無(wú)處安放的“蘋(píng)果” 各得其所的“思維”
——以特級(jí)教師潘小明執(zhí)教《放蘋(píng)果》一課為例

文｜朱錦雯

《放蘋(píng)果》這一教學(xué)內(nèi)容是滬教版三年級(jí)下冊(cè)最后一個(gè)單元中“數(shù)學(xué)廣場(chǎng)”的教學(xué)內(nèi)容。滬教版教材中的“數(shù)學(xué)廣場(chǎng)”主要呈現(xiàn)一些重要且有趣的數(shù)學(xué)拓展內(nèi)容，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)思維能力。

傳統(tǒng)的課堂中，教師以3 個(gè)蘋(píng)果放入2 個(gè)抽屜引導(dǎo)學(xué)生有序思考，再以有序地羅列4 個(gè)蘋(píng)果放入3 個(gè)抽屜中的情況作為課堂教學(xué)的重心，以此來(lái)概括歸納出“抽屜原理”，對(duì)于形象思維占主導(dǎo)的小學(xué)生而言，如此抽象的概念是難以理解的。那么究竟本課的教學(xué)目標(biāo)是什么？教學(xué)重難點(diǎn)又該放在哪里呢？聽(tīng)了特級(jí)教師潘小明的課，我認(rèn)為，以核心問(wèn)題“把4 個(gè)蘋(píng)果放入3 個(gè)盤(pán)子，無(wú)論怎么放，總存在一個(gè)盤(pán)子里至少放_(tái)____個(gè)蘋(píng)果”來(lái)引出學(xué)生不同的猜想，再用不同的方法驗(yàn)證猜想是否正確，使學(xué)生能主動(dòng)參與探究過(guò)程，在思辨的過(guò)程中發(fā)展其思維能力，可以真正體現(xiàn)學(xué)生在課堂中的主體性。

一、提出合理猜想，感受思維差異

教育家波利亞曾說(shuō)：“讓我們教猜想吧！”猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，猜想的誕生預(yù)示著數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)。合理猜想能幫助學(xué)生比較迅速地發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。

教學(xué)片斷1：

板書(shū)呈現(xiàn)：把4 個(gè)蘋(píng)果放入3 個(gè)盤(pán)子，無(wú)論怎么放，總存在一個(gè)盤(pán)子里至少放_(tái)____個(gè)蘋(píng)果。

師：每位同學(xué)看著我的問(wèn)題，思考答案是多少？

師：（停頓片刻）你覺(jué)得是幾個(gè)呢？

學(xué)生用手勢(shì)表示。

師：我看到了，有的同學(xué)出了1 個(gè)，有的同學(xué)出了2 個(gè)，也有同學(xué)出了3 個(gè)，還有一個(gè)同學(xué)出了4 個(gè)。

如果沒(méi)有調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情就急于開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng)，那么這種學(xué)習(xí)是無(wú)效的。教學(xué)中潘老師利用在情境中提出合理猜想，使枯燥、抽象的數(shù)學(xué)課堂變得生動(dòng)活潑，以此增添學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維。在反饋結(jié)果的過(guò)程中，潘老師并不是快速地直接將答案一一呈現(xiàn)在黑板上，而是把看到的結(jié)果一一陳述給學(xué)生聽(tīng)，“有的同學(xué)出了1 個(gè)，有的同學(xué)出了2 個(gè)，也有同學(xué)出了3 個(gè)，還有一個(gè)同學(xué)出了4 個(gè)”，再進(jìn)行板書(shū)?？此撇唤?jīng)意、甚至有點(diǎn)浪費(fèi)寶貴課堂時(shí)間的一個(gè)小細(xì)節(jié)，卻讓學(xué)生在經(jīng)歷對(duì)核心問(wèn)題的合理猜想之后，對(duì)自己和同伴之間不同的思維結(jié)果有了初步感受，極大地激活了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究熱情，拓展了學(xué)生的思維空間，讓學(xué)生充分感受到了與同伴之間思維的不同，也真正地讓學(xué)生的思維“飛”起來(lái)了。

二、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展思維能力

任何猜想都要經(jīng)過(guò)驗(yàn)證才能確定其價(jià)值，猜想驗(yàn)證的過(guò)程就是學(xué)生主動(dòng)參與并構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。只有猜想沒(méi)有驗(yàn)證，那只能是空想，只有把猜想和驗(yàn)證緊密結(jié)合，才可以形成猜想的良性循環(huán)、豐富學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生的思維能力。

教學(xué)片斷2：

師：“4”這個(gè)答案，你覺(jué)得怎么樣？

生1：我覺(jué)得是不可能的。

生2：我覺(jué)得是有可能的。（上臺(tái)擺放，甲盤(pán)4，乙盤(pán)0，丙盤(pán)0）

生3：我感覺(jué)是錯(cuò)的，因?yàn)樗f(shuō)了“無(wú)論怎么放”。（上臺(tái)擺放，甲盤(pán)3，乙盤(pán)1，丙盤(pán)0）

追問(wèn)生2：那么“4”這個(gè)結(jié)論是不是無(wú)論怎么放都存在？

生2：不是的。

師：真好！那么（指著黑板上的方法）我知道了“3”這個(gè)答案是對(duì)的。

生：錯(cuò)的。（上臺(tái)擺放，甲盤(pán)2，乙盤(pán)1，丙盤(pán)1）

師：厲害！舉了一個(gè)反例就把這句話(huà)推翻了。所以2 個(gè)的答案是對(duì)的吧？

（學(xué)生舉手表決，部分學(xué)生認(rèn)為對(duì)，部分學(xué)生認(rèn)為錯(cuò)）

師：認(rèn)為2 個(gè)的答案是錯(cuò)的話(huà)誰(shuí)能舉個(gè)反例？

學(xué)生遲疑，舉不出反例。

生：（上臺(tái)拿起甲盤(pán)中的1 個(gè)蘋(píng)果演示）這個(gè)蘋(píng)果不論放在哪里，都有1 個(gè)盤(pán)子里有2個(gè)，我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是對(duì)的。

師：無(wú)論怎么放，都對(duì)，那你有沒(méi)有找過(guò)這些方法？有幾種？

學(xué)生猜測(cè)，10 種、11 種、15 種以上……

教師引導(dǎo)學(xué)生在甲盤(pán)中依次放入4 個(gè)、3個(gè)、2 個(gè)、1 個(gè)、0 個(gè)，分為五類(lèi)來(lái)考慮，有序地與學(xué)生一起板書(shū)羅列后驗(yàn)證總存在1 個(gè)盤(pán)子里至少放2 個(gè)。

師：通過(guò)這樣的一番試驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)“2”這個(gè)結(jié)論對(duì)不對(duì)？

生：對(duì)。

師：那么“1”這個(gè)結(jié)論還要討論嗎？

生：不要。

師：對(duì)，否則蘋(píng)果總數(shù)1 個(gè)就可以滿(mǎn)足了，這件事情就沒(méi)有意義了。

枯燥單一的教師講解式教學(xué)往往容易使小學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)的情緒，在課堂中充分給予學(xué)生思考、表達(dá)、交流的機(jī)會(huì)，能促使其在說(shuō)、聽(tīng)、想的過(guò)程中主動(dòng)參與課堂活動(dòng)，清晰知識(shí)結(jié)構(gòu)。但在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，光鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想還不夠，必須引導(dǎo)其進(jìn)行細(xì)心驗(yàn)證。通過(guò)潘老師循循善誘的引導(dǎo)，個(gè)別學(xué)生用舉反例的方法驗(yàn)證4 個(gè)的結(jié)論不正確。一石激起千層浪，課堂瞬間被點(diǎn)燃，學(xué)生都用這種方法來(lái)推理3 個(gè)的結(jié)論不正確，“舉反例”的這一方法就此在學(xué)生心中埋下了種子。而當(dāng)2 個(gè)的結(jié)論一出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生卻發(fā)現(xiàn)舉反例的方法無(wú)法證明這句話(huà)是錯(cuò)的，馬上有學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了每個(gè)盤(pán)子如果都放1 個(gè)，那么還有1 個(gè)蘋(píng)果不管怎么放總有一個(gè)盤(pán)子里會(huì)有2 個(gè)蘋(píng)果，這個(gè)無(wú)處安放的“蘋(píng)果”是學(xué)生思維的展現(xiàn)，也使其他學(xué)生在傾聽(tīng)的過(guò)程中有了思維能力的發(fā)展。學(xué)生在潘老師的不斷引導(dǎo)下有序地羅列出15 種方法，學(xué)生確實(shí)得到了驗(yàn)證，結(jié)論2 個(gè)是正確的。在學(xué)生的觀(guān)察、操作、推理等活動(dòng)中，潘老師并沒(méi)有淡化有序思考的重要性，但更想無(wú)聲地滲透“猜想—驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想方法。在驗(yàn)證過(guò)程中，學(xué)生思維的出發(fā)點(diǎn)、方向和方法有了多種形式的呈現(xiàn)，有效地培養(yǎng)了思維的靈活性，在不斷完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中使不同學(xué)生的思維都能在原有基礎(chǔ)上得到不同程度的發(fā)展。

三、立足數(shù)學(xué)思考，提升思維品質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的課堂上，幾乎每一節(jié)課的知識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是新鮮的，我們?cè)诒Ｕ蠑?shù)學(xué)基本教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的同時(shí)，還要對(duì)學(xué)生的邏輯分析能力進(jìn)行培養(yǎng)，對(duì)教材中沒(méi)有涉及的知識(shí)點(diǎn)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，這是檢驗(yàn)學(xué)生是否理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的途徑。

教學(xué)片斷3：

（板書(shū)呈現(xiàn)：把11 個(gè)蘋(píng)果放入10 個(gè)盤(pán)子，無(wú)論怎么放，總存在一個(gè)盤(pán)子里至少放_(tái)____個(gè)蘋(píng)果）

生：2 個(gè)。

師：你們是不是還要像剛才那樣去驗(yàn)證？

生：不要。

師：那你有什么方法驗(yàn)證2 個(gè)肯定是對(duì)的？

生1：每個(gè)盤(pán)子里先放1 個(gè)，10 個(gè)盤(pán)子放了10 個(gè)蘋(píng)果，那么還剩1 個(gè)蘋(píng)果，不管放在哪個(gè)盤(pán)子里，總有1 個(gè)盤(pán)子里放了2 個(gè)。

師：這種想法就是從最不利的情況考慮，以此來(lái)分析推理。繼續(xù)想。

（板書(shū)呈現(xiàn)：把12 個(gè)蘋(píng)果放入10 個(gè)盤(pán)子，無(wú)論怎么放，總存在一個(gè)盤(pán)子里至少放_(tái)____個(gè)蘋(píng)果）

學(xué)生的手勢(shì)有2 有3。

生2：先把每個(gè)盤(pán)子里放1 個(gè)，10 個(gè)盤(pán)子里一共放了10 個(gè)蘋(píng)果，還剩下2 個(gè)蘋(píng)果，放入任意一個(gè)盤(pán)子里，這個(gè)盤(pán)子里就肯定有3 個(gè)蘋(píng)果了。

生3：我覺(jué)得如果你把2 個(gè)蘋(píng)果分開(kāi)放，那么每個(gè)盤(pán)子里最多還是2 個(gè)。

師：對(duì)啊，剛才你把10 個(gè)蘋(píng)果盡可能分開(kāi)放，那么剩下的2 個(gè)蘋(píng)果還得怎么放?。?/p>

生：分開(kāi)放。

師：那么每個(gè)盤(pán)子里最多還是幾個(gè)??？

生：2 個(gè)。

師：所以結(jié)論變不變？

生：不變。

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“教育應(yīng)當(dāng)使所提供的東西讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來(lái)接受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他去負(fù)擔(dān)?！币惶谜n，40 分鐘，在這樣一個(gè)有限的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生不僅能掌握教材中4 個(gè)蘋(píng)果放入3 個(gè)抽屜中的知識(shí)，還能了解更多與抽屜原理有關(guān)的知識(shí)，利用“最不利原則”分析解決11 個(gè)蘋(píng)果（甚至是12 個(gè)蘋(píng)果） 放在10 個(gè)盤(pán)子中的問(wèn)題，學(xué)生不再通過(guò)有序羅列所有情況來(lái)驗(yàn)證，而是通過(guò)數(shù)學(xué)邏輯分析來(lái)解決問(wèn)題，這正是潘老師抓住的本課教材背后的知識(shí)暗線(xiàn)，不少學(xué)生還迫不及待地想繼續(xù)研究19 個(gè)蘋(píng)果放入10 個(gè)盤(pán)子、21 個(gè)蘋(píng)果放入10 個(gè)盤(pán)子的情況。新課改提倡的基于課程標(biāo)準(zhǔn)、基于教學(xué)基本要求究竟指什么，我想，理解為基于學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知能力在這節(jié)課中更為合理。潘老師看似是把課本知識(shí)向課外延伸，實(shí)則是根據(jù)學(xué)生的能力靈活運(yùn)用了數(shù)學(xué)教材這一載體來(lái)拓寬思維、開(kāi)闊視野，提高課堂教學(xué)效率，擴(kuò)大課堂教學(xué)容量，真正提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展是現(xiàn)代小學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)需要教師引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題情境中進(jìn)行合理的猜想，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行驗(yàn)證，豐富知識(shí)結(jié)構(gòu)，積累解決問(wèn)題的方法與經(jīng)驗(yàn)，在不斷的質(zhì)疑與釋疑中持續(xù)地獲得思維能力的發(fā)展，從而提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。