“梯形的面積”教學(xué)中滲透化歸思想芻議

史立峰

[摘 要]數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。以“梯形的面積”教學(xué)為例，探討化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透，以使學(xué)生感悟化歸思想方法的真諦，從而將其內(nèi)化到已有的認(rèn)知系統(tǒng)之中。

[關(guān)鍵詞]化歸思想;小學(xué)數(shù)學(xué);梯形的面積

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0064-02

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能僅滿足于使學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，從而啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維?；瘹w思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)在教材中充分挖掘，并在教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行滲透，以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。下面以“梯形的面積”教學(xué)為例，探討如何在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透化歸思想。

一、溝通聯(lián)系，體驗(yàn)化歸思想

“梯形的面積”是學(xué)生在掌握了長(zhǎng)方形的面積、正方形的面積、平行四邊形的面積以及三角形的面積的基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的，學(xué)生對(duì)化歸思想已有一定的認(rèn)識(shí)。另外，學(xué)生今后還將在組合圖形的面積、圓的面積等知識(shí)中再次應(yīng)用化歸思想，因此，“梯形的面積”處在一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵位置，需要教師結(jié)合學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，溝通知識(shí)聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)化歸思想的再認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)片段】

師：請(qǐng)回憶一下，我們是如何推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式的？

生1：把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的長(zhǎng)方形。

師：我們又是如何推導(dǎo)出三角形的面積公式的？

生2：把三角形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形。

師：這種把未知轉(zhuǎn)化為已知的思想，在數(shù)學(xué)上就叫作化歸思想。

師：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們還會(huì)遇到另一種平面圖形——梯形。圖1是一個(gè)水壩的橫截面，它是一個(gè)梯形。你能求出這個(gè)水壩橫截面的面積是多少平方米嗎？

生3：可以把梯形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的圖形。

生4：搞清楚轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。

……

通過回顧舊知，激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出新舊知識(shí)在研究方法上的相通之處，使學(xué)生初步感知化歸思想，從而為本節(jié)課的教學(xué)亮明主題，奠定基調(diào)。同時(shí)，通過計(jì)算水壩的面積問題導(dǎo)入梯形的面積，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又使學(xué)生感受到學(xué)好新知的重要性。

二、自主探究，感悟化歸思想

在學(xué)生初步感知化歸思想的基礎(chǔ)上，教師不但要引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索的過程感悟化歸思想，還要引導(dǎo)學(xué)生多維度進(jìn)行探究。數(shù)學(xué)問題的解決往往有多種不同的途徑，學(xué)生在嘗試采用不同的方法進(jìn)行探究的過程中，就能提升探究能力，提升對(duì)數(shù)學(xué)化歸思想的認(rèn)識(shí)。最后，教師要注意對(duì)探究過程的調(diào)控，及時(shí)解決學(xué)生在探究過程中提出的問題，從而提高學(xué)生自主探究的實(shí)效性。

【教學(xué)片段】

師：現(xiàn)在請(qǐng)小組長(zhǎng)拿出小組的學(xué)具袋，看看里面都準(zhǔn)備了哪些學(xué)具。

生1：有很多梯形，有一般梯形、直角梯形，還有等腰梯形。

師：現(xiàn)在就請(qǐng)利用這些學(xué)具，發(fā)揮想象力，把手中的梯形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的已知圖形吧！注意兩個(gè)問題：新圖形與原圖形之間有什么關(guān)聯(lián)？如何通過這種關(guān)聯(lián)推導(dǎo)出梯形的面積公式？

生2：我們小組把兩個(gè)完全相同的梯形拼接成了一個(gè)平行四邊形（如圖2）。梯形面積是平行四邊形面積的一半，因?yàn)檫@個(gè)平行四邊形是由兩個(gè)完全相同的梯形拼成的。

師：如何通過這種關(guān)聯(lián)推導(dǎo)出梯形的面積公式呢？

生3：梯形的上底和下底加起來剛好是平行四邊形的底，梯形的高就是平行四邊形的高。因此，梯形的面積=平行四邊形的面積÷2=底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。

師：就像三角形的面積公式的推導(dǎo)過程一樣，把兩個(gè)完全一樣的梯形拼接成平行四邊形，由此實(shí)現(xiàn)化未知為已知的目的，這就是化歸思想的精髓。

生4：我們用的是兩個(gè)完全相同的直角梯形，它們可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖3）。

生5：梯形的面積是長(zhǎng)方形的面積的一半，梯形的上底和下底加起來剛好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，梯形的高就是長(zhǎng)方形的寬。因此，梯形的面積=長(zhǎng)方形面積÷2=長(zhǎng)×寬÷2=（上底+下底）×高÷2。

師：這種方法和生3的方法本質(zhì)上是一致的，它的核心思路就是把梯形轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形（平行四邊形或長(zhǎng)方形），并從新圖形和原圖形之間的面積關(guān)系推導(dǎo)出梯形的面積公式。

生6：我們只用了一個(gè)梯形。采用割補(bǔ)法，沿著梯形兩個(gè)腰的中間位置剪開，這樣一個(gè)梯形就變成了兩個(gè)梯形，然后把這兩個(gè)梯形拼成一個(gè)平行四邊形。（如圖4）

師：新圖形和原圖形有什么關(guān)系呢？

生7：面積相等。梯形的上底和下底加起來剛好是平行四邊形的底，平行四邊形的高是梯形的高的一半。因此，梯形的面積=平行四邊形的面積=底×高=（上底+下底）×（高÷2），也就是（上底+下底）×高÷2。

師：這種方法把一個(gè)梯形切割成兩個(gè)梯形，然后再把這兩個(gè)梯形拼接成平行四邊形，其中同樣蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想。

生8：我們組也是只用了一個(gè)梯形就推導(dǎo)出了梯形的面積公式。把一個(gè)梯形切割成兩個(gè)三角形（三角形1和三角形2）（如圖5），梯形的面積等于兩個(gè)三角形的面積之和。其中，三角形1的底是梯形的下底，它的高就是梯形的高;三角形2的底是梯形的上底，它的高也是梯形的高。梯形的面積=三角形1的面積+三角形2的面積=上底×高÷2+下底×高÷2=（上底+下底）×高÷2。

生9：這個(gè)方法真奇妙呀！

生10：推導(dǎo)過程的最后一步用到了乘法分配律。

師：這種把梯形轉(zhuǎn)化成了三角形的方法，也體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。

師：如果用S表示梯形的面積，用a和b分別表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么梯形的面積公式就可以寫成S=（a+b）×h÷2。

無論是把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長(zhǎng)方形，抑或是三角形，都體現(xiàn)了化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化未知為已知的基本思想，而這就是數(shù)學(xué)化歸思想的精髓。從用兩個(gè)梯形拼的一般方法，到一個(gè)梯形的割補(bǔ)法，多維呈現(xiàn)的方式使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到知識(shí)的本質(zhì)，體會(huì)到化歸思想的內(nèi)涵。在教師問題的引導(dǎo)下，學(xué)生的探究基本上分為三大步，先操作拼接，再探索關(guān)聯(lián)，最后歸納公式，這就使得學(xué)生的探究活動(dòng)具有明確的目的性，使課堂教學(xué)真實(shí)而高效。

三、解決問題，應(yīng)用化歸思想

現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題，如果按照常規(guī)思路解答會(huì)非常棘手，但采取化歸思想把復(fù)雜的問題變成簡(jiǎn)單的問題，就可以降低解決問題的難度，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識(shí)。

【教學(xué)片段】

師：淘氣來到了一個(gè)木器加工廠，他看到了一大堆圓木（如圖6），你能幫淘氣算一算，這一共是多少根圓木嗎？

生1：圓木的數(shù)量不算很多，我數(shù)了數(shù)，一共是33根。

師：這種直接數(shù)數(shù)的方法有什么缺點(diǎn)呢？

生2：比較麻煩，而且容易重復(fù)或者遺漏。

生3：如果圓木的數(shù)量很多，那這種方法就“不靈”了。

師：大家有什么好辦法嗎？這些圓木堆成了一個(gè)什么圖形？

生4：我看出來了，這些圓木堆成了一個(gè)梯形。

生5：把最上層的3根看作梯形的上底，把最下層的8根看作梯形的下底，把共有6層看作梯形的高，然后根據(jù)梯形的面積公式可以得（3+8）×6÷2=33（根）。

生6：這個(gè)方法真巧妙呀！

師：這道題依然使用了化歸的數(shù)學(xué)思想。在生活中有很多問題都需要用到化歸思想，大家可要注意觀察，做到學(xué)以致用呀！

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸思想方法解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，不但在數(shù)學(xué)與生活中搭建起橋梁，還提升了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，凸顯了數(shù)學(xué)化歸思想方法的應(yīng)用價(jià)值。

如果說數(shù)學(xué)概念、原理等知識(shí)是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的一條“明線”，那數(shù)學(xué)思想方法則是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的一條“暗線”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深入挖掘教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生逐漸感悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦，從而將數(shù)學(xué)思想方法填補(bǔ)到已有的認(rèn)知系統(tǒng)之中。

（責(zé)編 童 夏）