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    用好書本例題 提高解題能力

    2021-04-14 03:08:48丁小將
    數(shù)理化解題研究 2021年8期
    關鍵詞:射影直角三角形變式

    丁小將

    (江蘇省南京市雨花臺區(qū)梅山第一中學 210039)

    進入初三后學生的學習難度和強度都變得比以往任何時候都要大,教師和學生都要面對大量的習題,甚至部分學生想靠不停的刷題來提高自己的數(shù)學成績,于是大搞題海戰(zhàn)術,反而忽略書本中例題和習題的作用,有些學生認為書本中的例題、習題過于簡單.事實并非如此,作為教師如果能在平時的教學中注意對教材中例題、習題進行進一步歸納和拓展,幫助學生構建合理的知識體系和模型,這樣對減輕學生負擔,使學生從”題海”中解脫出來,對于老師的教學水平的提高也具有較大的作用.

    圖1

    題目(滬教版《九年義務教育課本·數(shù)學》九年級第一學期第36頁例4)已知:如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是邊AB上的高.求證:(1)AC2=AD·AB;(2)CD2=AD·BD

    類似的還可以推出:BC2=AB·BD

    反思這是教材中的一道例題,盡管教材中沒有提及射影定理,但在幾何證明及計算中應用很廣泛,如果能夠掌握好這個基本圖形,常常給我們在解直角三角形的過程中,避免使用勾股定理帶來的開平方的繁瑣計算,對于學生解題速度的提高有很大的幫助作用.

    一、射影定理的介紹

    書本中的這道例題實際上就是射影定理:直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項;且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

    二、變式的應用

    1.變換條件

    圖2

    如圖1,若△ABC中,CD為高,且有DC2=BD·AD或AC2=AD·AB或BC2=BD·AB,則有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可得到△ABC為直角三角形.

    2.射影定理的變式題

    若△ABC不為直角三角形,當點D滿足一定條件時,類似地仍有部分結論成立.

    如圖2:△ABC中,D為AB上一點,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,則有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD·AB;反之,若△ABC中,D為AB上一點,且有BC2=BD·AB,則有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A.

    三、射影定理及其變式,在相關線段關系中證明的應用

    例1已知:如圖3,四邊形ABCD是平行四邊形,延長BA至點E,使得AE=AB,聯(lián)結DE、AC.點F在線段DE上,聯(lián)結BF,分別交AC、AD于點G、H.

    圖3

    (1)求證:BG=GF;

    (2)如果AC=2AB,點F是DE的中點,求證:AH2=GH·BH(2020上海靜安區(qū)二模卷第23題)

    分析(2)在(1)解決問題的基礎上,第二問中要證明的結論,對應的圖形其實就是射影定理的變式圖形,△ABH雖然不是直角三角形,但看到這樣的等積式,仍然要有意識地想到證明△AGH∽△BAH,有了這樣的解題方向,思考問題的方向也就明確,易證AB=AE=CD,再證明△BEF?△DEA,得出∠ADE=∠EBF,易證∠ADE=∠GAH,所以∠EBF=∠GAH,又因為∠AHG=∠AHB,證得△AGH∽△BAH,問題得到解決.

    例2如圖4,已知⊙O中,D為弧AC中點,過點D的弦BD被弦AC分為兩部分,求證:CD2=DE·DB

    分析易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,滿足射影定理變式(2)的條件,故有CD2=DE·DB.

    圖4 圖5

    例3 已知:如圖5,△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分線交AB于點E,交AD于點H,交AC于點G,交BC的延長線于點F,求證:DF2=CF·BF.

    證明:連AF,∵FH垂直平分AD,

    ∴FA=FD,∠FAD=∠FDA,

    ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,

    ∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,

    ∵∠B=∠FDA-∠BAD,

    ∴∠FAC=∠B,又∠AFC為公共角,

    ∴AF2=CF·BF,∴DF2=CF·BF

    反思上述三個例題的圖形不管是以圓為載體,還是在其它較為復雜的圖形中,如果能夠從題目的結論中分析出,雖然不是直角三角形的射影定理的直接應用,但是如果能夠從線段之間存在著比例中項的關系,然后從“共邊、共角”的基本模型中找出對應的相似三角形,根據(jù)對應線段成比例,從而使問題得到解決.

    四、射影定理在線段長度計算中相關應用

    圖6

    (1)如圖6,設AD=x,用x的代數(shù)式表示DE的長;

    (3)如果△AFD為直角三角形,求DE的長.

    分析在解決好第(1)、(2)問的前提下,第(3)問,當點E在AC上時,

    ∵∠AED=∠ADE,且都為銳角,∠AED>∠AFE

    當點E在AC的延長線上時,∵∠FAD<∠BAC,而∠BAC在Rt△ABC中為銳角,∴∠FAD為銳角,∠AED=∠ADE,且都為銳角,若△AFD為直角三角形,則只能∠AFD=90°,再次利用射影定理中的線段關系:EF2=CE·AE,

    反思例4作為一道中考模擬考試的壓軸題,是有一定的難度,尤其(3)的計算線段長度,在已知條件下得出相應的直角三角形,如果能夠熟練應用射影定理,根據(jù)相關線段的乘積式來求出線段的長度,避免采用勾股定理計算時帶來開平方的復雜計算,解題時能夠提高解題速度和計算的準確性,從而達到事半功倍的效果.

    中考復習中許多學生為了提高數(shù)學成績,一味地盲目刷題,而忽視了書本中的很多例題、習題,以這些題目為原型可以總結、歸納出很多有用的結論和規(guī)律,所以在中考復習中無論老師還是學生,如果能注重對課本的研究,對教材中的例、習題進行“再創(chuàng)造”,有效地幫助學生提高學習效率,提高學生探究能力和推理能力,使學生在中考緊張、忙碌的復習中有條不紊的把數(shù)學知識牢固的掌握,最終取得理想的中考成績.

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