一道耐人尋味的二次函數(shù)中考題賞析

沈岳夫

[摘? 要] 在研習(xí)2020年的各地中考卷時(shí)，江蘇淮安的一道以二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)壓軸題看似常規(guī)，但又不常規(guī)，有創(chuàng)意、有難度，思維含量高，成為整卷得高分的“坎”.對(duì)于如何化解該題，文章從模型挖掘、一題多解兩方面對(duì)其第（3）問進(jìn)行重點(diǎn)剖析，望能對(duì)教學(xué)有所啟迪和幫助.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);動(dòng)態(tài)問題;解題策略

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”. 對(duì)問題進(jìn)行研究是教師的一項(xiàng)基本功，通過研究，挖掘其隱含的問題的本質(zhì)，獲得豐富的教學(xué)資源. 這樣做，不僅能提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)，還有利于開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力. 現(xiàn)以2020年江蘇淮安的中考?jí)狠S試題為例，著重研究第（3）問的解題思路，不妥之處，請(qǐng)同行指正.

評(píng)注 此題解法很多，實(shí)際就是面積“斜化直”問題，具有挑戰(zhàn)性，有較大難度. 其實(shí)第（2）問的設(shè)置已搭建起一座精巧的橋梁，有了很好的鋪墊.思路1是利用面積的分割，借用“寬高公式”順勢(shì)而為;思路2是把已知關(guān)系式S1-S2=6進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，直達(dá)本真，化繁難為簡捷，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.由此可見，通法、“模型”是數(shù)學(xué)常規(guī)解題的一種有效手段，教學(xué)中要讓學(xué)生理解常見方法，并將該方法領(lǐng)悟透徹，落實(shí)到位！

評(píng)注 此題含有轉(zhuǎn)化變形的技巧，有一定的靈活性.考生看到此問時(shí)，或許會(huì)被∠FBA+∠AOD-∠BFC=45°這個(gè)條件“嚇”得束手無策.究其原因，主要表現(xiàn)在：一是轉(zhuǎn)化意識(shí)缺乏，沒有把條件等價(jià)變形為∠FBA-∠BFC=45°-∠AOD;二是猜想意識(shí)貧乏，沒有通過畫圖猜想點(diǎn)F的軌跡（即AF∥x軸）;三是模型意識(shí)匱乏，如MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段MF，沒有聯(lián)想到隱藏的“一線三等角”模型.基于此，思路1是通過導(dǎo)角，先有FG∥AO，再判斷AF∥OC;思路2先添加平行線，再導(dǎo)角證平行;思路3在證得平行的基礎(chǔ)上，構(gòu)造“一線三等角”. 這三種思路都利用了通過導(dǎo)角證平行的常用方法，試題雖然不難，但對(duì)變形能力和推理能力有著較高的要求，因此，這三種不同的變形方式也對(duì)提升學(xué)生的變形能力及邏輯推理能力大有裨益.

類題遷移

幾點(diǎn)思考

1. 提取信息，有效構(gòu)圖

通過對(duì)題目的認(rèn)真閱讀，提取有效的關(guān)鍵信息，根據(jù)題意構(gòu)造出分離的幾何圖形（如圖6和圖7），靈活運(yùn)用平時(shí)積累的模型，做到“生題尋舊題，聯(lián)想生思路”，這樣解決問題時(shí)就如囊中探物，輕而易舉.

2. 思路遷移，分類討論

以二次函數(shù)為背景的動(dòng)態(tài)性問題，所涉知識(shí)點(diǎn)眾多，覆蓋面廣，條件隱蔽，關(guān)系復(fù)雜，思路難覓，解法靈活，這就需要考生在充分理解題意的基礎(chǔ)上多方位思考、多角度著手、多層次探索（如圖8和圖9）. 運(yùn)用類比、歸納、聯(lián)想、分類討論以及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法多管齊下，達(dá)到化繁為簡、化難為易的解題效果.

3. 一題多問，提升思維

解題時(shí)設(shè)置一系列類題，從形式上看，一問接一問，一環(huán)套一環(huán);從內(nèi)容上看，問問相連，環(huán)環(huán)緊扣;從目標(biāo)上看，步步緊逼，層層深入，讓問題處于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，才能把學(xué)生的思維引向一定的高度和深度，進(jìn)而總結(jié)問題的解決策略，高屋建瓴地把握解題方向，提高學(xué)生的核心素養(yǎng).

綜上所述，在探索和解決問題的過程中，有序思考，分層推進(jìn)，凸顯了數(shù)學(xué)解題的三個(gè)遞進(jìn)的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是如何知其所以然.在日常解題教學(xué)中，教師要善于選取、歸類、整合典型的試題作為教學(xué)素材，注重挖掘題目的通法，提煉解題模型，從而提升學(xué)生的思維能力和解題素養(yǎng).

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