論深度探究促規(guī)律理解

趙行娜

摘 要：學(xué)生在二年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均分，理解了除法的基本含義，“有余數(shù)的除法”是在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)除法后被除數(shù)有剩余的情況，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”是這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，筆者在教學(xué)中讓學(xué)生通過(guò)多維度的探究幫助學(xué)生真正理解“余數(shù)要比除數(shù)小”，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)練習(xí)，幫助學(xué)生內(nèi)化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);“有余數(shù)的除法”;規(guī)律理解

“有余數(shù)的除法”是人教版教材二年級(jí)下冊(cè)第六單元的教學(xué)內(nèi)容，這部分知識(shí)是表內(nèi)除法知識(shí)后的延伸和擴(kuò)展，也是今后繼續(xù)學(xué)習(xí)除法的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。筆者在教學(xué)中，將例1和例2作為一課時(shí)內(nèi)容。在“余數(shù)要比除數(shù)小”規(guī)律的探索中，教材呈現(xiàn)了擺正方形的操作活動(dòng)，幫助學(xué)生理解“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律，通過(guò)這樣單一的一次操作，學(xué)生只是記住這一規(guī)律，直接學(xué)習(xí)應(yīng)用這一規(guī)律。這樣得出規(guī)律，顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

一、追根溯源

二年級(jí)學(xué)生的思維仍然具有直觀性、具體性、形象性等特點(diǎn)，他們的假設(shè)、判斷、理解等一系列思維過(guò)程都是在原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上進(jìn)行的。而“余數(shù)要比除數(shù)小”的規(guī)律過(guò)于抽象，所以學(xué)生理解起來(lái)有一定的困難。那么在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生在具體情境中，通過(guò)豐富、有效的操作活動(dòng)，使余數(shù)和除數(shù)兩者之間的關(guān)系自然顯現(xiàn)。

二、研究過(guò)程與內(nèi)容

基于以上分析，筆者認(rèn)為學(xué)生要真正理解“余數(shù)要比除數(shù)小”這個(gè)規(guī)律，必須要充分經(jīng)歷規(guī)律的抽象過(guò)程，建立充分的表象，才能使得規(guī)律自然顯現(xiàn)。

（一）多維研究，促規(guī)律具體化

為了讓規(guī)律抽象的過(guò)程更直觀、更科學(xué)，學(xué)生探究的過(guò)程必須是多方位的。

1. 維度一：除數(shù)一定，被除數(shù)變化

問(wèn)題呈現(xiàn)：通過(guò)分一分，知道了9支鉛筆，每人分4支，可以分給2人，還剩余1支。如果鉛筆的數(shù)量增加到10支、11支、12支……16支，還是每人分4支，分的結(jié)果會(huì)怎么樣呢？算式又該怎么表示呢？

學(xué)生嘗試在探究紙上分一分、算一算。完成后仔細(xì)觀察分的結(jié)果和算式，說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)。在學(xué)生完成后，教師組織全班交流，介紹每次分的結(jié)果和算式。根據(jù)學(xué)生的回答，將結(jié)果展示在黑板上。

通過(guò)擺分一分的操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己平均分的結(jié)果列出算式后，再進(jìn)行觀察比較。在這次探究中，學(xué)生能夠感悟到：在每人分4支的情況下，不管鉛筆的數(shù)量變成多少，如果有剩余，最后的余數(shù)一定小于除數(shù)。這次探究是對(duì)“余數(shù)一定小于除數(shù)”這個(gè)規(guī)律的初步感知，培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑的精神。

2. 維度二：被除數(shù)一定，除數(shù)變化

問(wèn)題呈現(xiàn)：如果現(xiàn)在用這16支鉛筆，每人分3支，結(jié)果怎么樣？如果有剩余，可能會(huì)剩余幾根？為什么？如果每人分5支呢？6支、7支呢？（見(jiàn)表1）

在這次探究中，學(xué)生能夠感悟：同樣都是16支鉛筆，不管每人分幾支，如果有剩余，最后的余數(shù)都小于除數(shù)。這次探究是對(duì)所感知的規(guī)律作進(jìn)一步驗(yàn)證。

3. 維度三：被除數(shù)和除數(shù)都變化

提出疑問(wèn)：通過(guò)剛才的探究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)除數(shù)不變，被除數(shù)變化的時(shí)候，如果有余數(shù)，余數(shù)小于除數(shù);當(dāng)被除數(shù)不變，除數(shù)變化的時(shí)候，如果有余數(shù)，余數(shù)也小于除數(shù)，這是為什么呢？

猜想：如果被除數(shù)和除數(shù)都變化了，結(jié)果會(huì)怎么樣？

嘗試探究：如表2所示。

本題沒(méi)有給出鉛筆的數(shù)量，每人的支數(shù)也沒(méi)有確定，探究后組織學(xué)生討論：仔細(xì)觀察這些算式，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過(guò)觀察、比較，能夠深切體會(huì)不管被除數(shù)和除數(shù)怎么變化，如果有剩余，余數(shù)始終小于除數(shù)。從一組到多組，從一維到多維，從感性到理性，就能形成系列較為充分的操作體驗(yàn)和直觀感知，再通過(guò)分析和比較、抽象和概括，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律，從而促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解余數(shù)、余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，理解有余數(shù)除法。

（二）適時(shí)追問(wèn)，促規(guī)律抽象

為了提升學(xué)生的思考力，發(fā)展他們的思維，在學(xué)生探究后的討論中，教師要適時(shí)追問(wèn)，讓學(xué)生可以進(jìn)一步思考，提升思考層次，逐步達(dá)到抽象概括。比如在第一次探究后，教師提問(wèn)：仔細(xì)觀察這些算式，你們發(fā)現(xiàn)了什么？在學(xué)生關(guān)注到余數(shù)后，追問(wèn)一：如果鉛筆的數(shù)量繼續(xù)增加，余數(shù)會(huì)是幾？追問(wèn)二：可能是4、5、6……嗎？為什么？追問(wèn)三：余數(shù)和誰(shuí)有關(guān)系？是怎樣的關(guān)系？為什么？在第二次探究后，教師提問(wèn)：仔細(xì)觀察這些算式，你們又發(fā)現(xiàn)了什么？追問(wèn)一：如果每人分的鉛筆數(shù)量繼續(xù)增加，余數(shù)可能是幾？追問(wèn)二：為什么？通過(guò)多次追問(wèn)，促使學(xué)生對(duì)有余數(shù)除法由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)有余數(shù)除法的理解，感受數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系。

（三）對(duì)應(yīng)練習(xí)，促規(guī)律內(nèi)化

學(xué)生三次探究之后發(fā)現(xiàn)了“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律之后，跟進(jìn)相對(duì)應(yīng)的鞏固練習(xí)是必不可少的。以下“闖三關(guān)”的游戲模式，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)規(guī)律的感悟，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

第一關(guān)是利用“余數(shù)比除數(shù)小”的知識(shí)解決問(wèn)題，通過(guò)獨(dú)立思考、猜一猜、說(shuō)一說(shuō)、議一議等方式讓學(xué)生明白：擺三角形時(shí)，剩余的小棒應(yīng)少于3根，因?yàn)閴?根小棒就能再擺一個(gè)三角形，擺正五邊形依此類推。

第二關(guān)是3道選擇題。從原先分鉛筆、擺圖形這些具體形象的事物中，抽象到算式的應(yīng)用，每一道題都承載了不同的小目標(biāo)。第一小題可以根據(jù)“余數(shù)小于除數(shù)”的規(guī)律直接判斷。第二小題根據(jù)余數(shù)比除數(shù)小，可知余數(shù)可能是1，2，3，4，序號(hào)①出現(xiàn)了0，目的是明確余數(shù)最小是1，0即是沒(méi)有余數(shù)，不需要寫。第三小題是第一小題的逆向思維，幫助學(xué)生進(jìn)一步理清余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。

第三關(guān)解決問(wèn)題是借助“貓媽媽分小魚”的情境，對(duì)規(guī)律的實(shí)際應(yīng)用。圖中每只小貓分得的小魚條數(shù)與小貓只數(shù)同樣多，說(shuō)明除數(shù)和商是一樣的，最后剩余7條，可見(jiàn)小貓至少8只，那么根據(jù)題意，可列式：8×8+7=71（條），也會(huì)出現(xiàn)□÷8=8（條）……7（條），滲透兩者之間的聯(lián)系。

多維度的探究、充分的直觀操作，為表象思維和抽象思維提供了“腳手架”，學(xué)生充分經(jīng)歷探究規(guī)律的過(guò)程，適時(shí)的追問(wèn)，幫助學(xué)生充分感知余數(shù)的含義，并逐步進(jìn)行抽象，使得余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系發(fā)現(xiàn)能夠水到渠成，最后通過(guò)設(shè)計(jì)具有針對(duì)性、層次性和挑戰(zhàn)性的練習(xí)，讓學(xué)生更深入地感悟“余數(shù)比除數(shù)小”這一規(guī)律。

三、成果與分析

筆者在磨課過(guò)程中對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行這樣的調(diào)整后，COP團(tuán)隊(duì)對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了數(shù)據(jù)采集和分析，我們發(fā)現(xiàn)：

1. 探究的深度。問(wèn)題的類型中，更多的是推理性問(wèn)題和創(chuàng)造性問(wèn)題，在探究的深度和課堂生成的高度中，我們所關(guān)注的思維深度、對(duì)話深度、問(wèn)題類型都接近，甚至高于全國(guó)常模數(shù)據(jù)，體現(xiàn)了探究過(guò)程中，學(xué)生能夠跟著探究的推進(jìn)做進(jìn)一步思考和發(fā)現(xiàn)。

2. 學(xué)生的參與度。在S-T曲線圖中，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的行為要高于教師行為，說(shuō)明探究過(guò)程中，學(xué)生能夠積極參與探究、思考與表達(dá)，而不是為了完成教學(xué)內(nèi)容，教師代替講。在練習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能夠靈活應(yīng)用規(guī)律，清楚表達(dá)，尤其能夠感受學(xué)生的對(duì)規(guī)律的理解和思維的提升，大大提高作業(yè)的正確率。

參考文獻(xiàn)

[1]張春潔.“有余數(shù)的除法的認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)與說(shuō)明[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（Z2）.

[2]黃紅軍.善用對(duì)比，促進(jìn)內(nèi)化——人教版教材二年級(jí)下冊(cè)“有余數(shù)除法”教學(xué)設(shè)計(jì)化[J].小學(xué)教學(xué)參考，2019（02）.

（浙江省寧波市奉化龍津?qū)嶒?yàn)學(xué)校，寧波315000）