反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用

高 濤

(云南省昆明市云子中學(xué)長(zhǎng)豐學(xué)校 650000)

在中學(xué)數(shù)學(xué)證明過(guò)程中，我們可能會(huì)用到很多不同的方法.其中，從命題和問(wèn)題結(jié)論的反面出發(fā)，并依據(jù)推理規(guī)則進(jìn)行推演，引出矛盾，從而獲得原命題成立的結(jié)論，這樣的證明方法稱之為反證法.反證法不僅是一種證明方法，還是一種思維方式；其獨(dú)特的證明方法和思維方式對(duì)培養(yǎng)一個(gè)人邏輯思維能力(特別是逆向思維能力)和創(chuàng)造性思維能力有著重大的意義，是鍛煉一個(gè)人思維的多樣性、敏捷性、靈活性的極好素材，所以對(duì)反證法的教學(xué)研究是極有必要的.

在中學(xué)數(shù)學(xué)的證明題中，有些問(wèn)題用直接法很困難，或直接證明不出來(lái)，此時(shí)反證法在這些數(shù)學(xué)題目的證明中就起著非常重要的作用.為此，本文分析反證法的原理和邏輯基礎(chǔ)，并選取一些在證明中宜用反證法證明的實(shí)例，用相應(yīng)的反證法予以解決.

一、反證法的邏輯基礎(chǔ)和證明步驟

1.反證法的原理

反證法是在中學(xué)數(shù)學(xué)證明過(guò)程中基礎(chǔ)應(yīng)用的方法之一，其邏輯基礎(chǔ)就是矛盾律和排中律.所謂的矛盾律是指，人們?cè)谕凰季S過(guò)程中，對(duì)兩個(gè)反對(duì)或矛盾的判斷不能同時(shí)承認(rèn)它們都是真的，其中至少有一個(gè)是假的；排中律則是指，同一對(duì)象在同一時(shí)間內(nèi)和同一關(guān)系下，或者是具有某種性質(zhì)，或者是不具有某種性質(zhì)，二者必居其一，不能有第三種情形.

2.運(yùn)用反證法的步驟

在中學(xué)數(shù)學(xué)證明的過(guò)程中，運(yùn)用反證法證明命題的一般步驟為：

(1)提出假設(shè)(反設(shè))：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè).

(2)推出矛盾(歸謬)：所推出的矛盾包括與題設(shè)矛盾、與假設(shè)矛盾、或者得到恒假命題(與定理、公理矛盾)等.

(3)肯定結(jié)論：根據(jù)推出的矛盾可以說(shuō)明提出的假設(shè)(反設(shè))不成立，從而能夠肯定原命題是成立的.

從上述步驟可知，可以把反證法的證明模式概括為“否定→推理→否定”，即從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理后得到矛盾的邏輯結(jié)果，從而達(dá)到新的否定，也就是“否定之否定”.

3.使用反證法應(yīng)注意的問(wèn)題

在用反證法的過(guò)程中，我們也需要注意一些相關(guān)問(wèn)題.比如，證明中第一步的反設(shè)，是對(duì)所要證明的結(jié)論的否定，而不是也不能否定命題的已知條件，否則證明就無(wú)從入手或者就得不到想要的結(jié)果；同時(shí)，在進(jìn)行反設(shè)時(shí)，需要掌握結(jié)論反面的全部情況并進(jìn)行分析，而不能有任何的遺漏，否則所應(yīng)用的反證法就可能無(wú)效.

二、反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)證明問(wèn)題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)命題的證明，雖然在一般情況下用直接法，但是，當(dāng)用直接法比較麻煩或比較困難甚至不可能時(shí)，往往采用反證法.因此，反證法確實(shí)有其廣泛的應(yīng)用，我們就從數(shù)學(xué)的不同分支出發(fā)，分別介紹反證法在幾何、代數(shù)等不同數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用.

1.反證法在平面幾何中的應(yīng)用

平面幾何中的角相等、角不等、線相等、線不等、線平行、點(diǎn)共線、包含關(guān)系等問(wèn)題，常?？梢杂梅醋C法來(lái)證明.

圖1

例1如圖1，已知四邊形ABCD，以各邊為直徑向四邊形內(nèi)作半圓.求證：ABCD內(nèi)的任一點(diǎn)至少被一個(gè)半圓所包含.

證明：假定四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P不被任一半圓所包含，連結(jié)PA、PB、PC、PD，則根據(jù)性質(zhì)可知

∠APB<90°,∠BPC<90° ,

∠CPD<90°,∠DPA<90，

∴∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

這和一個(gè)周角等于360°相矛盾，故原命題成立.

這類問(wèn)題屬于“至多”與“至少”命題，常用“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等形式來(lái)表示.這種命題如果用直接法來(lái)證明難以下手時(shí)，可以采用反證法來(lái)證明.

2.反證法在解析幾何中的應(yīng)用

反證法雖然主要是在平面幾何教材中出現(xiàn)的，但并不是反證法在解析幾何中沒(méi)有它的意義，事實(shí)上，不少解析幾何題也須應(yīng)用反證法來(lái)證明.

例2求證拋物線沒(méi)有漸近線.

證明：設(shè)拋物線方程為

y2=2px(p≠0).

假定該拋物線有漸近線，則漸近線的方程必是

y=ax+b(a、b皆不為0).

因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組

的兩組解的倒數(shù)都是0.

將y=ax+b代入y2=2px得

a2x2+2(ab-p)x+b2=0

①

設(shè)x1、x2是①的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得

②

③

由②、③可推得p=0，而這與假設(shè)p≠0矛盾.

因此，拋物線沒(méi)有漸近線.

這類問(wèn)題屬于“否定式”命題.“否定式”命題的結(jié)論常用“不……”、“沒(méi)有……”、“不是……”、“不可能……”等形式來(lái)表示，這類問(wèn)題用反證法來(lái)證往往容易奏效.

3.反證法在代數(shù)中的應(yīng)用

反證法不僅在幾何中有其應(yīng)用，而且在代數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用.

例3在不等邊三角形中，三角與三邊可否同時(shí)成為等差數(shù)列？

解不能.用反證法來(lái)證明：

∵A+B+C=180°，

由①可得B=60°，A+C=120°.

由②和正弦定理可得

2RsinA+2RsinC=2×2RsinB,

即sinA+sinC=2sinB.

于是有A=B=C=60°.

故△ABC為等邊三角形，這與已知條件相矛盾.

∴不等邊三角形的三角和三邊不能同時(shí)成等差數(shù)列.

這類問(wèn)題屬于“判斷式”命題.“判斷式”命題的結(jié)論常用“是不是”、“能不能”、“會(huì)不會(huì)”、“怎樣”等形式來(lái)表示，它一般可轉(zhuǎn)化為肯定性命題或否定性命題，并且有時(shí)也可用反證法來(lái)證明.

總之，反證法在證明和研究中學(xué)數(shù)學(xué)不同方面的問(wèn)題過(guò)程中都有著它特殊的作用.鑒于這種情況，在中學(xué)階段向?qū)W生介紹一些應(yīng)用反證法證明的題目和問(wèn)題，逐步培養(yǎng)應(yīng)用反證法解決問(wèn)題的能力，是很有必要的，很有益處的.

數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)密的學(xué)科，它具有其獨(dú)特的思維方式和邏輯推理系統(tǒng)，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)會(huì)多角度地尋找解決方法，多層次的掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，充分發(fā)揮個(gè)人的數(shù)學(xué)思維能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)證明過(guò)程中，利用反證法來(lái)發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和發(fā)散思維，可以有利于逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、思維能力和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.