豐富素材 自主建模 理解定律
——《乘法分配律》教學(xué)實(shí)踐與思考

文｜陳月初

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“關(guān)于課程內(nèi)容”中明確指出“應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力”。運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。如何在教學(xué)中提高學(xué)生的計(jì)算能力呢？在計(jì)算中出現(xiàn)這么多的問(wèn)題是本身知識(shí)點(diǎn)難，還是運(yùn)算定律較難理解呢？

一、做了又錯(cuò)——發(fā)現(xiàn)痛點(diǎn)

學(xué)生的理解停留在淺層。比如說(shuō)，a+b×c這種類(lèi)型，有學(xué)生會(huì)想當(dāng)然地把它認(rèn)為是（a+b）×c 或者是a×c+b×c，這種錯(cuò)誤還是比較多的。筆者對(duì)出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，有很多學(xué)生認(rèn)為它就是乘法分配律的樣子。這是因?yàn)樗鼈冎g存在一定的相似性，誤導(dǎo)學(xué)生去相信自己眼睛看到的表象，而忽視了其本質(zhì)的東西。當(dāng)然還有些學(xué)生是真的不知道它們是不是一樣的。就這樣，教師在不斷地糾正著，學(xué)生又義無(wú)反顧地錯(cuò)著。

二、先看再想——尋找觸點(diǎn)

為了解決學(xué)生的痛點(diǎn)，讓學(xué)習(xí)變得更愉悅一些，這就要求我們?nèi)フJ(rèn)真地研究，究竟是哪里出了問(wèn)題？

1.教材縱向的研究——觀(guān)前世今生。

我們?cè)谒伎紗?wèn)題的時(shí)候，往往會(huì)聯(lián)系其前世今生，尋找內(nèi)在聯(lián)系。因此，筆者對(duì)教材進(jìn)行梳理，以便于發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的一些聯(lián)系。欣喜的是發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，對(duì)于乘法分配律并不是一無(wú)所知。而是在其學(xué)習(xí)之前已經(jīng)有了相關(guān)方面的知識(shí)體驗(yàn)。

學(xué)期 內(nèi)容 模型《乘加乘減》二年級(jí)上冊(cè)images/BZ_63_1161_2081_1455_2209.png4×3+4=（）×（）2×3-3=（）×（）images/BZ_63_1163_2260_1468_2416.png三年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)：（6+4）×2=20（厘米）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2=長(zhǎng)×2+寬×2《兩位數(shù)乘一位數(shù)口算》12×3=36 10×3=30 2×3=6 30+6=36《兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算》images/BZ_63_1161_2477_1466_2635.pngimages/BZ_63_1164_2695_1464_2816.pngimages/BZ_63_1496_2680_1797_2810.png《兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算》10×3=30 5×3=15 30+15=45三年級(jí)下冊(cè)images/BZ_63_1158_2869_1447_3001.pngimages/BZ_63_1687_2843_1766_3002.png面積的計(jì)算images/BZ_63_1151_3047_1470_3142.png21×（30-8）=21×30-21×8

從上表的分析來(lái)看，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，就有了相關(guān)知識(shí)體驗(yàn)，而且在學(xué)之前，這類(lèi)問(wèn)題學(xué)生都會(huì)解決。相反，在學(xué)習(xí)了乘法分配律之后，反而原有的知識(shí)體驗(yàn)變得不那么清晰了，甚至是這種知識(shí)體驗(yàn)突然消失了。其實(shí)不然，很多時(shí)候我們?cè)谖唇⒁?guī)則的時(shí)候，我們可能對(duì)事情的理解會(huì)淺層一點(diǎn)，會(huì)好理解一點(diǎn)，但是在建立規(guī)則以后，我們的思考會(huì)受規(guī)則影響，以至于去完成事件的時(shí)候需要去聯(lián)系著想?？v向?qū)Ρ?，有了一些發(fā)現(xiàn)，隨即筆者翻閱了其他版本的教材進(jìn)行對(duì)比。

2.教材橫向的對(duì)比——看左鄰右里。

筆者翻閱了蘇教版、北師大版等教材。發(fā)現(xiàn)不管是哪個(gè)版本，學(xué)習(xí)乘法分配律前，都有該定律的模型的鋪墊，但都沒(méi)有出現(xiàn)對(duì)應(yīng)字眼和描述。筆者對(duì)41 位教師進(jìn)行的問(wèn)卷調(diào)查也顯示，教材不同，教學(xué)時(shí)也都沒(méi)有對(duì)乘法分配律進(jìn)行著重講解，而是順其自然。在教學(xué)了乘法分配律之后，情況也是高度一致，學(xué)生的出錯(cuò)率很高。筆者做了一個(gè)大膽的猜測(cè)，原因可能是同一時(shí)間學(xué)習(xí)多種運(yùn)算定律的原因，學(xué)生受外界干擾因素越多，那么混淆率和錯(cuò)誤率也就會(huì)提高，后期反而要做相應(yīng)的教學(xué)補(bǔ)救措施。

三、尋找策略——突破難點(diǎn)

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提高興趣。

學(xué)生往往對(duì)一些生動(dòng)的、有趣的教學(xué)素材比較感興趣。因此，教師如果能夠認(rèn)真研讀教材，理解編者意圖，再聯(lián)系生活實(shí)際，通過(guò)挖掘生活中有趣的素材，這樣錯(cuò)誤率應(yīng)該會(huì)有所降低。如教學(xué)《乘法分配律》的時(shí)候，書(shū)上例題是“褲子45 元，夾克衫65 元，張老師買(mǎi)5 件夾克衫和5 條褲子，一共要付多少元？”這個(gè)素材對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，一是生活體驗(yàn)不夠，沒(méi)有買(mǎi)過(guò)衣服；二是素材不吸引人。學(xué)生的興趣勢(shì)必也會(huì)降低。如果把素材改成“四年級(jí)有4 個(gè)班，五年級(jí)有5 個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24 根繩子。四五年級(jí)一共領(lǐng)多少根繩子？”雖然還是會(huì)顯得比較單調(diào)，但是可以給素材進(jìn)行點(diǎn)綴，教師可以補(bǔ)充創(chuàng)設(shè)情境：學(xué)校開(kāi)展跳繩比賽。這不，四五年級(jí)的學(xué)生正派代表去領(lǐng)繩子呢！經(jīng)過(guò)情境創(chuàng)設(shè)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生更積極地思考。而創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境的方法有很多，比如情境法、懸念法、認(rèn)識(shí)沖突法等。教師創(chuàng)造的情境要遵循趣味性、生活性、應(yīng)用性等原則。即教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與學(xué)生生活密切相關(guān)的場(chǎng)景，既要注重趣味性，還要在體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值基礎(chǔ)上，具備挑戰(zhàn)性，引發(fā)學(xué)生自主地學(xué)習(xí)。

2.建立模型思想，強(qiáng)化算理。

模型思想也是一種規(guī)律意識(shí)，都是從特定的原型開(kāi)始，經(jīng)歷一系列的觀(guān)察、比較、分析、概括的操作，最后形成結(jié)論。在《乘法分配律》一課，筆者為學(xué)生建立“比較分析——提出猜想——舉例驗(yàn)證——推廣應(yīng)用”的模型思想。具體說(shuō)來(lái)就是在例題（4＋5）×24 和4×24＋5×24 這兩道算式算出得數(shù)相等時(shí)，初步感知這兩道算式之間的聯(lián)系。雖說(shuō)先算和后算的過(guò)程是不一樣的，但是最后的結(jié)果是一樣的。學(xué)生觀(guān)察等式，提出猜想，接著舉例驗(yàn)證，最后總結(jié)規(guī)律，推廣應(yīng)用。學(xué)生經(jīng)歷多次這樣的建模學(xué)習(xí)后，可以感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律性。

3.培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提升素養(yǎng)。

“學(xué)源于思，思源于疑”。學(xué)習(xí)中有思考、有質(zhì)疑、有批判，才能發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題并努力解決，如此才能激發(fā)創(chuàng)新思想和創(chuàng)新舉措。教師要在平常的教學(xué)中加以引導(dǎo)，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想。乘法分配律最初是對(duì)有相同因數(shù)的兩個(gè)乘法算式進(jìn)行相加的簡(jiǎn)便計(jì)算。教師可以提出探究性的問(wèn)題：如當(dāng)加號(hào)變成減號(hào)的時(shí)候，這個(gè)運(yùn)算定律還適用嗎？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行舉例驗(yàn)證，（5-4）×24 與5×24-4×24 的結(jié)果是一樣的，從而判斷在相減的時(shí)候是適用的，再讓學(xué)生去思考，加變減后，能否提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而進(jìn)行運(yùn)算定律的鞏固與內(nèi)化。當(dāng)教師提出：你有什么好辦法記住乘法分配律呢？學(xué)生集思廣益，有用文字、圖畫(huà)、語(yǔ)言等進(jìn)行記憶的，也有經(jīng)過(guò)教師提示想到用數(shù)形結(jié)合的方法。如兩個(gè)寬一樣的長(zhǎng)方形組合成的圖形有兩種計(jì)算面積的方法，一是先算兩個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的和再乘寬；二是先算兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積再求和。這兩種方法都是依據(jù)求兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積來(lái)解決問(wèn)題的。由此可見(jiàn)，教師的提問(wèn)方式很大程度上影響了學(xué)生的思維方式，越是開(kāi)放的問(wèn)題，就越有助于激發(fā)學(xué)生的探究精神，從而走向深度學(xué)習(xí)。

4.關(guān)聯(lián)新舊知識(shí)，豐富體系。

數(shù)學(xué)課程的教學(xué)是螺旋上升的過(guò)程，新知識(shí)的教學(xué)要建立在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，從而構(gòu)建連續(xù)和豐富的知識(shí)體系。這既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)循序漸進(jìn)地階梯式發(fā)展，也達(dá)到《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的要求，即在理解數(shù)學(xué)的同時(shí)，思維能力和價(jià)值觀(guān)等方面也獲得發(fā)展。因此，教師在教授新知時(shí)，應(yīng)有效將舊知融入教學(xué)中，找到舊知與新知的聯(lián)系，使兩者更好地貫通，達(dá)到更高效的學(xué)習(xí)。以《乘法分配律》為例，筆者在新課導(dǎo)入部分安排了計(jì)算（55＋45）×9 和55×9＋45×9 這兩道數(shù)學(xué)熱身題，學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中，不僅復(fù)習(xí)了之前的運(yùn)算順序，還滲透了湊整的簡(jiǎn)便計(jì)算思想。授新課后，筆者讓學(xué)生再回到這兩道題，并說(shuō)說(shuō)為什么左邊算得又對(duì)又快，體會(huì)簡(jiǎn)算的好處，激發(fā)簡(jiǎn)算的欲望。緊接著給出練習(xí)題：算一算、比一比，每組中哪一題的計(jì)算比較簡(jiǎn)便？在多次湊整計(jì)算后，學(xué)生能體會(huì)湊整的簡(jiǎn)便之處。接著再回顧以前應(yīng)用過(guò)的乘法分配律，比如在計(jì)算12×3 時(shí)，其實(shí)就是將12 寫(xiě)成10 加2，再計(jì)算10 個(gè)3 和2 個(gè)3 的和。在多次聯(lián)系新舊知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)的神奇之處，原來(lái)用過(guò)的解決方法，也可以用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的知識(shí)來(lái)解決。

筆者在進(jìn)行這一系列的教學(xué)策略以后，再對(duì)學(xué)生調(diào)查時(shí)，學(xué)生都說(shuō)更好理解了，并且難點(diǎn)得到了突破，其他定律的干擾也少了很多。在解題時(shí)，能夠用已經(jīng)建好的數(shù)學(xué)模型來(lái)解題，正確率明顯提高。

四、內(nèi)化提升——尋找生長(zhǎng)點(diǎn)

世間萬(wàn)物總是能夠找到它們的聯(lián)系點(diǎn)，在特定的時(shí)間里向著好的方向發(fā)展。乘法分配律也是一樣。小學(xué)階段學(xué)習(xí)，我們一直把乘法分配律運(yùn)用到計(jì)算中，然而這不是學(xué)習(xí)的結(jié)束。筆者翻看了初中教材后發(fā)現(xiàn)，初中學(xué)習(xí)里，乘法分配律還在繼續(xù)。在去括號(hào)的學(xué)習(xí)中，如a-（-b-c+d）=a+b+c-d，去括號(hào)時(shí)，我們可以看作是-1 去乘括號(hào)里的每一個(gè)數(shù)，然后再把它們進(jìn)行相加減。再如有理數(shù)的乘法計(jì)算9x-2（4a+4a-1）=9x-8a-8a+2，也可以用我們的乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。因此，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，乘法分配律的使用還是很廣泛的。

在乘法分配律的教學(xué)中，教師除了要教會(huì)學(xué)生靈活運(yùn)用定律外，更重要的是乘法分配律教學(xué)對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。教師要通過(guò)不斷改進(jìn)教學(xué)方法，滲透數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，使運(yùn)算教學(xué)在算理、算法、技能這三方面得到和諧發(fā)展和提高，用長(zhǎng)遠(yuǎn)的目光看待學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程。教師教的不僅僅是知識(shí)本身，而是讓學(xué)生具備運(yùn)算的能力，體會(huì)運(yùn)算的價(jià)值和應(yīng)用。在教學(xué)中給學(xué)生足夠的空間去創(chuàng)新思維，在興趣中主動(dòng)學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，從而提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。