積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展直觀想象

李俊

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)起源于生活、來源于生活，文章探索在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過折紙活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在幾何知識(shí)探究中，從直觀觀察到表象表征，再到抽象內(nèi)化培養(yǎng)其直觀想象能力，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)活動(dòng);折紙;直觀想象

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志. ”“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的. ”心理學(xué)家皮亞杰指出：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開始.”直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 史寧中教授說過：“數(shù)學(xué)的思路是‘看’出來的，不是‘證’出來的. 這種‘看’的依賴就是數(shù)學(xué)直觀. ”筆者認(rèn)為，史教授所說的“看”，不僅僅是用眼睛看，動(dòng)手操作也是一種觀察體驗(yàn)，更有助于提升“看”的效果. 因此，利用數(shù)學(xué)活動(dòng)課——?jiǎng)邮痔剿鞑僮?，發(fā)展學(xué)生的直觀想象，是非常直接、有效的方式. 下面以“折紙中的數(shù)學(xué)思考”教學(xué)為例，嘗試在綜合實(shí)踐課程的活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

備課思考

備課思考的內(nèi)容是新人教版八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形”一章的數(shù)學(xué)活動(dòng)1——折紙做60°，30°，15°的角. 根據(jù)以往的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課為了讓學(xué)生從比較容易動(dòng)手操作的環(huán)節(jié)開始，并能夠通過操作而體會(huì)層層深入，揭示折疊的本質(zhì)——軸對(duì)稱. 筆者根據(jù)本章的矩形的性質(zhì)，結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的弦圖，設(shè)計(jì)了“折紙中的數(shù)學(xué)思考”一課，通過折紙讓學(xué)生建立對(duì)軸對(duì)稱變化的直觀認(rèn)識(shí)，并通過軸對(duì)稱的性質(zhì)解決一些與邊、角有關(guān)的幾何問題，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，以及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.

教學(xué)實(shí)踐

1. 問題初探，形成直觀印象，揭示折疊的本質(zhì)

探究活動(dòng)1：利用矩形紙片折出等腰三角形. 分小組折一折，要求：（1）用直尺、虛線畫出折痕. （2）用實(shí)線畫出你折出的等腰三角形. 由此得到兩種折疊方法：

方法1：折矩形紙片的一個(gè)角. （如圖1、圖2所示）

原理：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.

追問1：你還能找到其他相等的邊、相等的角嗎？

追問2：圖1、圖2中有哪些是二倍角的關(guān)系？

方法2：對(duì)折矩形紙片. （如圖3所示）

原理：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

追問3：當(dāng)______=______時(shí)等腰三角形ABP是等邊三角形.

如何折疊可以得到等邊三角形？動(dòng)手試一試.

設(shè)計(jì)意圖 ?讓學(xué)生初步感受折疊的本質(zhì)是關(guān)于折痕的軸對(duì)稱變化，折痕所在的直線就是對(duì)稱軸，可以充當(dāng)角平分線和垂直平分線的作用. 通過折疊得到全等的圖形，從而得到對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等就可以得到等腰三角形. “追問1”和“追問2”進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)踐操作的過程中，探尋幾何模型，形成幾何直觀. 尋找二倍角可以讓學(xué)生對(duì)等腰三角形頂角的外角等于底角的兩倍這個(gè)基本模型從折紙過程中抽離出來，建立幾何直觀印象. 這個(gè)活動(dòng)既有動(dòng)手操作，可以培養(yǎng)學(xué)生的折疊技能;又有一定的趣味性，還可以揭示折疊的本質(zhì)和復(fù)習(xí)全等的知識(shí). 提出“追問3”，為后面“探究活動(dòng)2”的操作提供了思路，為問題再探做好了鋪墊.

2. 問題再探，從表征到抽象，抽離幾何模型

探究活動(dòng)2：利用矩形紙片折特殊角.

操作1：在一張矩形紙片上，你怎么折出一個(gè)45°的角？

原理：平分矩形紙片的一個(gè)直角.

追問1：由45°的角，你還能折出哪些度數(shù)的角？

操作2：你能通過折紙的方法，折出一個(gè)30°的角嗎？怎樣折？

小組討論：說出你們的方法并與大家分享.

方法：（1）對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;（2）再一次折疊紙片，使點(diǎn)B落在EF上交于點(diǎn)N，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)A，得到折痕AM，同時(shí)得到線段AN.（如圖4、圖5所示）

追問2：在圖5中，你能找出所有的30°的角嗎？60°的角呢？還有其他度數(shù)的角嗎？還能折出15°的角嗎？

設(shè)計(jì)意圖 ?在學(xué)生揭示了折疊的本質(zhì)以后，繼續(xù)對(duì)特殊角的探究，既是對(duì)折疊本質(zhì)的進(jìn)一步鞏固，也是對(duì)折疊基本模型的直觀化或可視化. “操作1”的設(shè)計(jì)不但強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)角平分線的認(rèn)識(shí)——只要將角對(duì)折就可以平分角，而且直觀地證明了角是軸對(duì)稱圖形——它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線，也就是折痕所在的直線. “操作2”中結(jié)合了折一個(gè)等邊三角形和平分60°角的方法，并且在整個(gè)圖形中融合了等邊三角形的“三線合一”和直角三角形“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”的模型.

上述活動(dòng)利用矩形紙片的直角與直角邊的特點(diǎn)，結(jié)合對(duì)直角三角形的已有認(rèn)知，構(gòu)建有特殊邊、角的軸對(duì)稱圖形. 操作過程中紙片的變化具有很強(qiáng)的直觀感，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理能力，讓幾何模型生動(dòng)化.

課堂練習(xí)：如圖6所示，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)H處.

（1）通過折疊，四邊形EBCF翻折到了四邊形______的位置，對(duì)稱軸是折痕______所在的直線，即四邊形______≌四邊形________. EB=________，BC=______=______，F(xiàn)C=______.∠BEF=∠______，∠EBC=∠______=______°，∠C=∠______=______°，∠EFC=∠______.

（2）若∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB=______.

設(shè)計(jì)意圖 ?通過折疊題目的練習(xí)，讓學(xué)生從實(shí)踐操作（動(dòng)作表征）形成的關(guān)于軸對(duì)稱圖形的幾何直觀（表象表征）深入理解并過渡到符號(hào)性表象（符號(hào)表征）. 如果說“問題（1）”直接引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了軸對(duì)稱圖形等邊、等角的關(guān)系，那么“問題（2）”則是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱圖形等角關(guān)系的理解和應(yīng)用，需要抽象出全等角、角平分線等關(guān)系，以此培養(yǎng)學(xué)生將幾何模型從空間直觀中抽離出來的能力.？搖

3. 拓展提升，從抽象到內(nèi)化，固化幾何模型

如圖7所示，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5. 在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK.

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù).

（2）△MNK的面積能否小于 ？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù);若不能，試說明理由.

（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你試一試用矩形紙片折出可能出現(xiàn)的情況.

設(shè)計(jì)意圖 ?“問題（1）”：由折疊得到∠BMN=∠1，可以算出∠BMA的度數(shù);由矩形對(duì)邊平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等，即∠MKN=∠BMA，求得∠MKN的度數(shù). “問題（2）”：由矩形對(duì)邊平行得到內(nèi)錯(cuò)角相等和折疊角相等，可以得到△MNK是一個(gè)等腰三角形;求△MNK的面積可以把KN看成底，則高恒為1. 若△MNK的底KN為1，則△MNK的面積剛好等于 ;但若KN=KM>1，則△MNK的面積一定大于 .“問題（2）”為“問題（3）”做鋪墊，只要折疊以后使等腰三角形MNK的底邊KN最大，這時(shí)面積就是最大. 通過折疊可以發(fā)現(xiàn)，若對(duì)折使點(diǎn)B與點(diǎn)D 重合，或者沿對(duì)角線AC 折疊時(shí)，等腰三角形MNK的面積最大.

對(duì)實(shí)驗(yàn)操作類題目的設(shè)置，利用“探究活動(dòng)1”和“探究活動(dòng)2”形象化的直觀印象，并關(guān)聯(lián)舊知，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)矩形紙片對(duì)邊平行形成的內(nèi)錯(cuò)角相等和折疊后得到的兩個(gè)角相等，由此構(gòu)造等腰三角形，然后抽象形成“平行線間的夾角平分得等腰三角形”的基本幾何模型解決實(shí)際問題，進(jìn)一步讓操作形成的直觀想象內(nèi)化.

4. 應(yīng)用升華，玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)弦圖，深化問題探究

探究活動(dòng)3：利用正方形紙片折疊、觀察與發(fā)現(xiàn).

如圖8所示，將正方形ABCD的四個(gè)角分別向內(nèi)折疊，取DH=AE=BF=CG，將點(diǎn)A沿EH折疊到點(diǎn)M，點(diǎn)B沿FE折疊到點(diǎn)N，點(diǎn)C沿GF折疊到點(diǎn)I，點(diǎn)D沿HG折疊到點(diǎn)L，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M，N，I，L分別在線段EN，F(xiàn)I，GL，HM上.

實(shí)踐與運(yùn)用：

（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH和四邊形MNIL的形狀;

（2）若DH=AE=BF=CG=b，AH=a，EH=c，你能說說a，b，c有何數(shù)量關(guān)系嗎？（提示：用面積相等的方法去思考）

設(shè)計(jì)意圖 ?“探究活動(dòng)3”折疊的圖形為“弦圖”，是2002年北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽?qǐng)D案. 趙爽在為《周髀算經(jīng)》寫序時(shí)提到：“勾股各自乘，并之，為弦實(shí)……”圖9折疊后的圖形就是“趙爽弦圖”（如圖10所示），利用“4個(gè)全等的直角三角形的面積和+中間最小的正方形的面積=折疊后的正方形的面積”得到4× ab+（a-b）2=c2，化簡(jiǎn)后得到勾股定理;而展開圖形也能夠通過面積相等構(gòu)建4× ab+c2=（a+b）2的等量關(guān)系，從而得到直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系. 勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明了的重要的數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一. 通過動(dòng)手操作，讓弦圖“活”起來，引導(dǎo)學(xué)生通過操作弦圖，使其很容易發(fā)現(xiàn)圖中的邊、角的關(guān)系，通過可視化操作和推理進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)弦圖的認(rèn)識(shí)和對(duì)勾股定理的理解. 同時(shí)，通過引入數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng).

課后反思

1. 因材施教，活動(dòng)內(nèi)容設(shè)置應(yīng)貼近學(xué)生的思維特點(diǎn)

一方面要立足初中生的基本“材”質(zhì). 根據(jù)教育心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，可知初中生的抽象思維水平還不高，處于從直覺經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯思維過渡的階段，其邏輯思維層次在很大程度上仍處于形式邏輯階段，辯證思維還處于萌芽和初始階段. 因此，初中生對(duì)概念的理解、判斷、推理在很大程度上離不開直觀形象的支撐. 折紙正好實(shí)現(xiàn)了幾何知識(shí)的“看得見”“摸得著”. 另一方面要選好活動(dòng)課的“材”料. 紙張是生活中最容易獲得和接觸到的材料，也是可塑性最強(qiáng)的材料之一，充分利用紙張的特性展開活動(dòng)課程，構(gòu)建邊、角的關(guān)系及關(guān)于折痕（對(duì)稱軸）的對(duì)稱關(guān)系，使教學(xué)活動(dòng)的組織實(shí)施變得更加容易和更加具有可操作性.

2. 螺旋上升，活動(dòng)層次遵循“經(jīng)驗(yàn)—抽象—內(nèi)化”的漸進(jìn)過程

布魯納認(rèn)為，教學(xué)過程首先應(yīng)從直接經(jīng)驗(yàn)入手（動(dòng)作表征），然后是經(jīng)驗(yàn)的映像性表象（表象表征），再過渡到經(jīng)驗(yàn)的符號(hào)性表象（符號(hào)表征）. 通過折紙活動(dòng)課程的實(shí)施，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從已有的生活認(rèn)知（小學(xué)時(shí)期對(duì)折疊紙張活動(dòng)的基本認(rèn)知），實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)、形的理解;從直觀到抽象——對(duì)數(shù)學(xué)中邊、角數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知構(gòu)建，解決一些有關(guān)幾何圖形數(shù)量關(guān)系的基本問題，使學(xué)生在活動(dòng)中認(rèn)識(shí)并重塑自己的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu);再進(jìn)行更高層次上的實(shí)驗(yàn)與探索，體會(huì)數(shù)學(xué)的研究方法和構(gòu)建的知識(shí)體系，以及抽象知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，提升學(xué)生的認(rèn)知能力，解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)從“直觀圖形—直觀想象—抽象思維”的轉(zhuǎn)變. 通過數(shù)學(xué)活動(dòng)更加有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握和深刻理解、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)和深度把握，從而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的應(yīng)用能力. （如圖11所示）

3. 駕馭課堂，讓思維從“手中”起航“飛翔”

數(shù)學(xué)活動(dòng)課程既有動(dòng)手實(shí)操又有數(shù)學(xué)理論的升華，能否充分駕馭課堂顯得十分重要. 一方面，課前準(zhǔn)備要充分，根據(jù)教學(xué)要求設(shè)立明確的活動(dòng)目標(biāo)，擬定并嚴(yán)格執(zhí)行課程進(jìn)度，圍繞每一小項(xiàng)活動(dòng)的教學(xué)目標(biāo)對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行反復(fù)推敲;同時(shí)，推演課堂時(shí)間控制方案，做到課堂教學(xué)松緊有度、收放自如. 另一方面，數(shù)學(xué)活動(dòng)課程需要在“做”的過程中“思考”，實(shí)現(xiàn)從“聽數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，從用“眼”觀察到“手”“眼”并重的轉(zhuǎn)變，從“被動(dòng)接受”到“主動(dòng)探究”的轉(zhuǎn)變，學(xué)生的直觀想象由此會(huì)得到進(jìn)一步拓展，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升其分析和解決實(shí)際問題的能力.

結(jié)束語(yǔ)

列寧指出：“從生動(dòng)直觀到抽象的思維，并從抽象的思維到實(shí)踐，這就是認(rèn)識(shí)真理、認(rèn)識(shí)客觀實(shí)在的辯證途徑. ”在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入活動(dòng)課程，讓學(xué)生通過眼、手、腦的感知、思考，培養(yǎng)和拓展他們的直觀想象能力.

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