化難為簡，以策略促高效

張艷

【摘要】初中數(shù)學(xué)課程有效教學(xué)具有重大的研究意義，教師對課堂難點(diǎn)的把握和處理是決定課堂有效性和精彩程度的關(guān)鍵.本文先對課堂難點(diǎn)進(jìn)行分析，再結(jié)合實踐，從四個方面論述突破難點(diǎn)的有效方法.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);難點(diǎn)突破;方法

一節(jié)數(shù)學(xué)課的難點(diǎn)教學(xué)的成功與否，是評價一節(jié)數(shù)學(xué)課優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.教學(xué)難點(diǎn)是指學(xué)生不易理解的知識、方法或不易掌握的技能.教師幫助學(xué)生理解這些知識、方法或掌握這些技能的教學(xué)過程，就是常說的突破難點(diǎn).大部分教師在備課和課堂教學(xué)中對教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是很重視的，但大量實踐表明，教師的重視不一定帶來教學(xué)的成功.一些教師能把握教學(xué)難點(diǎn)，卻很難有效突破難點(diǎn).這既有教師主觀的原因，也有學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的原因.因此，難點(diǎn)教學(xué)是一節(jié)課的重中之重，是一節(jié)課的靈魂所在.

那么，我們該如何實施難點(diǎn)教學(xué)呢？有的教師采用“課上不足課后補(bǔ)”的辦法，即布置大量作業(yè)，批改作業(yè)，輔導(dǎo)作業(yè)，必要時“盯關(guān)跟”.顯然，這樣的做法事倍功半，有悖于輕負(fù)高效的教學(xué)理念.那么我們該怎么做，才能使教學(xué)難點(diǎn)有效突破呢？難點(diǎn)的突破其實有規(guī)律可循，我們要把握教材，弄清知識的來龍去脈，掌握學(xué)生的認(rèn)知狀況，設(shè)計出符合知識規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)方案，在課堂45分鐘內(nèi)高效完成教學(xué)目標(biāo).

一、合理遷移，突破難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比和換元都有著廣泛的應(yīng)用，可培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力.這兩種方法的基礎(chǔ)是觀察、比較.教師必須在學(xué)生原有知識基礎(chǔ)上進(jìn)行類比教學(xué)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識，讓學(xué)生在輕松的氛圍中學(xué)習(xí)，獲得事半功倍的教學(xué)效果.以下是新授課中的類比教學(xué)案例.

在“提取公因式法”一課上，學(xué)生第一次接觸因式分解，難以理解確定多頂式的公因式和另一個因式的方法.教師可通過類比學(xué)生在小學(xué)時學(xué)過的分配律來突破這一教學(xué)難點(diǎn).

通過思考這兩個問題，學(xué)生回憶了分配律在簡便計算中的應(yīng)用，把數(shù)學(xué)規(guī)律從數(shù)字遷移到字母，對因式分解不再感到陌生，反而感到親切.接下來的學(xué)習(xí)過程就很順利了.通過類比，教師把新知識作為學(xué)生已有知識的延伸，從心理上拉近了學(xué)生和新知識的距離，順利地把新知識呈現(xiàn)給學(xué)生.

利用換元可將煩瑣的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為較簡單的式子，在簡化的模型中求得問題的答案，這一過程有助于提高學(xué)生的思維能力，開闊學(xué)生的視野思路.下面來看另一個案例.

筆者在“因式分解”的完全平方公式復(fù)習(xí)課中給出這樣一題：已知（2016-a）（2014-a）=2015，求（2016-a）2+（2014-a）2=.

看到這道題后，很多學(xué)生用多項式乘法，把條件中等式的左邊化為多項式，又把要求的算式化為多項式，但比較之后就不知道怎么繼續(xù)了.這時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知條件中的兩個多項式與所求的多項式有相似之處，并給出習(xí)題：

教師分析引導(dǎo)：是否可以把2016-a看作m，2014-a看作n？所給條件中還少什么？你會求m-n的值嗎？

受到這樣的遷移啟發(fā)，學(xué)生恍然大悟.

二、變式串題，突破難點(diǎn)

變式就是通過改變對象的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式.如：題設(shè)與結(jié)論的互換;圖形的位置、形狀、大小等的變化;規(guī)律及語言符號的互譯.最終，教師使學(xué)生找到變化過程中始終保持不變的因素，透過現(xiàn)象看到本質(zhì).這一方法在突破教學(xué)難點(diǎn)上是常用的.

例如，“角的大小比較”的難點(diǎn)是角的和差計算及形和數(shù)的計算.兩個角的和差在教師看起來比較直觀，但學(xué)生往往不易看出，特別是當(dāng)兩個角部分重疊時.筆者在上課時做了這樣的處理：從角平線出發(fā)，進(jìn)行兩次變換，讓學(xué)生充分理解兩角和差的本質(zhì)特征，具體過程如下.

師：如圖1中（1），OC是∠AOB的平分線，∠AOC，∠BOC，∠AOB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生依次回答出下列四個關(guān)系式：

①∠AOC=∠BOC=12∠AOB;

②∠AOC+∠BOC=∠AOB;

③∠AOC=∠AOB-∠BOC;

④∠BOC=∠AOB-∠AOC.

筆者逐一肯定，然后開始變換：若把射線OC移到圖1中（2）的位置，以上四個式子還成立嗎？

生：①不成立，②③④仍成立

這樣，筆者就順利過渡到了兩角的和與差這個知識點(diǎn).而且從形到數(shù)，學(xué)生很自然地把兩者融合在了一起.筆者又進(jìn)行變換，增加一條線[如圖1中（3）]，讓學(xué)生完成填空：

（1）∠AOB=∠AOC+;

（2）∠AOD=∠AOB-=-∠COD;

（3）∠AOC+∠BOD-∠AOB=.

圖形變得復(fù)雜了，多了好幾個角，但順著剛才的思路，學(xué)生很快完成了前兩道填空題.對于最后一道填空題，一部分學(xué)生感到為難.此時，教師給了一點(diǎn)提示：可先觀察∠AOC+∠BOD等于多少.有學(xué)生馬上說：“有一部分是重合的.”又有學(xué)生說：“可以看作∠AOB+∠DOC.”答案就這樣出現(xiàn)了，第三道題應(yīng)該填“∠COD”.通過兩次變換，學(xué)生對角的和差及形和數(shù)的計算有了較深的感受，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)就這樣迎刃而解了.變式的做法不僅有效突破了難點(diǎn)，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)有了更深的體會.

三、精心改編，突破難點(diǎn)

在課堂教學(xué)中，如果教師一味按照教材的編排上課，那么課堂會顯得比較呆板，對學(xué)生來說缺少新鮮感和活力.一旦思路遇阻，學(xué)生就會覺得無從下手，這種挫敗感會打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.對難點(diǎn)進(jìn)行改編能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，使學(xué)生克服畏難情緒，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主探索新知.

例如，“分式”第一節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：分式中分母的取值不能為零，當(dāng)分母為零時，分式?jīng)]有意義;當(dāng)分子為零、分母不為零時，分式的值為零.為了突破這一難點(diǎn)，教師對例題做了如下修改：

教材中原例題 對于分式2x+13x-5

（1）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？

（2）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式的值是零？

（3）當(dāng)x=1時，分式的值是多少？

改后的新例題 對于分式x-2[]x-1

（1）選擇一個你喜歡的x的值，求分式的值.

（2）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？

（3）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式的值是零？

把原例題（3）問改為新例題的（1）問.這一設(shè)計的意圖如下：一是設(shè)計開放性情境后學(xué)生說出代數(shù)式的值并不難，教師可讓平時很少舉手發(fā)言、學(xué)習(xí)稍有困難的學(xué)生回答，增加他們的成功體驗;二是學(xué)生可以脫口而出“x=1，2”，但在代入后發(fā)現(xiàn)分母等于零、分子等于零的問題，由此引起思維沖突，引發(fā)思考;三是讓學(xué)生說出“x=1”，保持問題的探索性、挑戰(zhàn)性，使課堂“增色”.教師還可設(shè)置一些問題引導(dǎo)學(xué)生討論，增加師生互動.當(dāng)學(xué)生說出“1”時，教師追問：“如果取1，結(jié)果會怎么樣？”學(xué)生舉手回答：“會使分式無意義.”教師繼續(xù)問：“那么要使分式有意義，x應(yīng)滿足什么條件？”教師用多媒體出示新例題（2）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？（3）當(dāng)x取什么數(shù)時，分式的值是零？教師再拋出原例題，學(xué)生就比較容易突破難點(diǎn)了.

這樣一改，課堂教學(xué)過程成了學(xué)生親身探究知識的活動過程.教師以學(xué)生的生活實際為基礎(chǔ)，為學(xué)生提供自由表達(dá)、探究、討論的機(jī)會，順利解決本節(jié)課的難點(diǎn)——何時分式的值為零.

在綜合復(fù)習(xí)時，筆者給出這樣一道題：

圖2如圖2，AB=6，C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，且AC=BD=1，P是線段CD上一動點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動到點(diǎn)D時，點(diǎn)G移動的路徑長度為.

這種動態(tài)類題目是初中生比較頭痛的題，但是這類題對培訓(xùn)學(xué)生思維、開拓學(xué)生思路是非常有價值的.解本題的關(guān)鍵是學(xué)生能作出AE、BF的延長線交于M，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形MEPF，而點(diǎn)G是平行四邊形MEPF對角線的中點(diǎn).學(xué)生無法同時作出這么多輔助線的原因是不能預(yù)見本題要用平行四邊形的性質(zhì)解.于是在出示本題之前，筆者先設(shè)計并出示了“熱身題”：

圖3如圖3，線段AB=a，P是線段AB上的任一點(diǎn).在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，AE、BF的延長線交于點(diǎn)H，求證EH+FH的長是恒值.

這一題由淺入深地引領(lǐng)學(xué)生思考，避免讓學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，使學(xué)生積極主動地投入難題的探究.

四、一題多解，突破難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會看到這樣的情況：面對一道比較抽象復(fù)雜的題目，學(xué)生毫無頭緒，無從下筆.如果教師能多角度地理解一個問題，尋找不同的解題方法并進(jìn)行比較歸納，那么學(xué)生對知識點(diǎn)的認(rèn)識將更全面、更系統(tǒng).

以“求|x+2|+|x-1|的最小值”為例，大多數(shù)學(xué)生覺得這道題無從下手，有的學(xué)生會在草稿上取一些數(shù)嘗試代入，但是不能確認(rèn)答案.教師在分析這一題時可多角度剖析給出第一種解法：

從數(shù)學(xué)概念上理解，由絕對值法則可知，正數(shù)和零的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)和零的絕對值是它的相反數(shù).因此分三類討論代數(shù)式的值：

當(dāng)x≥1時，x+2>0，x-1≥0，原式=x+2+x-1=2x+1≥3;

當(dāng)x≥-2且x<1時，x+2≥0，x-1<0，原式=x+2-x+1=3;

當(dāng)x<-2時，x+2<0，x-1<0，原式=-x-2-x+1=-2x-1>3

進(jìn)行分類討論及比較后，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的最小值為3.但是下次遇到類似的題型，學(xué)生未必能確定字母的邊界值而進(jìn)行正確分類.

在此基礎(chǔ)上，教師可從形上分析，給出第二種解法：

兩數(shù)差的絕對值表示數(shù)軸上這兩數(shù)的點(diǎn)之間的距離.x+2，x-1分別表示x與-2的差和x與1的差.可畫圖，在數(shù)軸上有A、B分別表示的-2和1，另有一點(diǎn)M表示數(shù)x.求代數(shù)式的最小值的問題轉(zhuǎn)化為使點(diǎn)M到點(diǎn)A，B的距離之和最小.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時，點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之和最小為3;當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左邊或點(diǎn)B右邊時，點(diǎn)M到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的距離之和、大于3.

為了鞏固知識，教師可設(shè)計探究問題：當(dāng)x時，代數(shù)式|x+2|+|x-1|+|x-3|有最小值.

從數(shù)和形兩個角度解題后，大多數(shù)學(xué)生能達(dá)到學(xué)一題、會一類的目標(biāo).

一般來說，每堂課都有教學(xué)難點(diǎn)，如何輕松有效地突破難點(diǎn)是每位教師應(yīng)思索的問題.難點(diǎn)教學(xué)的有關(guān)實踐與思考有助于豐富教學(xué)設(shè)計和教學(xué)形式，為學(xué)生搭建起攀登數(shù)學(xué)高峰的臺階，這也是對“學(xué)為中心”教學(xué)理念的落實.教師必須經(jīng)常研究教學(xué)內(nèi)容和自身的教學(xué)方法，不斷提高自己的教學(xué)能力，才能更快地成長.

【參考文獻(xiàn)】

[1]林華.初中數(shù)學(xué)實驗助學(xué)價值分析[J].內(nèi)蒙古教育，2019（30）：50-51.

[2]張忠旺，金曉暉.借助數(shù)學(xué)實驗培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)案例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（10）：8-11，30.

[3]袁旭.借助數(shù)學(xué)實驗，提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（4）：86-87.