòu)、橋梁隧道、能源設(shè)施(水電大壩、核電安全殼、液化天然氣或石油儲罐、風(fēng)電基礎(chǔ)等)等土木工程和基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)中發(fā)揮著重要作用.然而,一旦混凝土結(jié)構(gòu)在建造期出現(xiàn)裂縫,在服役期載荷和環(huán)境作用下這些早齡期裂縫將逐漸擴(kuò)展和演化,對結(jié)構(gòu)全生命周期的完整性、耐久性和安全性造成嚴(yán)重影響.因此,準(zhǔn)確預(yù)測早齡期混凝土的抗裂性能并由此控制混凝土結(jié)構(gòu)建造質(zhì)量,是預(yù)防結(jié)構(gòu)先天病患、保證結(jié)構(gòu)優(yōu)生健康的重要手段.

混凝土澆筑養(yǎng)護(hù)過程中,水泥水化過程會釋放熱量使得混凝土升溫,熱傳導(dǎo)和熱對流等機(jī)制將導(dǎo)致混凝土溫度達(dá)到峰值后逐漸降低.這一過程中,與溫度有關(guān)的熱變形以及與水化度有關(guān)的自收縮變形會引發(fā)較大的拉應(yīng)力,而此時(shí)混凝土力學(xué)性能如強(qiáng)度等仍然處于較低水平,導(dǎo)致早齡期混凝土開裂并逐漸擴(kuò)展和演化[1].上述過程涉及化學(xué)、熱學(xué)、力學(xué)等復(fù)雜的多場耦合效應(yīng),已有理論模型和數(shù)值方法尚不能定量預(yù)測早齡期混凝土的抗裂性能并準(zhǔn)確描述早齡期裂縫的演化過程,這也成為混凝土結(jié)構(gòu)全壽命性能調(diào)控研究的主要難點(diǎn)問題之一.

早齡期混凝土裂縫理論模型和數(shù)值模擬方法的相關(guān)研究可以追溯至20 世紀(jì)90 年代.根據(jù)所采用的混凝土裂縫模型,大致可以分為以下4 類:

(1)經(jīng)驗(yàn)或塑性力學(xué)模型.早期研究大多采用塑性模型描述開裂后的早齡期混凝土性能,如文獻(xiàn)[2-5]等.

(2) 彌散裂縫模型.這方面的代表性研究工作包括De Borst 等[6-8]提出的早齡期混凝土彌散裂縫模型.

(3)損傷力學(xué)模型.隨著混凝土損傷力學(xué)的興起,若干學(xué)者[9-14]將部分經(jīng)典的損傷模型推廣至早齡期混凝土.

(4)微細(xì)觀力學(xué)模型.為了考慮混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)特別是粗骨料對早齡期混凝土抗裂性能的影響,部分學(xué)者發(fā)展了相應(yīng)的微細(xì)觀力學(xué)模型[15-17].

上述工作為研究早齡期混凝土力學(xué)性能奠定了良好的基礎(chǔ).然而,這些研究大多采用較為簡單的裂縫模型,也未能考慮裂縫演化與水化反應(yīng)、熱量傳輸?shù)冗^程之間的相互耦合,自然也很難描述早齡期混凝土裂縫的演化過程并量化開裂后材料的力學(xué)性能.

近年來,法國學(xué)者Nguyen 等[18-20]采用脆性斷裂相場模型描述開裂混凝土的力學(xué)行為,并考慮裂縫與水化反應(yīng)、熱量傳輸之間的耦合效應(yīng),能夠較好地描述早齡期的裂縫演化過程.脆性斷裂相場模型根植于Francfort 和Marigo[21]提出的線彈性斷裂能量變分原理,解決了Griffith 能量方法需要預(yù)設(shè)裂縫路徑的難題;由于將尖銳裂縫正則化為具有一定尺度的裂縫帶,并引入在[0,1]之間連續(xù)分布的裂縫相場及其梯度描述裂縫狀態(tài),脆性斷裂相場模型非常便于通過有限元、無網(wǎng)格、物質(zhì)點(diǎn)等多種數(shù)值方法加以實(shí)現(xiàn).可以嚴(yán)格證明[22]:當(dāng)裂縫尺度趨近于零時(shí),脆性斷裂相場模型Γ-收斂于Griffith 線彈性斷裂力學(xué).

然而,脆性斷裂相場模型僅適用于脆性材料,難以合理反映具有明顯軟化段的混凝土損傷破壞行為.更糟糕的是,模型的定量分析結(jié)果存在嚴(yán)重的裂縫尺度敏感性問題:裂縫尺度越小,結(jié)構(gòu)起裂載荷和峰值載荷越大.因此,若將裂縫尺度視為數(shù)值參數(shù),則此類模型與Griffith 線彈性斷裂力學(xué)類似,同樣無法描述完好或僅有弱奇異性固體的裂縫起裂.迫不得已,研究人員只好將裂縫尺度視為材料屬性[23-25],這一處理方式仍然無法完全解決裂縫起裂問題[26-27].

近年來,筆者將斷裂力學(xué)和經(jīng)典損傷力學(xué)有機(jī)結(jié)合,建立了同時(shí)適用于脆性斷裂和準(zhǔn)脆性破壞的統(tǒng)一相場理論[28].從該理論出發(fā),不僅經(jīng)典的脆性斷裂相場模型[23,29]可以作為特例給出,還在國際上首次提出了一類相場內(nèi)聚裂縫模型PF-CZM[30-32].理論分析證明:當(dāng)裂縫尺度趨近于零時(shí),PF-CZM 收斂為一類混合型破壞的內(nèi)聚裂縫模型[33-34],能夠準(zhǔn)確預(yù)測線性軟化以及指數(shù)軟化、雙曲軟化、混凝土科內(nèi)列森軟化[35]等非線性軟化曲線.該模型同時(shí)考慮了基于強(qiáng)度的裂縫起裂準(zhǔn)則、基于能量的裂縫擴(kuò)展準(zhǔn)則以及基于變分原理的裂縫擴(kuò)展方向判據(jù),僅需少量標(biāo)準(zhǔn)材料參數(shù)即可定量預(yù)測工程結(jié)構(gòu)的損傷破壞行為;特別是,當(dāng)裂縫尺度小于某一上限時(shí),其取值對脆性斷裂和準(zhǔn)脆性破壞的分析結(jié)果幾乎不產(chǎn)生影響.歸功于上述優(yōu)點(diǎn),統(tǒng)一相場理論和相場內(nèi)聚裂縫模型一經(jīng)提出,迅速得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可和跟蹤研究[36-41].

基于上述考慮,在統(tǒng)一相場理論框架內(nèi),本工作擬進(jìn)一步考慮裂縫相場與水化反應(yīng)、熱量傳輸?shù)冗^程之間的雙向耦合影響,建立裂縫相場演化特征與混凝土水化度和溫度之間的定量聯(lián)系,提出混凝土化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型,發(fā)展相應(yīng)的多場有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)算法,并應(yīng)用于早齡期混凝土的裂縫模擬和抗裂性能預(yù)測.

1 化?熱?力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型

圖1 固體內(nèi)嵌裂縫/界面及其幾何正則化[34]Fig.1 A cracking solid and its geometric regularization[34]

相場模型中,尖銳裂縫/界面S 被彌散為如圖1所示的裂縫帶B ?Ω,其尺度記為b>0,并引入相場變量d(x) :B →[0,1]描述裂縫狀態(tài);裂縫帶B 的外邊界記為?B,其外法向矢量表示為nB.需要指出的是,在固體損傷破壞過程中,裂縫帶B 并非預(yù)先設(shè)定或保持固定,而是遵循自身特定本構(gòu)行為發(fā)生起裂、擴(kuò)展和演化等過程.類似于位移場,裂縫相場也可以施加某種強(qiáng)迫邊界條件:例如,對于彈性區(qū)域有d(x)=0;對于初始預(yù)設(shè)裂縫有d(x)=1 等.

1.1 混凝土開裂過程

首先介紹描述混凝土開裂行為的相場內(nèi)聚裂縫模型,包括裂縫相場-位移場耦合方程、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系以及本構(gòu)特征函數(shù)等.需要指出的是,早齡期混凝土的變形和力學(xué)性能與齡期或水化程度、溫度等因素有關(guān),裂縫建模時(shí)必須合理地加以考慮.

1.1.1 裂縫相場-位移場耦合方程

統(tǒng)一相場理論[28,32]中,準(zhǔn)靜態(tài)條件下開裂固體的行為由如下耦合方程描述

其中,b?為體積均布力,裂縫相場通量q和裂縫相場源Q分別表示為

式中,應(yīng)力σ 和裂縫有效驅(qū)動(dòng)力H 由下節(jié)的本構(gòu)關(guān)系給出;尺度b>0 為表征裂縫帶寬度的數(shù)值參數(shù),其值越小,裂縫帶寬越小,越接近尖銳裂縫;裂縫幾何函數(shù)α(d) ∈[0,1]和能量退化函數(shù)ω(d) ∈[0,1]分別為裂縫相場d的遞增和遞減函數(shù),并滿足條件[28,43]

這里,引入了歸一化參數(shù)cα:=,以保證固體完全破壞時(shí)單位裂縫面積的耗能為材料斷裂能屬性.

需要指出,上述相場模型隸屬于斷裂力學(xué)或梯度損傷力學(xué)領(lǐng)域的Bourdin 等[29]變分相場斷裂模型,與物理學(xué)領(lǐng)域常用的Ginzburg-Landau 相變方程[44]、Cahn-Hillard[45]或Allan-Cahn[46]相分離、晶體生長或多相流方程有明顯區(qū)別,雖然后者也曾經(jīng)被美國學(xué)者Karma 等[47]用于固體裂縫擴(kuò)展分析.

變分相場斷裂模型的理論基礎(chǔ)來源于線彈性斷裂力學(xué)中的Griffith 能量原理[48]以及后續(xù)Francfort–Marigo 提出的變分原理[21],并借鑒了圖像分割理論中Mumford-Shah 泛函[49]的Ambrosio-Tortorelli 橢圓正則化[50].因此,變分相場斷裂模型通常滿足Γ-收斂性質(zhì),即:當(dāng)正則化尺度參數(shù)b趨近于零時(shí),其近似解在能量泛函意義上收斂于原尖銳裂縫問題的精確解,具體可參見Braide[51]和Bourdin 等[22]中的證明和論述.

除應(yīng)用范圍不同外,以上變分相場斷裂模型與Ginzburg-Landau 方程主要有以下區(qū)別.

(1)Ginzburg-Landau 方程中的裂縫幾何函數(shù)通常采用雙勢阱函數(shù)α(d)=d2(1-d)2,該函數(shù)滿足性質(zhì)α(0)=α(1)=0,即裂縫相場(或序參數(shù))處于中間過渡狀態(tài)d∈(0,1)時(shí)的裂縫耗散比純相d=0 或d=1時(shí)更大,這一特點(diǎn)與材料相變、多相流或結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化等問題較為契合.然而,雖然雙勢阱函數(shù)也滿足Γ-收斂特性,但該函數(shù)在[0,1]之間不具有單調(diào)遞增性,也無法區(qū)分d=0 和d=1 這兩種截然不同的裂縫狀態(tài).因此,若將其作為裂縫幾何函數(shù),將會導(dǎo)致裂縫面積和能量耗散隨裂縫擴(kuò)展呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢,這與固體斷裂時(shí)Griffith 能量原理(即應(yīng)變能持續(xù)減小、裂縫表面能單調(diào)增大、最終總能量達(dá)到最小值)相矛盾.在斷裂力學(xué)領(lǐng)域被廣泛認(rèn)可的變分相場斷裂模型中,其裂縫幾何函數(shù)必須為裂縫相場(或序參數(shù))d的單調(diào)遞增函數(shù),且滿足條件(2a),這與裂縫擴(kuò)展的不可逆特征一致,其具體形式將在后文給出.

(2)Ginzburg-Landau 方程通常會引入與裂縫相場(或序參數(shù))一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)有關(guān)的松弛項(xiàng)或黏性項(xiàng),當(dāng)松弛模量趨近于零(或黏性系數(shù)趨近無窮大) 時(shí),方程退化為準(zhǔn)靜態(tài)式(1b)的形式.因此,此類模型先天具有一定的動(dòng)力阻尼效應(yīng).類似地,對于動(dòng)態(tài)裂縫擴(kuò)展問題,變分相場斷裂模型中的控制方程(1b)1(下標(biāo)1 指式(1b)中的第1 式,下同),其等號右邊也可以引入與裂縫相場一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)(裂縫擴(kuò)展速率)有關(guān)的粘性阻尼項(xiàng)或(和) 與裂縫相場二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)(裂縫擴(kuò)展加速度)有關(guān)的慣性項(xiàng),以描述裂縫動(dòng)態(tài)擴(kuò)展時(shí)的應(yīng)變率效應(yīng),具體參見作者的相關(guān)工作[52-53].這里僅考慮早齡期混凝土裂縫的準(zhǔn)靜態(tài)擴(kuò)展過程,因此并未引入阻尼項(xiàng)和慣性項(xiàng).

需要指出的是,這里所采用的相場內(nèi)聚裂縫模型基于作者2017 年提出的統(tǒng)一相場理論[28],雖也屬于變分相場斷裂范疇,但與脆性斷裂變分相場模型有本質(zhì)不同:歸功于后文給出的本構(gòu)特征函數(shù),相場內(nèi)聚裂縫模型Γ-收斂于Barenblatt 內(nèi)聚裂縫模型[54],而非傳統(tǒng)的Griffith 線彈性斷裂理論[48].因此,相場內(nèi)聚裂縫模型不僅同時(shí)適用于脆性斷裂,也適用于粘聚斷裂,且模型預(yù)測給出的整體響應(yīng)(包括裂縫路徑和破壞模式等定性結(jié)果以及峰值載荷和軟化段等定量結(jié)果)與裂縫正則化尺度無關(guān).

1.1.2 應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

為了考慮水化過程對混凝土變形的影響,通?？梢詫⒖倯?yīng)變張量? 分解為力學(xué)應(yīng)變?m、熱膨脹應(yīng)變?t和自收縮應(yīng)變?a三部分之和的形式,即

為簡單起見,熱膨脹應(yīng)變?t和自收縮應(yīng)變?a均假定為二階各向同性張量,分別表示為

式中,1為二階單位張量;ηt為熱膨脹系數(shù),表征與當(dāng)前溫度θ 和初始溫度θ0之差有關(guān)的熱膨脹應(yīng)變;MacAuley 括號定義為〈x〉:=max(x,0);當(dāng)水化度χ 超過閾值χ0(本文統(tǒng)一取為χ0=0.05) 后,混凝土出現(xiàn)自收縮變形,其大小與系數(shù)ηa有關(guān);ξ(χ)為截?cái)嗑€性函數(shù),表示為[55]

其中,混凝土最終水化度χ∞與水灰比w/c之間服從上述指數(shù)關(guān)系[56].

早齡期混凝土裂縫通常處于受拉張開狀態(tài),因此可采用如下各向同性損傷本構(gòu)關(guān)系

式中G0為彈性剛度張量,E0為楊氏模量;為有效應(yīng)力張量的最大主應(yīng)力,ft為材料破壞強(qiáng)度.由于齡期的影響,這里楊氏模量和材料破壞強(qiáng)度均為水化度的遞增函數(shù),詳見1.2.2 節(jié).

1.1.3 本構(gòu)特征函數(shù)

為了反映混凝土開裂引起的應(yīng)變軟化行為,相場內(nèi)聚裂縫模型采用如下裂縫幾何函數(shù)和能量退化函數(shù)[28,30-31]

對于線性軟化和混凝土常用的科內(nèi)列森軟化曲線[35],模型給出的軟化曲線如圖2 所示;其他如指數(shù)軟化、雙曲線軟化等也可以類似給出,見文獻(xiàn)[57].

圖2 相場內(nèi)聚裂縫模型PF-CZM 給出的軟化曲線[28,32]Fig.2 Softening curves given by the PF-CZM[28,32]

前期研究表明[58]:裂縫尺度b的取值越小,裂縫面積和相應(yīng)能量耗散的計(jì)算精度就越高;極限情況下,裂縫尺度b→0 時(shí),裂縫帶寬度也趨近于零,模型退化為一類混合型的內(nèi)聚裂縫模型[34].另一方面,模型給出的應(yīng)力-名義位移跳躍曲線σ(w)與裂縫尺度b無關(guān),而僅取決于彈性模量E0、破壞強(qiáng)度ft、斷裂能Gf以及軟化段參數(shù)(即初始斜率k0、裂縫極限位移wc)等材料屬性.因此,對于裂縫幾何函數(shù)和能量退化函數(shù)(8),統(tǒng)一相場理論退化為一類相場內(nèi)聚裂縫模型.于是,相場內(nèi)聚裂縫模型不僅適用于各類準(zhǔn)脆性破壞,還可通過線性軟化描述脆性斷裂[31],實(shí)現(xiàn)了固體材料結(jié)構(gòu)兩種典型破壞特征的統(tǒng)一反映;詳見文獻(xiàn)[28,31-33]中的討論.

1.2 混凝土水化過程

早齡期混凝土養(yǎng)護(hù)過程中,水化反應(yīng)會釋放熱量而導(dǎo)致材料升溫膨脹;隨后,傳導(dǎo)和對流等熱傳輸過程導(dǎo)致溫度達(dá)到最高值后逐漸降低并引發(fā)收縮變形.

一方面,裂縫會對混凝土水化反應(yīng)和熱傳輸過程產(chǎn)生影響;另一方面,混凝土力學(xué)性能也會隨著齡期或水化度而發(fā)生變化,共同構(gòu)成了一類典型的化-熱-力多場耦合問題,如圖3 所示.

圖3 早齡期混凝土開裂過程中的化-熱-力多場耦合Fig.3 Multi-physical coupling in the cracking process of ear-age concrete

1.2.1 水化度場-溫度場耦合控制方程

早齡期混凝土水化過程中,化-熱耦合問題由如下傅里葉定律和阿倫尼烏斯定律描述

式中,熱流(通量)h和水化速率˙χ 分別表示為

其中,ρc為單位體積熱容;Θ 為水化反應(yīng)所釋放的熱量,p∞為水化反應(yīng)的潛熱;熱傳導(dǎo)系數(shù)假設(shè)為二階各向同性張量且與水化度χ 無關(guān),即κ0=κ01,其中κ0為初始熱傳導(dǎo)系數(shù);邊界?Ωh上給定的熱流記為h?,邊界?Ωc上與空氣溫度θa有關(guān)的對流/輻射系數(shù)記為g?,剩余邊界?Ωθ:=?ΩΩhΩc的溫度為給定值θ?;活化能Ea表征熱生成速率,R=8.314 J/(K ·mol)為理想氣體常數(shù);對于混凝土,水化反應(yīng)演化函數(shù)φ(χ)一般可由如下多項(xiàng)式函數(shù)擬合給出[13]

系數(shù)bi(i=0,1,2,···,6) 根據(jù)等溫量熱法試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合確定,如圖4 所示.

圖4 典型混凝土水化反應(yīng)演化函數(shù)[13]Fig.4 Evolution function of the hydration reaction[13]

由式(11b)可見,早齡期裂縫演化會影響混凝土水化反應(yīng)和熱量傳輸過程.

1.2.2 混凝土齡期效應(yīng)

隨著齡期增加,混凝土表現(xiàn)出明顯的齡期效應(yīng),即彈性模量E0、破壞強(qiáng)度ft和斷裂能Gf均逐漸增大,而泊松比ν0基本保持不變.

為簡化起見,這里假設(shè)早齡期混凝土開始形成彈性模量、破壞強(qiáng)度和斷裂能的水化度閾值與自收縮應(yīng)變的水化度閾值χ0取為相同值,即考慮如下混凝土齡期效應(yīng)[4,59-60]

式中,函數(shù)ξ(χ)由式(5)給出;E∞,Gf∞和ft∞分別為水化度達(dá)到飽和χ∞時(shí)的彈性模量、斷裂能和抗拉強(qiáng)度.

上述混凝土力學(xué)性能的齡期效應(yīng)也可以采用不同的水化度閾值或其他函數(shù)形式,如文獻(xiàn)[19].此時(shí),混凝土的特征長度lch將與水化度χ 有關(guān);相應(yīng)地,相場內(nèi)聚裂縫模型中,參數(shù)a1也將隨之發(fā)生變化.另一方面,參數(shù)a2和a3僅與軟化曲線類型有關(guān),不受材料力學(xué)參數(shù)變化的影響.

2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)和求解算法

為便于有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn),通常將化-熱-力多場耦合控制方程(1)和式(11)表示為如下弱形式

式中,δθ,δχ,δu,δd分別為任意容許的節(jié)點(diǎn)溫度、水化度、位移和裂縫相場.與溫度和位移條件類似,裂縫相場d(x) 也可以施加諸如d(x∈ΩB)=0 或d(x∈S0)=1 等強(qiáng)制邊界條件,這里S0為預(yù)制裂縫.

上述弱形式的化-熱-力多場耦合問題可以采用多場有限元方法進(jìn)行空間離散,并選用合理的數(shù)值算法進(jìn)行求解.

2.1 多場有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)

在進(jìn)行有限元空間離散時(shí),可以將整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)所有單元節(jié)點(diǎn)均賦予溫度、水化度、位移和裂縫相場自由度.為提高計(jì)算效率,也可以(不一定必要)將整個(gè)計(jì)算域Ω 分為兩部分[58],即:可能出現(xiàn)裂縫的相場子區(qū)域B 和剩余部分ΩB.對于前者,單元節(jié)點(diǎn)同時(shí)具有溫度、水化度、位移和裂縫相場等自由度,而后者的單元節(jié)點(diǎn)僅考慮溫度、水化度和位移等自由度.已有研究表明[28,30-31,57,61],對于三角形常應(yīng)變單元,為保證計(jì)算精度,相場子區(qū)域B 內(nèi)的單元大小一般取為he≤b/5;四節(jié)點(diǎn)雙線性單元,其大小可適當(dāng)放寬至he≤b/3.

有限元空間離散后,溫度、水化度、裂縫相場和位移等場變量及其梯度分別表示為(數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí),張量采用Voigt 標(biāo)記)

方程組(16) 通常采用增量迭代法進(jìn)行求解,即將時(shí)間步劃分為N個(gè)子步.對于某典型子步[Tn,Tn+1],其時(shí)間增量為ΔT:=Tn+1-Tn且Tn時(shí)刻所有的狀態(tài)變量已知,在此基礎(chǔ)上采用迭代方法求解Tn+1時(shí)刻的狀態(tài)變量.

2.2 控制方程的數(shù)值求解

考慮早齡期混凝土開裂過程的時(shí)間尺度較水化作用小得多,上述多場耦合問題可以視為化-熱耦合以及裂縫相場-位移耦合兩個(gè)串行過程,分別進(jìn)行求解后判斷是否收斂;如不收斂,則重新進(jìn)行迭代.上述數(shù)值求解過程如流程圖5 所示.

圖5 化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型數(shù)值求解流程圖Fig.5 Flow chart in solving chemo-thermo-mechanical coupled problems

2.2.1 水化過程

對于水化過程,采用后退歐拉法進(jìn)行時(shí)間離散

下標(biāo)n標(biāo)識上一增量步結(jié)束后的狀態(tài)變量.

水化過程涉及的裂縫相場均采用上一增量步結(jié)束后的dn.由此,化-熱耦合方程(16)1和(16)2可采用牛頓迭代方法進(jìn)行求解,其線性化形式表示為

式中,子剛度矩陣分別表示為

上述剛度矩陣不對稱,這是耦合問題的特點(diǎn)之一.

2.2.2 開裂過程

對于早齡期混凝土開裂和演化過程,有效應(yīng)力ˉσ需考慮熱膨脹應(yīng)變?t和自收縮應(yīng)變?a,這些狀態(tài)變量可通過水化過程求解得到的溫度和水化度計(jì)算給出.相應(yīng)的,裂縫相場-位移場耦合控制方程的求解與純力學(xué)問題基本相同.

在求解耦合方程(16)3和(16)4時(shí),整體牛頓迭代或子問題交錯(cuò)迭代等算法存在收斂性差、計(jì)算速度慢等問題.近年來,筆者[62-63]首次將整體BFGS 擬牛頓迭代算法[64]應(yīng)用于這一耦合方程的求解,在保證算法收斂性的同時(shí),收斂速度和計(jì)算效率大幅度提升.這里對該算法做簡要介紹.

在整體BFGS 擬牛頓算法中,對于非線性方程組f(z)=0,其狀態(tài)變量z按如下格式進(jìn)行更新

整體BFGS 擬牛頓算法可以根據(jù)需要設(shè)置一定迭代次數(shù)(5～10 次)間隔后才對剛度矩陣?K進(jìn)行更新計(jì)算.因此,雖然所需迭代次數(shù)可能比牛頓迭代算法更多(后者不一定能收斂),但BFGS 算法計(jì)算過程較為簡單且無需每次迭代都更新剛度矩陣,計(jì)算效率通常更高.較之子問題交錯(cuò)迭代算法,整體BFGS擬牛頓算法的求解效率提高5～8 倍[62-63,66-67].

3 應(yīng)用算例

針對上述化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型,本節(jié)給出其在早齡期混凝土裂縫演化模擬和抗裂性能預(yù)測的驗(yàn)證算例.對于混凝土,采用科內(nèi)列森軟化曲線.這里,二維問題均假定為平面應(yīng)力狀態(tài),網(wǎng)格劃分采用四節(jié)點(diǎn)雙線性插值單元.

由于水化反應(yīng)過程的控制方程(11)涉及時(shí)間導(dǎo)數(shù),在求解過程中按照式(18) 進(jìn)行時(shí)間離散并需要給定節(jié)點(diǎn)溫度和節(jié)點(diǎn)水化度的初始值.算例1 中,節(jié)點(diǎn)溫度的初始值取為室溫20°C,算例2 中,節(jié)點(diǎn)溫度的初始值取為室溫21°C;算例1 和算例2 中,節(jié)點(diǎn)水化度的初始值均取為0.

3.1 帶方形孔早齡期混凝土圓板收縮開裂[18]

首先考慮如圖6 所示的早齡期混凝土圓形板,其外直徑為0.5 m,方形孔的尺寸為0.4 m.材料參數(shù)由文獻(xiàn)[13,18]給出(詳見表1);所采用混凝土水化反應(yīng)演化函數(shù)如圖4 所示.由于模型具有對稱性,建模時(shí)僅考慮右上角1/4 模型,并分別在模型左側(cè)和底部施加X向和Y向位移約束.

圖6 帶方形孔圓板收縮開裂:試件幾何尺寸、邊界和環(huán)境條件[18]Fig.6 A circular plate with a square hole:Specimen geometry,boundary and environment conditions[18]

表1 帶方形孔早齡期混凝土圓形板模型參數(shù)取值Table 1 Model parameters for the cracking analysis of an early-age circular concrete?plate with a square hole

首先考慮裂縫尺度對數(shù)值模擬結(jié)果的影響.模擬中,采用b=5 mm 和b=10 mm 兩種裂縫尺度,相應(yīng)的單元大小取為he=b/5.模擬給出典型時(shí)刻的裂縫相場云圖如圖7 所示.可以看出,裂縫尺度b的取值大小僅改變損傷帶的寬度,而對裂縫路徑和破壞模式幾乎沒有任何影響.

圖7 帶方形孔圓板收縮開裂:不同時(shí)刻的裂縫相場云圖(上排:b=10 mm;下排: b=5 mm)Fig.7 A circular plate with a square hole:Predicted damage profiles at various instants(top: b=10 mm;bottom: b=5 mm)

圖8 給出了兩種尺度參數(shù)情況下圓形板內(nèi)、外邊緣和中間位置處混凝土的溫度、水化度、彈性模量、破壞強(qiáng)度以及斷裂能隨養(yǎng)護(hù)齡期的演化曲線.同樣,相場尺度參數(shù)b不影響上述定量計(jì)算結(jié)果.

圖8 帶方形孔圓板收縮開裂:不同位置處溫度、水化度和典型力學(xué)參數(shù)隨時(shí)間的演化曲線Fig.8 A circular plate with a square hole:Predicted evolution curves of the temperatures,hydration degrees and mechanical properties

對于b=5 mm 和he=1 mm 情況,圖9 中給出了不同時(shí)刻的裂縫相場、溫度場和水化度場云圖.可以看出,早齡期混凝土的裂縫演化過程主要分為以下3個(gè)階段:

圖9 帶方形孔圓板收縮開裂:不同時(shí)刻的裂縫相場、溫度場和水化度場云圖Fig.9 A circular plate with a square hole:Predicted evolution curves of the temperatures and hydration degrees at various instants

(1)時(shí)間段[0 h,16 h]:水化加速和裂縫起裂階段.該階段混凝土水化度快速增大,水化反應(yīng)釋放的熱量超過周邊環(huán)境對流和熱傳導(dǎo)引起的熱量損失,導(dǎo)致混凝土溫度升高,方孔邊緣處混凝土的最高溫度可達(dá)35.3°C.熱膨脹變形引起方形孔頂點(diǎn)處應(yīng)力集中,裂縫起裂首先出現(xiàn)此處.

(2)時(shí)間段[22 h,80 h]:水化減速和裂縫緩慢發(fā)展階段.該階段水化速率降低,釋放的熱量小于環(huán)境對流和熱傳導(dǎo)引起的熱量損失,導(dǎo)致混凝土溫度降低,材料逐漸從熱膨脹變形轉(zhuǎn)變?yōu)槭湛s變形.由于水化作用,混凝土獲得了70%的破壞強(qiáng)度,足以抵抗熱膨脹和自收縮引起的裂縫擴(kuò)展,該階段裂縫發(fā)展緩慢.

(3) 時(shí)間段[80 h,+∞]:水化減速和裂縫迅速擴(kuò)展并貫穿階段.該階段,自收縮應(yīng)變進(jìn)一步增大,方形孔頂點(diǎn)位置處的拉應(yīng)力逐漸增加并超過破壞強(qiáng)度,致使裂縫迅速擴(kuò)展并最終貫穿整個(gè)試件,應(yīng)力得到釋放.最后,混凝土獲得了80%左右的破壞強(qiáng)度,其他部位不再有裂縫進(jìn)一步發(fā)展.

可以看出,在不同階段,混凝土熱膨脹變形和自收縮變形兩種機(jī)制相互競爭,并對早齡期混凝土的應(yīng)力發(fā)展和抗裂性能產(chǎn)生顯著影響.

與純力學(xué)載荷作用下的分析結(jié)果類似,化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型的數(shù)值模擬結(jié)果不受裂縫尺度和網(wǎng)格大小影響,能夠合理描述早齡期混凝土水化反應(yīng)和熱量傳輸耦合作用下復(fù)雜的開裂過程,特別是熱膨脹變形和自收縮變形這兩類相互競爭的物理機(jī)制得到了準(zhǔn)確反映.

3.2 受約束圓環(huán)試驗(yàn)收縮開裂試驗(yàn)

考慮如圖10 所示的受約束圓環(huán)收縮開裂試驗(yàn)[68].

圖10 約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):試件幾何尺寸和環(huán)境條件[68]Fig.10 Restrained concrete ring test:Specimen geometry and environment conditions[68]

混凝土圓環(huán)試件的厚度為75 mm,內(nèi)直徑為150 mm,外直徑為300 mm.試驗(yàn)中考慮了3.1 mm,9.5 mm 和19.0 mm 3 種厚度的約束鋼環(huán)(其中,3.1 mm 厚度圓環(huán)試件由于剛度較小、約束效應(yīng)較低,混凝土試件并未開裂,故這里僅考慮后兩種厚度情況),并通過貼在鋼環(huán)中部位置的4 個(gè)應(yīng)變片監(jiān)測鋼環(huán)應(yīng)變.所采用的材料(水灰比w/c=0.3 的砂漿)和模型參數(shù)見表2;混凝土水化反應(yīng)演化函數(shù)如圖11 所示.

表2 受約束圓環(huán)試驗(yàn)收縮開裂試驗(yàn)參數(shù)取值Table 2 Model parameters for the cracking analysis of a constrained concrete ring

圖11 約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):混凝土水化反應(yīng)演化函數(shù)Fig.11 Restrained concrete ring test:Evolution function of the hydration reaction

類似地,為考察裂縫尺度和網(wǎng)格大小的影響,數(shù)值模擬采用兩種裂縫尺度b=2.5 mm 和b=5.0 mm,相應(yīng)的單元網(wǎng)格大小取為he=b/5.

圖12 和圖13 分別給出了9.5 mm 和19.0 mm 兩種厚度試件不同時(shí)刻的裂縫相場云圖.可以看出,在開始階段,由于試件的環(huán)向應(yīng)力均勻,微裂縫沿內(nèi)邊緣均勻分布;隨著齡期增長,收縮應(yīng)變增大,由于隨機(jī)性的影響(這里體現(xiàn)為網(wǎng)格劃分引起的數(shù)值誤差),部分微裂縫較其他裂縫擴(kuò)展更為明顯,但混凝土強(qiáng)度也逐漸提高,導(dǎo)致該階段總體上裂縫擴(kuò)展緩慢;隨著齡期進(jìn)一步增長,收縮應(yīng)變顯著增大,導(dǎo)致環(huán)向某一位置出現(xiàn)控制性宏觀裂縫并迅速擴(kuò)展至圓環(huán)試件外邊緣.

圖12 約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):兩種相場尺度參數(shù)條件下不同時(shí)刻的裂縫相場云圖模擬結(jié)果(圓環(huán)厚度19 mm)Fig.12 Restrained concrete ring test:Predicted contours of the crack phase-field at various time instants for different length scale parameters(thickness of the steel ring:19 mm)

圖13 約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):兩種相場尺度參數(shù)條件下不同時(shí)刻的裂縫相場云圖模擬結(jié)果(圓環(huán)厚度為9.5 mm)Fig.13 Restrained concrete ring test:Predicted contours of the crack phase-field at various time instants for different length scale parameters(thickness of the steel ring:9.5 mm)

數(shù)值模擬給出的9.5 mm 和19.0 mm 兩種厚度圓鋼環(huán)應(yīng)變演化曲線與試驗(yàn)結(jié)果的對比如圖14 所示.可以看出,考慮化-熱-力多場耦合效應(yīng)的相場內(nèi)聚裂縫模型能夠反映兩種不同厚度鋼環(huán)試件的應(yīng)變演化規(guī)律,特別是能夠準(zhǔn)確地預(yù)測混凝土開裂后、環(huán)向拉應(yīng)力得到釋放導(dǎo)致鋼環(huán)所受壓應(yīng)力迅速降低、壓應(yīng)變出現(xiàn)陡降等典型特征.

圖14 約束混凝土圓環(huán)試驗(yàn):圓環(huán)應(yīng)變演化曲線Fig.14 Restrained concrete ring test:predicted evolution curves of the compressive strains of the steel ring at various time instants

同樣,與純力學(xué)載荷作用下的結(jié)果類似,無論是定性的裂縫演化過程、亦或是定量的圓環(huán)壓應(yīng)變演化曲線,裂縫尺度和網(wǎng)格大小對預(yù)測結(jié)果幾乎不產(chǎn)生影響,這一結(jié)果對模型應(yīng)用于實(shí)際混凝土結(jié)構(gòu)早齡期裂縫演化過程的準(zhǔn)確模擬、抗裂性能的定量預(yù)測至關(guān)重要.

4 結(jié)論與展望

針對早齡期混凝土的抗裂性能預(yù)測和裂縫擴(kuò)展全過程模擬,本工作在統(tǒng)一相場理論的理論框架內(nèi),采用相場內(nèi)聚裂縫模型描述裂縫相場-位移場耦合效應(yīng),進(jìn)一步考慮了溫度引起的混凝土熱膨脹變形、水化反應(yīng)導(dǎo)致的混凝土收縮和隨齡期變化的力學(xué)性能(彈性模量、抗拉強(qiáng)度和斷裂能等),以及裂縫對水化過程和傳熱過程的影響,建立了化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型.

與純力學(xué)載荷作用下的相場內(nèi)聚裂縫模型一樣,該模型同時(shí)融入了基于強(qiáng)度的裂縫起裂準(zhǔn)則、基于能量的裂縫擴(kuò)展準(zhǔn)則以及基于變分原理的裂縫擴(kuò)展方向判據(jù),因此能夠描述早齡期混凝土水化作用和熱量傳輸引起的復(fù)雜裂縫起裂和演化過程.不同的是,刻畫裂縫起裂的混凝土抗拉強(qiáng)度并非固定值,而是隨齡期增長而逐漸增大并趨于最終強(qiáng)度;類似地,隨齡期變化的混凝土彈性模量和斷裂能,也影響著早齡期混凝土的力學(xué)性能和裂縫演化行為.因此,不同階段的水化作用和熱量傳輸導(dǎo)致混凝土變形在熱膨脹和自收縮之間相互競爭,并對混凝土的早齡期抗裂性能產(chǎn)生顯著影響.

上述化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型可以采用有限元等數(shù)值方法加以實(shí)現(xiàn),相應(yīng)單元節(jié)點(diǎn)的自由度除位移和裂縫相場外,還包括溫度和水化度.考慮到水化過程和傳熱過程的時(shí)間尺度遠(yuǎn)比開裂過程大,將化-熱-力多場耦合作用作用下早齡期混凝土的裂縫演化過程視為化學(xué)-熱學(xué)耦合以及位移-裂縫相場耦合兩個(gè)串行過程并分別進(jìn)行求解.前者采用標(biāo)準(zhǔn)的牛頓迭代方法進(jìn)行求解,而后者則利用筆者近期發(fā)展的整體BFGS 擬牛頓算法,實(shí)現(xiàn)收斂性和計(jì)算效率的雙提升.

數(shù)值算例表明,所提出的化-熱-力多場耦合相場內(nèi)聚裂縫模型不僅能夠描述早齡期混凝土水化反應(yīng)和熱量傳輸條件下復(fù)雜的裂縫演化過程,特別是熱膨脹變形引起的裂縫起裂以及自收縮變形導(dǎo)致的裂縫擴(kuò)展這兩類相互競爭的裂縫演化機(jī)制,而且數(shù)值模擬結(jié)果不受裂縫尺度和網(wǎng)格大小的影響,實(shí)現(xiàn)了早齡期混凝土抗裂性能的準(zhǔn)確預(yù)測.

需要指出的是,上述工作忽略了徐變變形(包括基本徐變和瞬態(tài)徐變)[20,69]以及水分揮發(fā)引起的干縮裂縫[1,70]對混凝土早齡期力學(xué)性能的影響,這將在后續(xù)研究中進(jìn)一步加以考慮.