基于L-BFGS-B局部極小化的自適應(yīng)尺度CLEAN算法

張利 肖一凡 米立功 盧梅 趙慶超 王蓓 劉祥 張明 謝泉

摘 要：干涉陣列存在的點擴(kuò)展函數(shù)旁瓣使得觀測到的射電源出現(xiàn)不同程度的失真，對重建宇宙真實結(jié)構(gòu)圖景和理解宇宙起源造成影響。為解決觀測中出現(xiàn)的偽影，本文在現(xiàn)有的CLEAN算法的基礎(chǔ)上，提出了基于L-BFGS-B局部極小化的自適應(yīng)尺度CLEAN算法。首先，基于L-BFGS-B局部極小化算法通過最小化目標(biāo)函數(shù)，尋找最優(yōu)分量，構(gòu)建自適應(yīng)尺度模型;其次，通過CASA實現(xiàn)對測試圖像的重建，對比目前廣泛使用的Hgbom CLEAN算法的重建圖像，評估本文算法性能;最后，對反卷積算法在射電天文圖像處理領(lǐng)域的發(fā)展做出展望。測試結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)的算法，本文提出的算法能夠構(gòu)建更加精準(zhǔn)的天空亮度分布，為天文圖像重建提供一種新的方案。

關(guān)鍵詞：L-BFGS-B算法;自適應(yīng)尺度CLEAN算法;射電天文圖像處理

中圖分類號：TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

通過觀測所接收到的電磁輻射來認(rèn)識宇宙結(jié)構(gòu)，理解宇宙起源及演化，是人類不斷追求的目標(biāo)。在射電波段對天體和宇宙開展研究的天文學(xué)分支稱為射電天文學(xué)。近年來，射電天文學(xué)取得了顯著突破，包括脈沖星和中子星[1]、星系中的暗物質(zhì)[2]、由超大質(zhì)量黑洞驅(qū)動的射電星系[3]和類星體[4]等，這對于理解宇宙、恢復(fù)宇宙圖景具有重要意義。

研究宇宙演化的重要手段之一是研究射電天文圖像及其結(jié)構(gòu)變化。由于銀河系外天體（例如類星體和星系）的射電輻射到達(dá)地球時信號已經(jīng)非常微弱，只有借助具有較高靈敏度的大型射電干涉陣列才能檢測到這些信號。目前已建成的大型干涉陣列包括巨米波射電望遠(yuǎn)鏡（giant metrewave radio telescope， GMRT）、默奇森寬場陣列望遠(yuǎn)鏡（murchison widefield array，MWA）、低頻陣列射電望遠(yuǎn)鏡（low frequency array，LOFAR），此外還有若干正在建設(shè)的新型干涉陣列，例如平方公里射電陣（square kilometre array，SKA）。

隨著越來越多的巡天計劃的實施和大型干涉陣列的建成，人們能夠得到海量天文數(shù)據(jù)，但是望遠(yuǎn)鏡數(shù)量有限和地球自轉(zhuǎn)綜合造成的稀疏采樣使射電天文圖像變得模糊。為了對源的結(jié)構(gòu)特性做更精準(zhǔn)的分析，需要對觀測到的射電天文圖像進(jìn)行去模糊處理。Hgbom[5]開創(chuàng)性地提出了CLEAN反卷積算法，通過迭代識別點源并消除點擴(kuò)展函數(shù)（PSF）的影響，有效解決由于稀疏采樣引起的圖像模糊問題。該算法的提出具有超越時代的意義，并延伸應(yīng)用到其它領(lǐng)域。CLARK算法[6]和Cotton-Schwab算法[7]對其作出改進(jìn)，在提高反卷積速度的同時，減少算法誤差，對展源的處理更加精準(zhǔn)。然而點源分解機(jī)制和點擴(kuò)展函數(shù)的旁瓣導(dǎo)致包含延展源和復(fù)雜特征的重建圖像中出現(xiàn)條紋（stripes）。研究人員提出了一些改進(jìn)算法解決該問題，例如，尺度敏感的CLEAN算法[8-12]，利用尺度基函數(shù)將天文圖像參數(shù)化，以表達(dá)像素之間的相關(guān)性，從而進(jìn)一步消除圖像殘差，但對于重建圖像質(zhì)量仍有提升空間。本文提出一種自適應(yīng)尺度CLEAN算法，通過局部極小化目標(biāo)函數(shù)，尋找最優(yōu)分量，以提高反卷積的性能，從而更加精準(zhǔn)地重建射電天文圖像。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 干涉成像原理

天空亮度分布可以分解為奇對稱成分和偶對稱成分，在射電天文望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行動態(tài)范圍成像時，使用一對cosine 和 sine 相關(guān)器的組合，即復(fù)相關(guān)器，來輸出天空圖像的可見度：

V=Rc-iRs=∫I（s^）exp（-2π·s^λ）dΩ。 （1）

其中，Rc和Rs分別表示“cosine”和“sine”相關(guān)器的輸出，I（s^）表示表面亮度分布，b表示天線之間的基線矢量，s^表示輻射源的方向矢量，λ表示波長。

在（u，v，w）直角坐標(biāo)系中（如圖1），其中，基線矢量為b=（u，v，w），方向矢量s^=（l，m，1-l2-m2），輻射源的立體角dΩ=dldm/1-l2-m2，其中，l和m分別表示s^對u軸和v軸的投影長度，天空可見度可表示為：

V（u，v，w）=Iv （l，m）1-l2-m2exp[-2πi（ul+vm+w1-l2-m2）]dldm。（2）

在滿足小視場成像和所有基線矢量共面的情況下，上式可消去w額外項，變?yōu)槎S傅里葉變換，然后通過逆傅里葉變換，得到天空亮度分布。

受限于干涉陣列的天線數(shù)目和基線的長度范圍，所觀測的uv平面覆蓋不完全，因此無法獲得天空亮度分布的全部信息，傅里葉逆變換僅能得到臟圖Idirty（l，m），

Idirty（l，m）1-l2-m2=V（u，v）S（u，v）exp[-2πi（ul+vm）]dldm。（3）

其中，S（u，v）表示采樣函數(shù)。采樣函數(shù)是干涉陣列的點擴(kuò)展函數(shù)B（l，m）的傅里葉變換。根據(jù)卷積定理，上式可表示為：

Idirty（l，m）=I（l，m）*B（l，m）。 （4）

臟圖存在明顯的旁瓣等干擾，無法反映真實的天空亮度分布，因此利用反卷積算法，例如CLEAN算法、最大熵算法[14]，從臟圖中盡可能地對真實射電天文圖像進(jìn)行重建。

1.2 Hgbom CLEAN算法

Hgbom提出的CLEAN算法將天空亮度分布假設(shè)為一系列點源集合，在圖像域中通過迭代潔化的過程，消除臟圖中的旁瓣效應(yīng)。對Hgbom CLEAN（Hg-CLEAN）算法的具體實現(xiàn)過程如下：

步驟1 尋找臟圖中最大絕對亮源，取其位置（xi，yi）和幅度ai作為初始參數(shù);

步驟2 更新模型分量，Imodeli=Imodeli-1+g×aiδ（x-xi）（y-yi）。 （5）

其中，g表示循環(huán)增益;

步驟3 更新第i次殘差圖像，

Iiresidual=Idirty-B（l，m）*Iimodel。（6）

其中，*表示卷積運(yùn)算;

步驟4 重復(fù)步驟1—3，直到迭代次數(shù)超過預(yù)設(shè)閾值或殘差圖像中的最大值小于規(guī)定的噪聲水平時停止。將潔束卷積模型圖像，再加上殘差圖像，得到恢復(fù)出來的圖像。

這種算法對于點源集合的處理具有很好的效果，然而點源無法表示延展源中像素間的相關(guān)性，因此不能很好地重建展源。

2 基于L-BFGS-B局部極小化的自適應(yīng)尺度CLEAN算法

受CLEAN算法[5，12]和文獻(xiàn)[15]的啟發(fā)，本文提出一種L-BFGS-B局部極小化的自適應(yīng)尺度CLEAN算法，和其它CLEAN算法的變種一樣，使用相同的框架[10]。本文引入的L-BFGS-B算法由L-BFGS算法[16]改進(jìn)得到，是一種基于梯度投影的非線性優(yōu)化方法。該方法結(jié)合原有算法的Hessian、線搜索算法和信任域方法應(yīng)用于更新過程。

L-BFGS-B算法的迭代公式為：

xi+1=xi-αiHifi。（7）

其中，αi表示步長調(diào)節(jié)因子，Hi為Hessian矩陣，fi為多維一階向量梯度。Hi通過公式在每次迭代中更新參量，

ρi=1yiTsi;（8）

Vi=I-ρiyisiT; （9）

si=xi+1-xi; （10）

yi=fk+1-fk。 （11）

在本文算法的每一次迭代中，L-BFGS-B算法按照以下步驟尋找最優(yōu)解：

步驟1 結(jié)合信任域方法，根據(jù)下列公式在點xi附近用二次型模型對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行局部擬合，計算柯西點的近似值，

m（x）=f（xi ）+giT（x-xi ）+（x-xi）THi2。（12）

其中，（）T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算，Hi表示在第i次迭代的Hessian矩陣;

步驟2 通過直接法、共軛梯度法或?qū)ε挤ㄓ嬎闼阉鞣较騞k;

步驟3 依據(jù)問題的約束條件，沿搜索方向dk進(jìn)行線性搜尋，計算步長調(diào)節(jié)因子αk，更新參數(shù)xk+1=xk+αkdk，以尋找函數(shù)的最小值;

步驟4 采用L-BFGS-B算法更新Hessian矩陣Hk，同時檢查是否收斂。

重復(fù)步驟1—4，直到滿足L-BFGS-B算法的3個停止準(zhǔn)則之一：達(dá)到最大迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)的減少量變小時，投影梯度的范數(shù)足夠小時，循環(huán)終止。從而得到函數(shù)最小值，閾值的選擇取決于臟圖和點擴(kuò)展函數(shù)的實際情況。

然后，利用一系列高斯函數(shù)對殘差圖像進(jìn)行平滑處理，取結(jié)果的最大值作為初始參數(shù)，

ωi=ωic2-ωb2。（13）

其中，ωi表示第i次迭代中重新計算得到的高斯模型的尺寸，ωic表示第i次迭代中由最小化算法擬合殘差得到的高斯模型尺寸，ωb是點擴(kuò)展函數(shù)的高斯模型尺寸的近似值。優(yōu)化后的幅值ai可由下式計算得到：

ai=aicωic22πabωb2ωi2。（14）

其中，aic和ab分別表示擬合殘差得到的幅值和點擴(kuò)展函數(shù)的模型幅值。接著，計算模型尺度的大小，并根據(jù)高斯尺度得到第i次擬合后的模型分量：

Iiguass=∑Ni=1aiexp-12（x-xi）2+（y-yi）2ωi2。 （15）

使用該最優(yōu)分量對模型圖像進(jìn)行更新，同時利用循環(huán)增益g對模型分量進(jìn)行優(yōu)化，以建立更加精確的天空模型，

Iimodel=Imodeli-1+gIigauss。 （16）

其中，Iimodel表示第i次迭代的模型圖像。接著利用模型圖像計算殘差圖像，更新第i次殘差圖像，

Iiresidual=Idirty-B（l，m）*Iimodel。 （17）

其中，*表示卷積運(yùn)算。對模型和殘差圖像進(jìn)行循環(huán)更新，直到滿足最大迭代次數(shù)或者達(dá)到噪聲水平時停止，得到最后的模型圖像Imodel和殘差圖像Iresidual，重建后的圖像Irestored表示如下公式：

Irestored=Bclean*Imodel+Iresidual。（18）

其中，Bclean為擬合主瓣得到的干凈光束。改進(jìn)后的算法流程如圖2所示。

本文采用L-BFGS-B算法對分量進(jìn)行更準(zhǔn)確的擬合。對比Hg-CLEAN算法，該算法通過對最小化目標(biāo)函數(shù)部分的優(yōu)化，能夠?qū)μ炜樟炼确植甲龀龈珳?zhǔn)的建模，使重建后的圖像更加接近真實天空圖像。

3 試驗結(jié)果分析與算法評估

本文使用天文通用軟件包（common astronomy software applications，CASA）模擬JVLA B陣型觀測仙女星系M31圖像，并用于驗證新算法的性能，圖像尺寸為256×256像素。圖3展示了本算法重建圖像前后的對比效果。對比圖3（a）中參考的干凈天空圖像，圖3（b）顯示了在點擴(kuò)展函數(shù)旁瓣影響下的臟圖，其中包含大量的旁瓣，造成圖像中天體的細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)模糊不清。圖3（c）是本文算法實現(xiàn)的圖像重建效果，從圖中能夠觀察到，臟束的旁瓣效應(yīng)基本被消除，天空圖像中的點源和展源附近的模糊得到較好的處理，說明本文算法能夠從臟圖中有效重建天空圖像。

相對于Hg-CLEAN算法，本文算法呈現(xiàn)出更好的圖像重建性能。圖4是本文算法與傳統(tǒng)的Hg-CLEAN算法對于同一圖像的處理結(jié)果，展示了對應(yīng)的模型圖像和殘差圖像。從圖中可以看出，本文算法得到的殘差圖像中的結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)少于Hg-CLEAN算法，說明采用該算法得到的重建圖像，能夠恢復(fù)原始圖像中的大部分信息，同時能夠體現(xiàn)L-BFGS-B算法的擬合參數(shù)效果良好，提高了算法對天空亮度分布建模的精度;觀測最終的重建結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Hg-CLEAN算法也能夠?qū)υ紙D像的部分信息進(jìn)行重建，然而在最終的結(jié)果中仍帶有大量的偽影，并且在其殘差圖像中包含明顯的圖像結(jié)構(gòu)。

另外，從圖4（a2）中能夠觀察到明顯的延展信號，圖5展示了模型圖像中展源部分的處理效果。與Hg-CLEAN算法相比，本文提出的算法在展源處理方面效果更好，原因在于Hg-CLEAN算法將天空圖像分解為一系列delta函數(shù)，不能很好地表達(dá)圖像中的展源結(jié)構(gòu)，而本文算法能夠依據(jù)射電天文圖像中的展源結(jié)構(gòu)自適應(yīng)地選取尺度參數(shù)，因此具有處理圖像中延展源的性能。

同時，采用客觀指標(biāo)對天空圖像重建效果做量化分析，選取峰值信噪比（peak signal-to-noise ratio，PSNR）[17]、結(jié)構(gòu)相似性（structural similarity，SSIM）[18]和均方根誤差（root mean square error，RMSE）[19]作為重建圖像的質(zhì)量評價指標(biāo)，對Hg-CLEAN算法和本文提出的算法進(jìn)行評價。為了對比不同算法之間的差異，在同樣運(yùn)行環(huán)境下對不同算法進(jìn)行測試，從表1可以看出，本文提出算法在PSNR、SSIM和RMSE指標(biāo)上均有所提升。

為了驗證算法的穩(wěn)定性，采用三種加權(quán)方案對原始圖像做處理，即自然加權(quán)， 均勻加權(quán)和Briggs 加權(quán)。圖6展示了不同加權(quán)方案下圖像的結(jié)構(gòu)變化，觀察可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)自然加權(quán)后的圖像中的旁瓣效應(yīng)最為明顯，均勻加權(quán)后的圖像的旁瓣效應(yīng)最弱。

圖7顯示了對于不同加權(quán)方案的重建結(jié)果。對比殘差圖像，本算法對不同加權(quán)下的臟圖均有較好的重建效果，尤其對于均勻加權(quán)和Briggs加權(quán)具有明顯優(yōu)勢。

4 結(jié)語

CLEAN算法對于射電天文圖像處理領(lǐng)域具有重大意義，并能夠延伸到天文學(xué)相關(guān)的其他領(lǐng)域[20]，這系列算法對傳統(tǒng)的圖像處理算法造成沖擊，對圖像處理的相關(guān)領(lǐng)域也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。本文基于目前已有的CLEAN算法[12]，結(jié)合L-BFGS-B算法對目標(biāo)函數(shù)的最小值求解進(jìn)行優(yōu)化，并將算法的重建結(jié)果與傳統(tǒng)的Hg-CLEAN算法[5]做比較，提高了原有算法的性能，使重建得到的射電天文圖像更加接近真實天空圖像，為測試該算法對不同觀測圖像的普適性，在以后的工作中，計劃擴(kuò)展到不同陣列和不同科學(xué)目標(biāo)的觀測成像中去。

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（責(zé)任編輯：于慧梅）

An Adaptive Scale CLEAN Algorithm Based on

L-BFGS-B Local Minimization

ZHANG Li*1， XIAO Yifan1， MI Ligong1， LU Mei1， ZHAO Qingchao1，

WANG Bei1， LIU Xiang2， ZHANG Ming2， XIE Quan1

（1.College of Big Data and Information Engineering， Guizhou University， Guiyang 550025， China; 2.Xinjiang Astronomical Observatory， Chinese Academy of Sciences， Urumqi 830011， China）

Abstract：

The sidelobes of point-spread function in interferometer arrays make the observed radio sources have varying degrees of distortion， which affects the reconstruction of the real structure of the universe and the understanding of the origin of the universe. In order to solve the artifacts in observation， on the basis of the existing CLEAN algorithm， this paper proposes an adaptive scale CLEAN algorithm based on L-BFGS-B local minimization. Firstly， based on the L-BFGS-B local minimization algorithm， an adaptive scale model is constructed by minimizing the objective function and finding the optimal component; secondly， to evaluate the performance of the proposed algorithm; the test image is reconstructed through CASA， which is compared with the widely used Hgbom CLEAN algorithm; finally， the development of deconvolution algorithm in radio astronomy image processing is prospected. The results show that compared with the traditional algorithm， the algorithm proposed can build a more accurate sky brightness distribution， which provide a new scheme for the reconstruction of astronomical images.

Key words：

L-BFGS-B algorithm; adaptive scale CLEAN algorithm; radio astronomical image processing