基于二階自相關(guān)過(guò)程殘差控制圖的改進(jìn)

魏興龍

摘要：本文將以AR（2）過(guò)程為例，將CUSUM和EWMA控制圖的統(tǒng)計(jì)量相整合，提出改進(jìn)MEC和MCE兩種控制圖，以平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)（ARL）和額外平方損失（EQL）做為評(píng)價(jià)效率的重要指標(biāo)。通過(guò)仿真分析去驗(yàn)證，新的控制圖對(duì)于自相關(guān)模型發(fā)生均值漂移具有較好的檢測(cè)效率.

Abstract： In this paper， the AR （2） process is taken as an example， the statistics of CUSUM and EWMA control charts are integrated， and two control charts， MEC and MCE， are proposed. The average run length （ARL） and extra quadratic loss （EQL） are used as important index to evaluate the efficiency. Through the simulation analysis to verify， the new control chart has a good detection efficiency for the mean shift of the autocorrelation model.

關(guān)鍵詞：殘差；平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)；自相關(guān)；漂移；MEC；MCE；統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制

Key words： residual；average run length（ARL）；autoregressive；shift；Mixed EWMA-CUSUM；Mixed CUSUM-EWMA；statistical process control

中圖分類號(hào)：O212.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）03-0192-04

0 引言

在生產(chǎn)過(guò)程中，為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)過(guò)程的控制，提升產(chǎn)品的質(zhì)量，控制圖被認(rèn)為是一種有效的控制措施。常規(guī)控制圖需要基于過(guò)程的觀測(cè)值是彼此相互獨(dú)立這個(gè)條件才能使用，但往往這個(gè)要求難以實(shí)現(xiàn)于實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，觀測(cè)值并不是都能夠滿足獨(dú)立性的假設(shè)前提，自相關(guān)現(xiàn)象是伴隨著生產(chǎn)過(guò)程普遍存在的[1]。以往眾多研究大多著重于一階自相關(guān)過(guò)程即AR（1）的性能對(duì)比上，而對(duì)于二階的，AR（2）等甚至更高階過(guò)程的監(jiān)控控制圖的研究則少之又少。通過(guò)分析孫靜的研究[4]，平穩(wěn)自相關(guān)過(guò)程的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值且呈現(xiàn)強(qiáng)相關(guān)時(shí)，過(guò)程均值發(fā)生漂移，自相關(guān)模型的自相關(guān)性作用下，對(duì)小漂移殘差控制圖及時(shí)監(jiān)測(cè)警報(bào)概率很大，而對(duì)于正的自相關(guān)系數(shù)則需要進(jìn)一步提高異常檢測(cè)效率.在本文中，我們提出改進(jìn)了的MEC和MCE去監(jiān)測(cè)AR自相關(guān)模型數(shù)據(jù)，針對(duì)過(guò)程均值發(fā)生漂移，通過(guò)對(duì)殘差的檢測(cè)，將它們與Shewhart控制圖，CUSUM控制圖和EWMA控制圖進(jìn)行監(jiān)測(cè)效率的對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)其可以更好地檢測(cè)自相關(guān)發(fā)生的小漂移[2-4]。

1 預(yù)備知識(shí)

AR（p）模型是p階自相關(guān)模型，滿足：

3 控制圖性能對(duì)比和分析

通過(guò)以往的研究文獻(xiàn)可知，α1，α2自相關(guān)系數(shù)和越小，對(duì)于過(guò)程均值發(fā)生漂移，殘差控制圖能越早的監(jiān)測(cè)出來(lái)發(fā)出報(bào)警。而對(duì)于α1+α2越大，過(guò)程均值發(fā)生σ漂移。在自相關(guān)過(guò)程的作用下，漂移被減少到σ（1-α1-α2），常規(guī)控制圖對(duì)這樣的小漂移監(jiān)測(cè)并不靈敏，會(huì)導(dǎo)致漏發(fā)警報(bào)的現(xiàn)象，從而降低監(jiān)測(cè)效率。所以在下文的控制圖的比較中，我們將著眼0<α1<1，0<α2<1的情況進(jìn)行研究比較。

AR（2）模型各類殘差控制圖的ARL，k=0.5，λ=0.4。不失一般性，定義AR（2）受控狀態(tài)下均值為μ=0，模擬運(yùn)算具體結(jié)果見表1。

一般情況下，為了方便控制圖的比較，需要在受控狀態(tài)下去假設(shè)具有一樣的平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)。設(shè)定在受控狀態(tài)下，即σ=0，ARL0=1000，去比較失控狀態(tài)下平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)，在失控狀態(tài)下，平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)越短，說(shuō)明可以越早能發(fā)現(xiàn)過(guò)程均值存在的漂移，即控制圖的性能越好。為了方便比較，我們將均值漂移大小分為小σ<1，中1<σ<2.5，大σ>2.5三個(gè)類別。表中的數(shù)值換種呈現(xiàn)方式，數(shù)值簡(jiǎn)化為圖1。

通過(guò)圖1對(duì)比可發(fā)現(xiàn)：

①在α1+α2較小的情況下，α1=0.2，α2=0.1時(shí)候，MEC和MCE控制圖在σ<1時(shí)候，相對(duì)于Shewhart，EWMA和CUSUM控制圖，具有較好的檢測(cè)表現(xiàn)，可以更早的發(fā)出報(bào)警信號(hào)。而在中漂移的情況下，沒有EWMA和CUSUM控制圖表現(xiàn)好。在σ>2.5的漂移情況中，檢測(cè)效率更低，差距較為明顯。

②在α1=0.4，α2=0.2的情況下，MEC和MCE控制圖的表現(xiàn)與CUSUM控制圖相類似，中小漂移的發(fā)生狀況下，都具有較高的檢測(cè)效率。而在較大漂移后，EWMA控制圖的檢測(cè)效率表現(xiàn)更為優(yōu)勢(shì)。

③在α1=0.6，α2=0.2或者α1=0.8，α2=0.1的情況下，MEC和MCE控制圖在各類的漂移，檢測(cè)的表現(xiàn)更好。即由于過(guò)程的均值發(fā)生不同類別的漂移波動(dòng)，過(guò)程的殘差引起的相應(yīng)偏離也較小，對(duì)此MEC和MCE控制圖可以更早的發(fā)出報(bào)警。

④MEC和MCE控制圖相比較，在α1+α2較小情況下，兩種控制圖的表現(xiàn)差距不明顯，而在α1+α2較大情況下，無(wú)論過(guò)程均值漂移大或者小，MCE控制圖的檢測(cè)效率表現(xiàn)更好一點(diǎn)。

由Abbasi，Riaz，Miller，Ahmad，和Nazir[11]提出的額外平方損失（EQL）。EQL定義為在漂移范圍σMAX？叟σ？叟σMIN內(nèi)，以σ2為權(quán)重對(duì)ARL進(jìn)行加權(quán)平均，ARL表達(dá)式為：

4 結(jié)論

通過(guò)上文的各類殘差控制圖的設(shè)計(jì)和性能分析對(duì)比，證明了MEC和MCE控制圖提高了對(duì)自相關(guān)序列過(guò)程發(fā)生中小漂移檢測(cè)的靈敏度。在α1+α2越大，MEC和MCE控制圖的表現(xiàn)越好。綜上所述，本文提及的MEC和MCE控制圖在自相關(guān)模型發(fā)生漂移時(shí)候，檢測(cè)效率有了良好的提高。在實(shí)際的生產(chǎn)場(chǎng)景中，提高的檢測(cè)效率將會(huì)帶來(lái)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)效益。endprint