高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題多元化解題思路探討

賴偉紅

摘要：數(shù)學(xué)作為高中的重點(diǎn)科目之一，函數(shù)更是重中之重，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)具有重要的意義。為此，為提高學(xué)生的函數(shù)解題能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，本文將采用多元化解題方法，從多個(gè)角度、多個(gè)層面進(jìn)行引導(dǎo)啟發(fā)，旨在通過發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、開放思維的培養(yǎng)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握，提高問題解決能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);函數(shù)問題;多元化思維;解題思路

中圖分類號(hào)：G623.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）06-074

解決數(shù)學(xué)問題，其實(shí)就是解決數(shù)量問題的一個(gè)過程，旨在通過探究題目中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和數(shù)量結(jié)構(gòu)，探尋最佳解題思路[1]。但是，若是將解題思路禁錮于一個(gè)固定的模式，思維便會(huì)非常被動(dòng)，導(dǎo)致學(xué)生無法對(duì)所給出的信息進(jìn)行判斷和分析，從而出現(xiàn)解題失誤的現(xiàn)象。為此，為提高函數(shù)問題解決能力，本文將以多元化解題教學(xué)為輔助，通過培養(yǎng)發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、開放思維等，提高函數(shù)課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

一、高中函數(shù)多元化解題思路的意義

數(shù)學(xué)與我們?nèi)粘Ｉ钣兄o密的關(guān)聯(lián)，在高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到：在教學(xué)的時(shí)候，要?jiǎng)?chuàng)造性、靈活性地進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]。而函數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，函數(shù)問題解題思路的多元化實(shí)施，既可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新創(chuàng)造能力，又可以發(fā)散思維，提高解題效率。同時(shí)，在高中函數(shù)問題多元化解題教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)層面進(jìn)行問題分析，既可以提高邏輯能力，又可以提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。由此可見，其運(yùn)用的意義。

二、高中函數(shù)多元解題思路的原則

1.主體性原則

對(duì)于教育教學(xué)而言，學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，不論是教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，還是教學(xué)方法的運(yùn)用，其根本目的是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。為此，在高中函數(shù)多元化解題教學(xué)中，為提高學(xué)生的問題解決能力，在教學(xué)的時(shí)候，要遵從主體性的原則，根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用多個(gè)方法進(jìn)行問題引導(dǎo)，在多方法，多思路解題分析的過程中，加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和掌握，從而提高函數(shù)課堂教學(xué)質(zhì)量。

2.關(guān)聯(lián)性原則

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，對(duì)于高考而言，在解析函數(shù)問題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)考察多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是基于知識(shí)整合進(jìn)行的問題設(shè)計(jì)。這就要求，在解析函數(shù)問題的時(shí)候，要遵從其各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間關(guān)聯(lián)性的原則，從多個(gè)知識(shí)層面、多個(gè)角度進(jìn)行分析探索，在關(guān)聯(lián)引導(dǎo)的過程中，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，通過多元化解題教學(xué)，提高函數(shù)問題解決能力，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。

三、高中函數(shù)多元化解題思路的路徑

1.關(guān)聯(lián)多個(gè)知識(shí)，發(fā)散思維

函數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)的比例非常大，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間都有著潛在的關(guān)聯(lián)性[3]。在高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到：在教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，整合所學(xué)知識(shí)，使其能夠靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題。為此，在教學(xué)的時(shí)候，為滲透多元化解題教學(xué)法，可以關(guān)聯(lián)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從多方面學(xué)習(xí)內(nèi)容入手，發(fā)散思維，在多元解題中，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用，從而提高函數(shù)問題解決能力。

例如，在解析函數(shù)最值問題時(shí)：

求函數(shù)y=3x-1+8-2x的最大值。

【解題分析】在運(yùn)用多元化解題的時(shí)候，首先，可以利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，將此函數(shù)看作目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行求解，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，將原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到可行域，找到其滿足的關(guān)系，進(jìn)行求解分析。其次，可以利用平面向量有關(guān)知識(shí)，將函數(shù)問題看做形似兩個(gè)平面向量的坐標(biāo)，找到不等關(guān)系，利用平面向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解，最后，從代數(shù)知識(shí)進(jìn)行分析。通過多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的解題分析，創(chuàng)新解題思路，提高函數(shù)問題解題質(zhì)量，如：

解法一：

將函數(shù)y=3x-1+8-2x看作目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)形如z=ax+by，將原函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如：u=x-1，v=4-x，得到：y=3u+2v

然后找到其可行域，通過尋找u和v滿足的關(guān)系形成的區(qū)域進(jìn)行求解，在此過程中，可以回到原題中，得到定義域?yàn)椋?/p>

x-1≥0

8-2x≥0 → x∈[1，4]

根據(jù)u，v是x的函數(shù)，得到u=x-1∈[0，3]，v=4-x∈[0，3]，通過觀察函數(shù)可以得到可行為：

0≤u≤30≤v≤3u2+v2=3

隨后將y=3u+2v轉(zhuǎn)化為u=-23V+y3，求解y的最大值，也就是求函數(shù)u的最大值，隨后作目標(biāo)函數(shù)與圓的函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)在第一現(xiàn)象相切的時(shí)候取得最大值，

由d=︱-y︱9+2=y11=3，y=33.

解法二：

函數(shù)y=3x-1+8-2x的定義域?yàn)閇1，4]

令a=x+13，b=8-2x2

則：y=9a+2b

可知：9個(gè)a與2個(gè)b的平均數(shù)n=y11，

得到方程s2=9a2+2b211-（y11）2=311-（y11）2≥0

得：y2≤33

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=y11，即x=3811時(shí)y最大，為33。

解法三：

將函數(shù)y=3x-1+8-2x先化簡得到：y=3x-1+24-x

從平面向量角度出發(fā)，令a=（3，2），b=（x-1，4-x）

則y=a·b，求y的最大值，可以先得到y(tǒng)=3x-1+24-x≤c（c為常數(shù)），然后通過尋找不等關(guān)系，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義：

a·b=︱a︱×︱b︱×cos〈a，b〉，由cos〈a，b〉∈（-1，1）得到不等關(guān)系：

y=a·b=︱a︱×︱b︱×cos〈a，b〉≤︱a︱×︱b︱

當(dāng)且僅當(dāng)兩向量同向時(shí)取得等號(hào)，根據(jù)平面向量模的計(jì)算公式，得到y(tǒng)的最大值為33。

設(shè)計(jì)分析：通過多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域的深入探究，在多角度解題分析，多視角、多層面解題探索中，引導(dǎo)其靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解題，在多個(gè)知識(shí)探索學(xué)習(xí)的過程中，開闊學(xué)生視野，提高對(duì)函數(shù)問題的認(rèn)識(shí)。以此來促進(jìn)高效教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)函數(shù)解題能力。

2.創(chuàng)設(shè)多個(gè)方法，開放思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高解題能力，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是關(guān)鍵。對(duì)于函數(shù)解題教學(xué)也不例外，為培養(yǎng)學(xué)生開放思維，加深對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握和理解，提高問題解決能力，可以創(chuàng)設(shè)多個(gè)方法為輔助，融入數(shù)學(xué)思想，深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，在多方法探究中，使其能夠創(chuàng)造性地進(jìn)行問題分析、探索。

例如，在解決這一函數(shù)問題：

已知

f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0

，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）

A （-∞，0]B （-∞，1]C [-2，1]D [-2，0]

【解題分析】在解析這一問題的時(shí)候，根據(jù)題意，可以看出此題所涉及到的函數(shù)有y=|f（x）|和y=ax，那么，在解題的時(shí)候，首先便可以采用數(shù)形結(jié)合的方法為輔助，以函數(shù)圖形為基準(zhǔn)，培養(yǎng)數(shù)形分析能力。然后，讓學(xué)生觀察問題本質(zhì)，關(guān)聯(lián)題意，將不等式|f（x）|≥ax的絕對(duì)值符號(hào)除去，利用分類討論法進(jìn)行求解。通過數(shù)形結(jié)合思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想的滲透，在多元解題中，開放思維。如：

解法一：探測(cè)數(shù)形，分類討論

根據(jù)問題，讓學(xué)生做出有關(guān)函數(shù)圖像，如圖：

在作圖完成之后，可以得到y(tǒng)=ax是過原點(diǎn)的一條直線，然后按照題意，得到：

直線y=ax在函數(shù)y=|f（x）|的圖像的下方或有公共點(diǎn)。

在基礎(chǔ)分析完結(jié)之后，根據(jù)|f（x）|≥ax等進(jìn)行分類討論：

當(dāng)a<0時(shí)，可以知道，即使a很小，但是如果正數(shù)x足夠大，那么，直線y=ax和y=|f（x）|的圖像相交后，會(huì)位于y=|f（x）|的圖像的上方。

當(dāng)a=0的時(shí)候，滿足。

當(dāng)a>0，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相切的情形，進(jìn)行聯(lián)立方程組，消除y，可以得到x2-（2+a）x=0，然后由△=（2+a）2=0，可以得到a的值，最后再結(jié)合數(shù)形，可以知道a∈（-2，0）時(shí)滿足，然后綜合以上，可以得到正確選項(xiàng)為D。

解法二：分類討論，代數(shù)結(jié)合

就x≤0，和x>0進(jìn)行分類討論，解除進(jìn)行代數(shù)分析，如：

當(dāng)x≤0時(shí)，不等式|f（x）|≥ax，得到x2-（2+a）x≥0，根據(jù)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，可以得到：2+a2，a≥-2。

當(dāng)x>0，|f（x）|≥ax，ln（x+1）-ax≥0，然后通過構(gòu)造函數(shù)的方法，得到：

g（x）=ln（x+1）-ax，g（x）=1x+1-a。

然后分析a的情況：

①a≤0，g（x）>0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）>g（0）=0，滿足。

②a>0，g（x）在（0，1a-1）上單調(diào)遞增，在（1a-1，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x>x0時(shí)，ln（x+1）ax，a>0，不滿足。綜合以上選D。

設(shè)計(jì)分析：在此次解題教學(xué)中，運(yùn)用了分類討論法和數(shù)形結(jié)合、代數(shù)等方法，都是基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，使其掌握解題方法為目標(biāo)進(jìn)行多元化教學(xué)，既可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)問題解題本質(zhì)，又可以在數(shù)形探索、分類討論、代數(shù)學(xué)習(xí)中，提高數(shù)學(xué)思維能力，在開放性解題中，促進(jìn)思維多元發(fā)展。由此可見，多方法解題，對(duì)提高函數(shù)教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有良好的促進(jìn)作用，在具體實(shí)踐的時(shí)候，可以充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法為輔助，緊扣課標(biāo)要求，立足學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)，在多元解題中，提高函數(shù)教學(xué)質(zhì)量。

綜上所述，高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題多元化解題教學(xué)，對(duì)提高學(xué)生的問題解決能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的意義。在具體實(shí)踐中，教師要重視多元化解題教學(xué)，開闊視野，解放思維，通過關(guān)聯(lián)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)、多個(gè)角度分析、多個(gè)方法探尋等，發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、開放思維，在提升思維能力的基礎(chǔ)上，提高解題能力，滿足學(xué)生學(xué)習(xí)發(fā)展需求，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

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[3]馬振海.解讀高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法[J].新課程，2020（33）：135.

（作者單位：廣東省清遠(yuǎn)市英德市第一中學(xué)，廣東 清遠(yuǎn) 513000）