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    一類(lèi)新混合?似變分不等式解的存在性和唯一性

    2021-03-19 07:01:08謝祥俊
    關(guān)鍵詞:中令變?cè)?/a>子集

    李 舜,謝祥俊

    (1.成都工業(yè)學(xué)院,四川 成都 611730;2.西南石油大學(xué)理學(xué)院,四川 成都 610500)

    許多學(xué)者[1? 4]之前研究過(guò)變分不等式解的存在、唯一性問(wèn)題。本文在文獻(xiàn)[5 ? 7]的基礎(chǔ)上,引入τ?η?g?余強(qiáng)制與ξ ?η?g?松弛Lipschitz 連續(xù)概念,利用不動(dòng)點(diǎn)技巧,研究了一類(lèi)新混合?似變分不等式,證明了這類(lèi)不等式解的存在、唯一性,此結(jié)果推廣和發(fā)展了近期這方面的一些研究成果[5?7]。

    1 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)X是自反Banach 空間,X?為其共軛空間,‖·‖表示X中的范數(shù),〈·,·〉表示X?與X的配對(duì),K?X為非空閉凸子集,映射T,A:K→X?,g:K→K,η:K×K→X,b:K×K→R=R∪{+∞}且滿足:

    (a)b(·,·)關(guān)于第一變?cè)蔷€性的;

    (b)b(·,·)關(guān)于第二變?cè)峭瓜掳脒B續(xù)的;

    (c)存在常數(shù)γ >0,使得b(x,y)≤γ‖x‖·‖y‖;

    (d)b(x,y)?b(x,z)≤b(x,y?z),?x,y,z∈K;

    f:X×X→R且滿足:存在常數(shù)α >0,β >0,使?x,y∈X有

    顯然α ≤β。本文討論如下混合?似變分不等式問(wèn)題:對(duì)給定的? ∈X?,求∈K,使

    當(dāng)g=I(恒等映射),f=0,問(wèn)題(3)變?yōu)槲墨I(xiàn)[5]討論過(guò)的問(wèn)題;當(dāng)?=??1,g=I,f=0,b(x,y)=q(y),這里q:,問(wèn)題(3)變?yōu)槲墨I(xiàn)[6]討論過(guò)的問(wèn)題;當(dāng)T=0,?=0,g=I,問(wèn)題(3)變?yōu)槲墨I(xiàn)[7]討論過(guò)的問(wèn)題,這里所討論的問(wèn)題是一個(gè)比前面討論的問(wèn)題更廣泛的問(wèn)題。

    設(shè)T:K→X?,g:K→K,η:K×K→X為3 個(gè)映射。

    定義:1)稱(chēng)T是τ?η?g?余強(qiáng)制的,若存在常數(shù)τ >0,使:

    特別地,若g=I,則概念回到文獻(xiàn)[5]中的τ?η余強(qiáng)制概念。

    2)稱(chēng)T是ξ ?η?g?松弛Lipschitz連續(xù)的,若存在常數(shù)ξ >0,使:

    特別地,若g=I時(shí),則概念回到文獻(xiàn)[5]中的ξ ?η?松弛Lipschitz連續(xù)。

    2 主要結(jié)論

    定理:設(shè)K?X為非空閉凸子集。映射T,A:K→X?,g:K→K,η:K×K→X,b:K×K→:K×K→且滿足:如果

    1)T關(guān)于η是 τ?η?g?余強(qiáng)制的,T是c?擴(kuò)張映象,A是ξ ?η?g?松弛Lipschitz連續(xù)的,并且T,A都是弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射。

    2)η(x,y)=?η(y,x),?x,y∈K, η是δ?Lipschitz 連續(xù)(見(jiàn)文獻(xiàn)[8]定義2.1),A-T和η關(guān)于? ∈X?有 0?g對(duì)角凹關(guān)系(見(jiàn)文獻(xiàn)[8]定義2.3),且對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射。

    3)b(·,·)滿足(a)~(d),f(·,·)是雙連續(xù)、雙線性函數(shù),且滿足式(1)、式(2)。

    4)g是線性、l?Lipschitz連 續(xù)映射;并且γ·l2<τ·c2+α?ξ·l2則問(wèn)題(3)存在唯一解。

    證明任意固定∈K,定義函數(shù)φ:K×K→?x,y∈K,

    因g是連續(xù)映射,對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射,從而對(duì)固定的是從弱拓?fù)涞綇?qiáng)拓?fù)涞倪B續(xù)映射,加之T,A都是連續(xù)映射,故由文獻(xiàn)[9]可知對(duì)固定的是連續(xù)的;b(·,·)滿足(c)、(d),易得

    即b(·,·)關(guān)于第二變?cè)B續(xù),再加上g連續(xù),所以關(guān)于x∈K連續(xù);f(·,·)關(guān)于兩變?cè)B續(xù)。這樣對(duì)固定的y∈K,?(y,x)在K上是連續(xù)的,即文獻(xiàn)[8]引理2.1 的條件(i)滿足。

    同樣在式(7)中令y=x2,在式(8)中令y=x1,而后再相加得:

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