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    知識剖析思路構(gòu)建,問題解析定理梳理

    2021-03-21 23:56:48林金杯
    關(guān)鍵詞:構(gòu)圖二次函數(shù)斜率

    林金杯

    [摘? 要] 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題在中考數(shù)學(xué)中極為常見,問題解析需要基于判定定理探索成立條件,并進(jìn)行幾何與函數(shù)條件的互化. 其中平行四邊形的判定定理是重點,開展知識剖析、思路構(gòu)建,有助于學(xué)生掌握該類問題的解法. 文章將以一道二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題為例進(jìn)行解法探究、定理總結(jié)與解讀.

    [關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);平行四邊形;判定定理;斜率;構(gòu)圖

    在初中幾何中,由幾何三元素到幾何圖形,知識難度逐步加深,其中“點、線、角”是基礎(chǔ),“三角形”是正餐,“圓”是插曲,而“特殊的四邊形”才是壓軸. 顯然,特殊的四邊形在幾何中占據(jù)著極為重要的位置,尤其在考題中,二次函數(shù)與特殊四邊形的結(jié)合十分緊密. 下面筆者將深入探究二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題.

    知識剖析,思路構(gòu)建

    1. 知識剖析

    二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題屬于函數(shù)與幾何綜合問題. 從幾何視角來看,問題涉及平行四邊形的性質(zhì)、判定,因此常圍繞以下四大性質(zhì)來展開. 問題解析時也應(yīng)靈活運用對應(yīng)的定理.

    ①平行與角的關(guān)系,需靈活應(yīng)用平行的性質(zhì)和判定定理;

    ②平行與對邊的關(guān)系,主要體現(xiàn)在對邊相等上,可利用該關(guān)系進(jìn)行互推;

    ③對角線相互平分的關(guān)系,為平行四邊形的主要性質(zhì)之一,可從三角形全等視角進(jìn)行探索;

    ④平行四邊形的面積公式,該公式主要用于計算平行四邊形的面積,但基于公式可進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化.

    2. 思路構(gòu)建

    從函數(shù)視角來看,需要掌握以下兩種切入思路:

    ①基于“平行線的斜率k相等”來推導(dǎo)直線表達(dá)式,求解關(guān)鍵點的坐標(biāo);

    ②利用中點坐標(biāo)公式求解點的位置,主要用于平行四邊形對角線的交點確認(rèn).

    問題實例,過程解析

    問題:如圖1所示,已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸相交于點A和B,且點A的坐標(biāo)為(-3,0),經(jīng)過點B的直線與拋物線相交于點D(-2,-3),試回答下列問題.

    (1)求拋物線的解析式以及直線BD的解析式;

    (2)過x軸上的點E(a,0)(點E在點B的右側(cè))作直線EF∥BD,與拋物線交于點F,試分析是否存在實數(shù)a,使得四邊形BDFE為平行四邊形?若存在,請求出滿足條件的a;若不存在,請說明理由.

    解析:(1)求直線與拋物線的解析式可采用待定系數(shù)法,求出對應(yīng)點的坐標(biāo),代入解析式求參數(shù)即可.

    點A和D在拋物線上,分別代入拋物線的解析式,可得9-3b+c=0

    4-2b+c=-3 ,解得b=2,

    c=-3,則拋物線的解析式為y=x2+2x-3. 點B是直線BD與拋物線的交點,且點B位于x軸上,結(jié)合拋物線的解析式可得點B(1,0). 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,結(jié)合點B和D的坐標(biāo)可求得k=1,b= -1,所以直線BD的解析式為y=x-1.

    (2)該問探究四邊形BDFE為平行四邊形時點E的橫坐標(biāo)值. 如圖2,已知EF∥BD,由平行四邊形的判定定理“兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”可知,只需確保DF∥BE,由于點B和E均位于x軸上,則只需滿足DF∥x軸即可.

    已知直線BD的解析式為y=x-1,則直線EF的解析式為y=x-a. 由于DF∥x軸,則點D和F的縱坐標(biāo)值相等,即點F的縱坐標(biāo)值為-3. 點F為直線EF與拋物線的交點,聯(lián)立兩個解析式,整理可得y2+(2a+1)y+a2+2a-3=0,解得y=. 令=-3,可解得a1=1,a2=3.

    當(dāng)a=1時,點E(1,0)與點B重合,不符合題意,舍去;

    當(dāng)a=3時,點E(3,0),符合題意;

    所以存在實數(shù)a=3,使得四邊形BDFE為平行四邊形.

    評析:上述第(2)問為平行四邊形存在性問題,其特點是設(shè)定了一組對邊平行,只要證明另一組對邊也平行即可. 解析時充分把握邊與x軸相重合的特點,直接將平行條件轉(zhuǎn)化為頂點縱坐標(biāo)相等,極大地減少了運算量. 對于上述問題情形,若出現(xiàn)邊與坐標(biāo)軸相重合或平行的情形,則可以借助“兩直線平行與直線斜率的關(guān)系”推導(dǎo)邊所在直線的解析式,聯(lián)立解析式求出頂點坐標(biāo).

    定理梳理,拓展探究

    1. 定理梳理

    上述探究了一道二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題的解析過程. 實際上,該題是基于平行四邊形的判定定理來構(gòu)建思路的. 教材中有多個關(guān)于平行四邊形的判定定理,理解定理十分容易,難點在于如何在函數(shù)背景問題中靈活運用定理. 下面具體闡述常用判定定理的應(yīng)用思路.

    定理1:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

    該定理的核心是“對邊平行”. 實際上平行線的斜率是相等的,故可從斜率視角切入,并分兩種情形進(jìn)行解析:①當(dāng)邊與坐標(biāo)軸平行時,可直接將平行條件轉(zhuǎn)化為頂點坐標(biāo)值相等,如上述問題;②當(dāng)邊與坐標(biāo)軸不平行時,邊所在直線具有一般性,可將平行條件轉(zhuǎn)化為斜率相等.

    定理2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

    該定理的核心是“對邊相等”. 在函數(shù)背景下進(jìn)行解析需要充分利用點坐標(biāo)及幾何性質(zhì),利用點坐標(biāo)推導(dǎo)幾何性質(zhì),利用幾何性質(zhì)證明邊長相等,逆推點位置,聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo).

    定理3:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

    該定理時常被用于解決函數(shù)與四邊形問題,解析時只需把握其中一組對邊關(guān)系即可,建議從點坐標(biāo)入手,利用點坐標(biāo)證明線段等長,構(gòu)建斜率相等與點坐標(biāo)關(guān)聯(lián). 其中,兩點間距離公式和斜率公式是解析的關(guān)鍵.

    定理4:兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

    該定理的核心是“對角線互相平分”. 在函數(shù)背景下需要關(guān)注四邊形對角線的交點,顯然平行四邊形對角線的交點也是對角線的中點,故實際解析時可充分利用中點坐標(biāo)公式. 在已知對角線的兩個端點及交點中的任意兩點坐標(biāo)時,可直接利用該公式來推導(dǎo)另一個點的坐標(biāo).

    2. 拓展探究

    菱形是一種特殊的四邊形,相較于普通四邊形,菱形的四邊均相等,對角線互相垂直且平分. 二次函數(shù)中的菱形存在性問題十分常見,具體解析時可把握菱形與平行四邊形的特殊點,采用“先論證平行四邊形,再論證菱形”的策略. 把握上述特性,構(gòu)建如下思路.

    ①“論證平行四邊形→一組鄰邊相等→菱形”,證明四邊形為平行四邊形后,再證明一組鄰邊相等,最后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證四邊相等.

    ②“論證平行四邊形→對角線互相垂直→菱形”,對于其中的垂直關(guān)系可充分利用“兩直線互相垂直,則其斜率乘積為-1”來構(gòu)建,注意討論斜率不存在的情形.

    例題:(2020年重慶市中考題)如圖3所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于A,B兩點,其中A(-3,-4),B(0,-1).

    (1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

    (2)點P為直線AB下方拋物線上的任意一點,連接PA,PB,求△PAB面積的最大值;

    (3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的拋物線與原拋物線相交于點C,點D為原拋物線對稱軸上的一點,在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點E,使以點B,C,D,E為頂點的四邊形為菱形,若存在,請直接寫出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

    解析:(1)拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x-1;

    (2)△PAB面積的最大值為;

    (3)下面主要針對第(3)問進(jìn)行解法探究. 由題意可知,平移后的拋物線的解析式為y=x2-5,可求得點C(-1,-4). 可設(shè)點D(-2,m),E(s,t). 分如下兩種情形.

    ①當(dāng)BC為菱形的邊時,則菱形的邊長確定,只需確保邊長相等即可. 根據(jù)點坐標(biāo)可知,點C先向右平移1個單位,再向上平移3個單位得到點B,結(jié)合該平移情形,點D和點E可得如下關(guān)系.

    點D先向右平移1個單位,再向上平移3個單位得到點E,此時點D在點E的下方,可推知-2+1=s且m+3=t①,并且BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32②,聯(lián)立①②可得點E(-1,2);

    點E先向右平移1個單位,再向上平移3個單位得到點D,此時點D在點E的上方,可推知-2-1=s且m-3=t③,并且BD=BC,即22+(m+1)2=12+32④,聯(lián)立③④可得點E(-3,-4+)或(-3,-4-);

    ②當(dāng)BC為菱形的對角線時,對角線BC和DE的中點為同一個點,由中點坐標(biāo)公式可得:-1=s-2且-4-1=m+t⑥. 并且BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(t+1)2⑦,聯(lián)立⑥⑦可得點E(1,-3);

    綜上可知,滿足條件的點E的坐標(biāo)有四個,分別為(-1,2),(-3,-4+),(-3,-4-),(1,-3).

    總之,平行四邊形的性質(zhì)雖較為簡單,但與二次函數(shù)相結(jié)合仍會給學(xué)生造成一定的困擾. 無論是構(gòu)圖過程還是條件轉(zhuǎn)化,均需要立足函數(shù)與幾何的性質(zhì)定理. 解題時學(xué)生應(yīng)基于平行四邊形的判定定理來探索成立條件,利用函數(shù)與幾何的知識關(guān)聯(lián)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化. 教學(xué)中教師應(yīng)注意定理歸納和策略總結(jié),引導(dǎo)學(xué)生梳理解題步驟,拓展學(xué)生的解題思維.

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